工程力学教案 (8)

工程力学教案 (8) 第第8章弯曲内力8.2剪力和弯矩8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系8.1对称弯曲的概念工程实例8.1对称弯曲的概念受力特点外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线变形特点变形前为直线的轴线受力特点外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线变形特点变形前为直线的轴线,变形后成为曲线F1F2F AF BAB纵向对称面梁的轴线8.1对称弯曲的概念 一、对称弯曲作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内 一、对称弯曲作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为对称弯曲 二、梁的计算简图这种弯曲称为对称弯曲 二、梁的计算简图（ （1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。 （ （2）载荷类型集中力集中力偶集中力集中力偶（ （3）支座的类型M FABq(x)8.1对称弯曲的概念固定铰支座AAAF AyAF AxF AAAAA8.1对称弯曲的概念固定端F yF xM静定梁的基本形式静定梁的基本形式悬臂梁外伸梁悬臂梁外伸梁简支梁8.2剪力和弯矩 一、内力计算例题1已知如图，F，a，l.求距A端x处截面上内力。 BAalFF AyF AxF BABF解解:求支座反力,(),=?=?0000x AxABy AyF FFaM FlF l aF Fl8.2剪力和弯矩求内力截面法MF AyFAxF BABF mmxFAyF SCFF BF SCM(),?=?S00y AyCAyF laF F FlM MF x弯曲内力剪力F s弯矩M 二、内力的符号规定8.2剪力和弯矩剪力符号使剪力符号使dx微段有左端向上而右端向下的相对错动时微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使或使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正.F SdxmmF S+dxmmF S-使使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使或使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负.8.2剪力和弯矩当当dx微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负上的弯矩为负.mm+（受拉）M Mmm（受压）-当当dx微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；弯矩符号上的弯矩为正；弯矩符号8.2剪力和弯矩例题2图示梁的计算简图.已知F 1、F2,且且F2F1,尺寸a、b、c和和l亦均为已知.试求梁在E、F点处横截面处的剪力和弯矩.F BBdEDAabclCFF1F2FA力解求梁的支反力FA和和FB120BF lFa Fb?=?0BM12()()0AF lFla Fl b?+?+?=12()()AF la Fl bFl?+?=?0A M8.2剪力和弯矩记记E截面处的剪力为F SE矩和弯矩M E，且假设F SE和弯矩M E的指向和转向均为正值的指向和转向均为正值.BdEDAabclCFF1F2F AAEcF SEF AMES00y AEF,F F=?=?0,0E EAF cM M=?=?解得SE AFF=EAFcM=?FB8.2剪力和弯矩计算F点横截面处的剪力点横截面处的剪力F SF和弯矩M FBdEDAabclCFF1F2F AFdBF SFM FFB,=+=?+=?S0000y FBF FBF FFM MF d解得SF BFF=?FBF dM=FB8.2剪力和弯矩 三、计算规律 1、梁的某截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧梁上所有外力的代数和；该截面左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正号的剪力。 反之，引起负号的剪力。 梁的某截面上的剪力，在数值上等于该截面一侧梁上所有外力的代数和；该截面左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正号的剪力。 反之，引起负号的剪力。 2、梁的某截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和；该截面左侧梁上顺时针转的力矩或右侧梁上逆时针转的力矩引起正号的弯矩。 反之，引起负号的弯矩。 截面任一侧梁上向上的外力均引起正号的弯矩。 、梁的某截面上的弯矩，在数值上等于该截面一侧梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和；该截面左侧梁上顺时针转的力矩或右侧梁上逆时针转的力矩引起正号的弯矩。 反之，引起负号的弯矩。 截面任一侧梁上向上的外力均引起正号的弯矩。 左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。 左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。 8.2剪力和弯矩例题3求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.B1m2.5m10kNmAC12F AFB解解: （1）求支座反力FA=4kNF B=-4kN（ （2）求1-1截面的内力S S14kNA CFFF=左114kN mCAFM M=?左（ （3）求2-2截面的内力C12MS2S (4)4kNB CFFF=?=?=右2 (251) (4)156kN mCBF.M M=?=?=?右8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 一、用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律 一、用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.剪力方程F S=F S(x)弯矩方程M=M(x) 二、剪力图和弯矩图以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图形分别称为剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图例题4如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解解:列出梁的剪力方程和弯矩方程)0()()0()(Sl x Fx x Ml xF xF?= （1）求支反力（）求支反力 （2）列剪力方程和弯矩方程.S2() (0)2() (0)222AAqlF xF qxqx xlx qlxqxM xF xqx xl=?=?=?=?8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图为一倾斜直线lqF AFBA Bx+ql/2ql/2+82qll/2x=0，x=l,2SqlF=2SqlF=?=弯矩图为一条二次抛物线00=M x，0,=M l x822maxqlM Mlx=8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图例题6图示的简支梁在C点处受集中荷载点处受集中荷载F作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.xxlFA BCabFA FB解解: （1）求梁的支反力AFbFl=BFaFl=因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.AC段段)2()0()()1()0()(Sa x xlFbx Ma xlFbx F=8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图CB段段)4()()()()()3()()()(Sl xa x llFaa xF xlFbx Ml xalFalb lFFlFbx F?=?= （1）, （3）两式可知，AC、CB两段梁的剪力图各是一条平行于两段梁的剪力图各是一条平行于x轴的直线.由 （2）， （4）式可知，AC、CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线两段梁的弯矩图各是一条斜直线.由剪力图和弯矩图可知;在集中力作用处剪力值在集中力作用处剪力值(图)有突变,突变值等于集中力F.弯矩图有尖点,该处弯矩值最大.+8.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图例题7图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.()()a=S0MF xxllABCabF AFBM解求梁的支反力=AMFl=?BMFlAC段段()=MM xxl)0(axCB段段()()=?=?M MMxxM lxl l)(lxa0，剪力图为斜向上的直线，弯矩图为向上凸的二次抛物线；q(x)0，剪力图为斜向下的直线，弯矩图为向下凸的二次抛物线8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系3.在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有折点弯矩图有折点.在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值。 在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值。 4.梁上最大弯矩M max可能发生在FS(x)=0的截面上;或发生在集中力所在的截面上或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧.例题8一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试作剪力图和弯矩图.B ACDxx151265F FFA FB231解 （1）求梁的支反力236kAF.=27kNBF=8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线B ACDxx151265F FFA FB23123.6kN1.7kN27kN+AC段段23.6kNA CFF=左DB段段S27kNB DFF=?=?右kN0S=右BFCD段段S1.7kNA CFFF=?=?右kN27Smax=F8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系每段梁的弯矩图均为斜直线，且梁上无集中力偶每段梁的弯矩图均为斜直线，且梁上无集中力偶.B ACDxx151265F FFA FB2313.11kNm+0.1153.11kN mDBM F=?0=M B0.24.72kN mCAFM=?0=M AmkN72.4max?=M8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系例题9作梁的内力图.3m4mAB CD E4m4mF AFBF1=2kNq=1kN/mM=10kNmF2=2kN解 (1)支座反力为7kNAF=5kNBF=将梁分为AC、CD、DB、BE四段. (2)剪力图7kN1kN+3kN3kN2kNx=5mAC段向下斜的直线7kNAF=S43kNA CFF q=?=左8.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系CD段向下斜的直线kN1S=右CFkN3S=?=DFDB段水平直线EB段水平直线S23kNBF FF=?=?kN22S=FFB右F点剪力为零,令其距A截面的距离为x1S0x AFF qxF=?=x=5m7kN1kN+3kN3kN2kN