2019-2020学年合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1直线的方程为，则（ ）A直线过点，斜率为B直线过点，斜率为C直线过点，斜率为D直线过点，斜率为【答案】C【解析】利用点斜式的方程判定即可.【详解】由有,故直线过点,斜率为.故选：C【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的标准方程求得和，从而求得离心率的值.【详解】由双曲线方程可得，.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.3已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.【详解】设,则满足.故 .故.又点在圆上.故.故选：C【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.4双曲线的一条渐近线的方程为( )ABCD【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程.【详解】由双曲线，得，所以渐近线的方程为，即.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.5如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】易得该几何体为三棱柱.分别求解侧面与底面面积即可.【详解】易得该几何体为三棱柱,且底面为边长是的等腰直角三角形,高为3.故侧面积为.底面总面积为 故表面积为.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图求几何体表面积的问题.属于基础题型.6“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】要使直线与直线互相垂直，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题.7已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为（ ）A相切B内含C外离D相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距与半径和与差的关系，即可得到结论.【详解】圆，即，圆，即，两圆的圆心距，故两圆内含.故选：B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.8已知圆锥的底面半径为，母线长为，球与圆锥的底面和侧面均相切，设球的体积为，圆锥的体积为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据纵截面图求解内切球半径,再分别求得与即可.【详解】由题知,过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面,易得圆锥高为.故纵截面面积.故内切球半径.故.故.故选：B【点睛】本题主要考查了圆锥与内切球的体积运算,需要根据题意作出纵截面进行高的求解.属于基础题型.9下列命题是真命题的是（ ）A“若,则”的逆命题B“若，则”的否定C“若都是偶数，则是偶数”的否命题D“若函数都是R上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题【答案】D【解析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案.【详解】对于A：“若,则”的逆命题为：“若，则”为假命题，故A错误；对于B：“若，则”的否定为：“若，则”为假命题，故B错误；对于C：“若都是偶数，则是偶数”的否命题为：“若不都是偶数，则不是偶数”为假命题，故C错误；对于D：“若函数都是上的奇函数，则是上的奇函数”的逆否命题为：“若是上的奇函数，则函数都是上的奇函数”为真命题，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.10已知抛物线焦点为，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于,若，则抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设直线的方程为，由直线与轴交于，得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程.【详解】由抛物线知焦点，设直线的方程为，则，直线与轴交于，则，得，直线的方程为，联立，消去得， ，即，故抛物线方程为，所以准线方程为.故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题.11如图，三棱锥中，平面，分别在棱上，且于， 于，则下列说法正确的有（ ）是直角是异面直线与所成角 是直线与平面所成角是二面角的平面角A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项判断即可.【详解】对,因为平面,故,又,故平面.所以是直角.故正确.对,因为与不平行.故错误.对,因为平面,故平面平面,故在平面上的投影在上.故是直线与平面所成角.故正确.对,由平面,故,又,故平面.故.又.故是二面角的平面角.故正确.故选：C【点睛】本题主要考查了空间中垂直的证明与性质,同时也考查了线线线面角的求解与证明.属于中等题型.12已知正方形的边长为，分别为边上的点，且.将分别沿和折起，使点和重合于点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积【详解】如图所示：在三棱锥中，因，则，由题意知，所以互相垂直，即三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题二、填空题13命题“”的否定为：_.【答案】【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为特称量词，则命题“”的否定为：“”.故答案为：.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.14离心率，且过的椭圆的标准方程为_或_.【答案】 【解析】分焦点在轴上两种情况进行求解即可.【详解】(1)当焦点在轴上时,因为离心率,此时.设椭圆方程.代入可得.故.即椭圆方程.(2) 当焦点在轴上时,因为离心率,此时.设椭圆方程.代入可得.故.即椭圆方程.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求法,注意焦点在轴上两种情况即可.属于基础题型.15已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为_.【答案】【解析】根据中为定值,故先化简,再分析满足的距离关系即可.【详解】设,因为,故即.故的轨迹是以为焦点,的双曲线的下支.此时.故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意为双曲线的下支,属于基础题型.16已知，点在圆上运动，则的最小值是_.【答案】【解析】由题意设，利用两点之间的距离公式表示出，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数），设，则，其中，当时， 有最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.三、解答题17如图，正方体中(1)求证：(2)求证：平面平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)证明,即可证明平面即可.(2)由(1)证明平面.【详解】证明：(1)连结、平面,平面 又,平面平面,又平面即 (2)由(1)同理可得,又,平面平面 又平面平面平面【点睛】本题主要考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质.属于中等题型.18设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于对称轴的直线和对称轴交于点，设，求证：成等比数列.【答案】见解析【解析】设抛物线为，由题意可得，由轴于点可得或，进而可得结论.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，则焦点， 轴， 又轴于点， 或，在抛物线上，即成等比数列.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式，考查分析与推理证明的能力，属于基础题.19已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为（1）求顶点和的坐标；（2）求外接圆的一般方程.【答案】（1）和；（2）【解析】（1）联立直线与直线的方程可得点的坐标，由，进而设出直线的方程，将的坐标代入得方程，再与直线方程联立即可得点的坐标；（2）由（1）知，的坐标，设外接圆的一般方程，代入求解即可.【详解】（1）由可得顶点, 又因为得， 所以设的方程为， 将代入得由可得顶点为 所以和的坐标分别为和 （2）设的外接圆方程为， 将、和三点的坐标分别代入，得，解得，所以的外接圆的一般方程为.【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.20已知四点中只有三点在椭圆：上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为1，直线与圆相切，且与椭圆交于点，求线段的长.【答案】（1）；（2）【解析】(1)根据对称性判断在椭圆上,再代入椭圆方程求解即可.(2)设直线方程,根据直线与圆相切可求得,再联立方程根据弦长公式求解即可.【详解】（1）根据椭圆的对称性可知在椭圆上, 设椭圆的方程为：,由已知得, 解得：故椭圆的方程为：. （2）直线的斜率为1,故设直线的方程为：即, 直线与圆相切,由,即 .【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,包括弦长公式等.属于中等题型.21如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点(1)证明：直线平面；(2)求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)取的中点,证明进而求得即可.(2) 在平面内作于,建立空间直角坐标系求解即可.【详解】(1)取的中点,连,是的中点, ,又 四边形是平行四边形又平面,平面 平面(2)在平面内作于,不妨令,则由是等边三角形,则,为的中点,分别以、所在的直线为轴和轴,以底面内的中垂线为轴建立空间直角坐标系, 则, 设平面的法向量为,平面的法向量为,则 则 则 经检验,二面角的弦值的大小为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.22已知抛物线：，直线与轴交于点，与抛物线的准线交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，且的面积为.（1）求的值；（2）过的直线交抛物线于两点，设，当时，求的取值范围.【答案】（1）3；（2）【解析】(1)分别求得与,再利用三角形面积公式表达出关于的表达式,再求解即可.(2) 设,根据可求得,同时也得出,进而表达出,联立直线与抛物线方程利用韦达定理求解即可.【详解】（1）法一：抛物线：的