高考数学专题复习导练测 第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题课件 理 新人教A版.ppt

数学a 理 高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 第九章平面解析几何 考点自测 高考题型突破 练出高分 b a b 圆 x 2 2 y2 4的圆心为c 2 0 半径为r 2 解析 题型一圆锥曲线中的范围 最值问题 1 求曲线c的方程及t的值 抛物线c的方程为y2 x 又点m t 1 在曲线c上 t 1 思维点拨 用点差法求kab 用m表示出 ab 利用基本不等式求最值 解由 1 知 点m 1 1 从而n m 即点q m m 依题意 直线ab的斜率存在 且不为0 设直线ab的斜率为k k 0 且a x1 y1 b x2 y2 故k 2m 1 即x 2my 2m2 m 0 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1y2 2m2 m 思维升华圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种 一是几何法 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值 二是代数法 常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题 然后利用基本不等式 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 解设m x y 在 mab中 ab 2 amb 2 因此点m的轨迹是以a b为焦点的椭圆 点m在x轴上也符合题意 a 2 c 1 2 求 apq面积的最大值 解设直线pq的方程为x my 1 显然方程 的 0 设p x1 y1 q x2 y2 所以 apq面积的最大值为3 此时直线pq的方程为x 1 题型二圆锥曲线中的定点 定值问题 1 设动点p满足 pf 2 pb 2 4 求点p的轨迹 解设p x y 由题意知f 2 0 b 3 0 a 3 0 则 pf 2 x 2 2 y2 pb 2 x 3 2 y2 由 pf 2 pb 2 4 得 x 2 2 y2 x 3 2 y2 4 3 设t 9 求证 直线mn必过x轴上的一定点 其坐标与m无关 证明如图所示 点t的坐标为 9 m 3 设t 9 求证 直线mn必过x轴上的一定点 其坐标与m无关 3 设t 9 求证 直线mn必过x轴上的一定点 其坐标与m无关 令y 0 解得x 1 所以直线mn必过x轴上的一定点 1 0 3 设t 9 求证 直线mn必过x轴上的一定点 其坐标与m无关 思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种 1 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 2 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 如图所示 a b d是椭圆c的顶点 p是椭圆c上除顶点外的任意一点 直线dp交x轴于点n 直线ad交bp于点m 设bp的斜率为k mn的斜率为m 证明 2m k为定值 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 思维点拨 解析 设s x y 为曲线 上的任意一点 利用抛物线的定义 判断s满足抛物线的定义 即可求曲线 的方程 思维点拨 解析 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 解方法一设s x y 为曲线 上任意一点 思维点拨 解析 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 依题意 点s到f 0 1 的距离与它到直线y 1的距离相等 所以曲线 是以点f 0 1 为焦点 直线y 1为准线的抛物线 所以曲线 的方程为x2 4y 思维点拨 解析 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 方法二设s x y 为曲线 上任意一点 思维点拨 解析 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 思维点拨 解析 例3 2014 福建 已知曲线 上的点到点f 0 1 的距离比它到直线y 3的距离小2 1 求曲线 的方程 题型三圆锥曲线中的探索性问题 化简 得曲线 的方程为x2 4y 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程 求出a m的坐标 n的坐标 以mn为直径作圆c 求出圆心坐标 半径是常数 即可证明当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度不变 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 解当点p在曲线 上运动时 线段ab的长度不变 证明如下 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 所以点p在曲线 上运动时 线段ab的长度不变 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 例3 2 曲线 在点p处的切线l与x轴交于点a 直线y 3分别与直线l及y轴交于点m n 以mn为直径作圆c 过点a作圆c的切线 切点为b 试探究 当点p在曲线 上运动 点p与原点不重合 时 线段ab的长度是否发生变化 证明你的结论 思维点拨 解析 思维升华 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 跟踪训练3已知椭圆c1 抛物线c2的焦点均在x轴上 c1的中心和c2的顶点均为原点o 从每条曲线上各取两个点 将其坐标记录于下表中 1 求c1 c2的标准方程 易求得c2的标准方程为y2 4x 