高考数学一轮复习 10.1计数原理、排列与组合课件.ppt

课标版理数 10 1计数原理 排列与组合 1 分类计数原理 分步计数原理 1 完成一件事有几类办法 各类办法相互独立 每类办法中又有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法种数是各类不同方法种数的和 这就是 分类加法计数原理 2 完成一件事 需要分成几个步骤 每一步的完成有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法种数是各步不同的方法种数的乘积 这就是 分步乘法计数原理 2 分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 3 排列 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一 列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用表示 3 排列数公式 n n 1 n m 1 4 全排列 n个不同元素全部取出的排列 叫做n个不同元素的一个全排列 n n 1 n 2 3 2 1 n 于是排列数公式写成阶乘形式为 规定0 1 4 组合 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 3 计算公式 由于0 1 所以 1 5 组合数的性质 1 2 1 高三 1 班需要安排毕业晚会的4个音乐节目 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序 要求2个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 a 1800b 3600c 4320d 5040 答案b两个舞蹈节目不连排 可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目 有种排法 再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去 有种排法 故由分步计数原理 有 3600种 故选b 2 有5名同学被安排在周一至周五值日 已知同学甲只能值周一或周二 那么5名同学值日顺序的编排方案共有 a 24种b 48种c 96种d 120种 答案b先给甲同学安排值日 共有 2种方法 再把其他四名同学安排到其余四天 共有 24种方法 所以共有2 24 48种方法 3 将三个分别标有a b c的小球随机地放入编号分别为1 2 3 4的四个盒子中 则1号盒子内有球的不同放法的种数为 a 27b 37c 64d 81 答案b1号盒子内有1个球 共有 3 3 27种不同放法 1号盒子内有2个球 共有 3 3 3 9种不同放法 1号盒子内有3个球 共有1种放法 由分类加法计数原理知不同放法共有27 9 1 37种 故选b 4 有5名男生和3名女生 从中选出5人分别担任语文 数学 英语 物理 化学学科的课代表 若某女生必须担任语文课代表 则不同的选法共有种 用数字作答 答案840解析由题意知 从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表 共有 840种 5 从6名男生和4名女生中选出3人参加某个竞赛 若这3人中必须既有男生又有女生 则不同的选择方法共有种 答案96解析 这3人中必须既有男生又有女生的选法有两类 2男1女 1男2女 不同的选法共有 15 4 6 6 96种 典例1 2014辽宁 6 5分 6把椅子摆成一排 3人随机就座 任何两人不相邻的坐法种数为 a 144b 120c 72d 24答案d解析先把三把椅子隔开摆好 它们之间和两端有4个位置 再把三人带椅子插放在四个位置 共有 24种放法 故选d 排列问题 1 对于有限制条件的排列问题 分析问题时有位置分析法 元素分析法 在实际进行排列时一般采用特殊元素 位置 优先原则 即先安排有限制条件的元素 位置 对于分类过多的问题可以采用间接法 2 对相邻问题 不相邻问题分别采用捆绑法 插空法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 1 1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 2 甲 乙两人必须排在两端 3 男女相间 解析 1 解法一 元素分析法 先排甲有6种 再排其余人有种 故共有6 241920 种 排法 解法二 位置分析法 中间和两端有种排法 包括甲在内的其余6人有种排法 故共有 336 720 241920 种 排法 解法三 等机会法 9个人全排列有种 甲排在每一个位置的机会都是均等的 依题意得 甲不在中间及两端的排法总数是 241920 种 解法四 间接法 3 6 241920 种 2 先排甲 乙 再排其余7人 共有 10080 种 排法 3 插空法 先排4名男生有种方法 再将5名女生插空 有种方法 故共有 2880 种 排法 1 2用0 1 3 5 7五个数字 可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数 解析本题可分两类 第一类 0在十位位置上 这时 5不在十位位置上 所以符合条件的五位数的个数为 24 第二类 0不在十位位置上 这时 由于5不能排在十位位置上 所以十位位置上只能排1 3 7之一 这一步有 3种方法 又由于0不能排在万位位置上 所以万位位置上只能排5或1 3 7被选作十位位置上的数字后余下的两个数字之一 这一步有方法 3 种 十位 万位位置上的数字选定后 