解容易验证当直线l的斜率不存在时 不满足题意 当直线l的斜率存在时 设其方程为y k x 1 与c1的交点为m x1 y1 n x2 y2 解得k 2 所以存在直线l满足条件 且直线l的方程为2x y 2 0或2x y 2 0 题型四直线 圆及圆锥曲线的交汇问题 思维点拨根据椭圆的几何性质易求出a b的值 从而写出椭圆的方程 1 求椭圆c1的方程 1 求椭圆c1的方程 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 思维点拨要求 abd的面积 需要求出ab pd的长 ab是圆的弦 考虑用圆的知识来求 pd应当考虑用椭圆的相关知识来求 求出ab pd的长后 表示出 abd的面积 再根据式子的形式选择适当的方法求最值 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 解设a x1 y1 b x2 y2 d x0 y0 由题意知直线l1的斜率存在 不妨设其为k 则直线l1的方程为y kx 1 又圆c2 x2 y2 4 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 又l2 l1 故直线l2的方程为x ky k 0 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 2 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 思维升华对直线 圆及圆锥曲线的交汇问题 要认真审题 学会将问题拆分成基本问题 然后综合利用数形结合思想 化归与转化思想 方程的思想等来解决问题 这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力 2 已知直线l y kx与椭圆c分别交于两点a b 与圆m分别交于两点g h 其中点g在线段ab上 且 ag bh 求k的值 显然 若点h也在线段ab上 则由对称性知 直线y kx就是y轴 矛盾 因为 ag bh 所以 ab gh 整理得4k4 3k2 1 0 解得k2 1 即k 1 2 3 4 5 6 1 解由题意 抛物线焦点为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线y2 4x 消去x得y2 4ty 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 解设l x ty b 代入抛物线y2 4x 消去x得y2 4ty 4b 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b 2 3 4 5 6 1 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线l过定点 2 0 2 已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a 2 3 且点f 2 0 为其右焦点 1 求椭圆c的方程 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 2 是否存在平行于oa的直线l 使得直线l与椭圆c有公共点 且直线oa与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 3 4 5 6 1 2 因为直线l与椭圆c有公共点 3 4 5 6 1 2 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1 3 解 1 v 4 双曲线的焦点在x轴上 设f c 0 则c2 4 v v 1 3 由椭圆c与双曲线共焦点 知a2 b2 3 设直线l的方程为x ty a 代入y2 2x 可得y2 2ty 2a 0 设p x1 y1 q x2 y2 则y1 y2 2t y1y2 2a 2 4 5 6 1 3 op oq x1x2 y1y2 a2 2a 0 a 2 b 1 2 4 5 6 1 3 2 在椭圆c上 是否存在点r m n 使得直线l mx ny 1与圆o x2 y2 1相交于不同的两点m n 且 omn的面积最大 若存在 求出点r的坐标及对应的 omn的面积 若不存在 请说明理由 2 4 5 6 1 3 m2 n2 2 又 m2 4n2 4 2 4 5 6 1 3 2 3 5 6 1 4 a2 2 b2 1 2 3 5 6 1 4 2 记椭圆的上顶点为m 直线l交椭圆于p q两点 问 是否存在直线l 使点f恰为 pqm的垂心 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解假设存在直线l交椭圆于p q两点 且f恰为 pqm的垂心 设p x1 y1 q x2 y2 2 3 5 6 1 4 2 3 5 6 1 4 m 0 1 f 1 0 直线l的斜率k 1 于是设直线l为y x m 2 3 5 6 1 4 x1 x2 1 x2 m x1 m 1 0 2 3 5 6 1 4 即2x1x2 x1 x2 m 1 m2 m 0 故存在直线l 使点f恰为 pqm的垂心 5 已知椭圆c的中心为坐标原点o 一个长轴顶点为 0 2 它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形 直线l与y轴交于点p 0 m 与椭圆c交于异于椭圆顶点的两点a b 且 1 求椭圆的方程 2 3 4 6 1 5 2 3 4 6 1 5 2 求m的取值范围 解设a x1 y1 b x2 y2 由题意 知直线l的斜率存在 设其方程为y kx m 与椭圆方程联立 2 3 4 6 1 5 2mk 2 4 2 k2 m2 4 0 2 3 4 6 1 5 所以 x1 2x2 2 3 4 6 1 5 整理 得 9m2 4 k2 8 2m2 又9m2 4 0时等式不成立 2 3 4 6 1 5 6 在平面直角坐标系xoy中 已知双曲线c1 2x2 y2 1 1 过c1的左顶点引c1的一条渐近线的平行线 求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面