其余三个数字全排列即可 这一步有方法 6 种 根据分步计数原理知 第二类中符合条件的五位数的个数为 54 由分类计数原理知 符合条件的五位数共有24 54 78 个 典例2 2014大纲全国 5 5分 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种答案c解析从6名男医生中选出2名有种选法 从5名女医生中选出1名有种选法 由分步乘法计数原理得不同的选法共有 75种 故选c 组合问题 组合问题的常见类型及处理方法 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素 中去选取 2 至少 或 最多 含有几个元素的组合题型 解这类题必须十分重视 至少 与 最多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 2 1某课外活动小组共13人 其中男生8人 女生5人 并且男 女生各有一名队长 现从中选5人主持某种活动 依下列条件各有多少种选法 1 只有一名女生当选 2 两队长当选 3 至少有一名队长当选 4 至多有两名女生当选 5 既要有队长 又要有女生当选 解析 1 只有一名女生当选等价于有一名女生 四名男生当选 故共有 350 种 2 两队长当选 共有 165 种 3 至少有一名队长当选含有两类 只有一名队长当选 有两名队长当选 故共有 825 种 或采用排除法 825 种 4 至多有两名女生当选含有三类 有两名女生当选 只有一名女生当选 没有女生当选 故选法共有 966 种 5 分两类 第一类女队长当选 第二类女队长不当选 故选法共有 790 种 2 2如图所示 使电路接通 开关不同的开闭方式有 a 11种b 20种c 21种d 12种答案c解析当第一组开关有一个接通时 电路接通有 14种方式 当第一组开关有两个接通时 电路接通有 7种方式 所以共有14 7 21种方式 故选c 典例3 1 2014北京 13 5分 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 2 2014浙江 14 4分 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有种 用数字作答 答案 1 36 2 60解析 1 记其余两件产品为d e a b相邻视为一个元素 先与d e排列 有种方法 再将c插入 仅有3个空位可选 共有 2 6 3 36种不同的摆法 2 不同的获奖情况可分为以下两类 排列与组合的综合应用问题 有一个人获得两张有奖奖券 另外还有一个人获得一张有奖奖券 有 36种获奖情况 有三个人各获得一张有奖奖券 有 24种获奖情况 故不同的获奖情况有36 24 60种 1 解排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 2 解决不同元素的分配问题 往往是先分组再分配 在分组时 通常有三种 类型 不均匀分组 均匀分组 部分均匀分组 无序分组要除以均匀组数的阶乘数 有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数 3 1有4个不同的球与4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 解析 1 为保证 恰有1个盒不放球 先从4个盒子中任意取出一个 问题转化为 4个球 3个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把4个球分成2 1 1的三组 然后再从3个盒子中选1个放2个球 其余2个球分别放 在另外2个盒子内 由分步计数原理知 共有 144 种 2 恰有1个盒内有2个球 即另外3个盒子放2个球 每个盒子至多放1个球 也即另外3个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有1个盒内有2个球 与 恰有1个盒不放球 是同一件事 所以共有144种放法 3 确定2个空盒有种方法 4个球放进2个盒子可分成 3 1 2 2 两类 第一类有序不均匀分组有种方法 第二类有序均匀分组有 种方法 故共有 84 种 3 2按下列要求分配6本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1份1本 1份2本 1份3本 2 甲 乙 丙三人中 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 平均分成三份 每份2本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人2本 5 分成三份 1份4本 另外两份每份1本 6 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另外两人每人得1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 解析 1 无序不均匀分组问题 先选1本 有种选法 再从余下的5本中选2本 有种选法 最后余下3本全 选 有种选法 故共有 60 种 1分 2 有序不均匀分组问题 由于甲 乙 丙是不同的三人 在 1 题基础上 还应考虑再分配 共有 360 种 2分 3 无序均匀分组问题 分三组 则应有种分法 但是这里出现了重复 不妨记六本书为a b c d e f 若第一步取了ab 第二步取了cd 第三步取了ef 记该种分法为 ab cd ef 则种分法中还有 ab ef cd cd ab ef cd ef ab ef cd ab ef ab c