1993年全国大学生数学建模论文

1993 年全国大学生数学模型竞赛试题 B 题题 足球队排名次足球队排名次 下表给出了我国 12 支足球队在 1988 1989 年全国足球级联赛中的成绩 要求 1 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法 并给出用该算法排名次的结果 2 把算法推广到任意 N 个队的情况 3 讨论 数据应具备什么样的条件 用你的方法才能够排出诸队的名次 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T 10 T 11 T 12 T 1 TX 0 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 2 2 0 3 1 1 0 3 11 0 0 1 1 3 0 2 2 1 1 0 4 0 1 1 1 1 XX 2 TX 2 0 0 1 1 3 0 0 2 0 0 0 1 12 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 2 0 0 XX 3 T X 4 2 1 1 0 0 2 13 0 1 0 1 4 0 1 3 1 1 0 2 3 0 1 2 0 XX 4 TX2 30 1 0 5 2 3 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 1 1 XX 5 T X0 1XXXX 1 0 1 2 0 0 1 1 6 T XXXXXXX 7 T X 1 0 2 0 0 0 2 1 3 0 1 0 3 1 3 0 2 2 3 12 0 8 T X 0 1 1 2 2 0 1 1 1 0 0 1 3 10 0 9 T X 3 0 1 0 0 0 1 01 0 10 T X1 02 0 11 TX 1 1 1 2 1 1 12 TX 1 12 支球队依次记作 T1 T2 T12 2 符号 X 表示两队未曾比赛 3 数字表示两队比赛结果 如 T3 行与 Y8 列交叉处的数字表示 T3 与 T8 比赛了 2 场 T3 与 T8 的进球之比为 0 1 和 3 1 三个模型 模型一 假设 1 每场比赛中 每支球队都正常发挥 2 不考虑进球数 只考虑比赛结果 输或赢 3 在每两支队伍的比赛中 多赢 n 场 相当于在基准 1 的基础上乘以 2n 多输 n 场 相当于在基准的基础上除以 2n 平局则等于基准 没有进行比赛也相当于平局 即等于基 准 方法 层次分析法 建模 Z A 1 A 2 A 3 A 4 A 8 A 7 A 6 A 5 A 1 2 A 1 1 A 1 0 A 9 C Z 表示足球队 Ai 表示在相互的比赛中 第 i 支足球队赢的事件 C 表示足球队的排名 构造成对比较矩阵 A 1 1 1 8 2 2 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 1 4 8 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 1 1 8 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 计算权向量和一致性检验 成对比较矩阵 A 的最大特征值为 13 5660 该特征值对应的特征向量 B 0 3546 0 2591 0 2934 0 1218 0 2101 0 2243 0 6047 0 2030 0 2706 0 2412 0 1771 0 2052 归一化向量为 B 0 1120 0 0819 0 0927 0 0385 0 0664 0 0709 0 1910 0 0641 0 0855 0 0762 0 0560 0 0648 CI 13 5660 12 12 1 0 1424 经查随机一致性指标 RI 表可得 当 n 12 时 RI 1 54 所以CR 0 1424 1054 0 092 A 1 1 1 8 2 2 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 1 4 8 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 1 1 8 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 4 1 1 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 A 1 至 11 列 1 0000 1 0000 1 0000 8 0000 2 0000 2 0000 0 2500 1 0000 4 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 5000 2 0000 1 0000 2 0000 1 0000 1 0000 2 0000 0 5000 1 0000 1 0000 2 0000 1 0000 2 0000 2 0000 2 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 1250 0 5000 0 5000 1 0000 0 5000 0 5000 0 2500 1 0000 0 5000 0 5000 1 0000 0 5000 1 0000 0 5000 2 0000 1 0000 0 5000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 5000 0 5000 0 5000 2 0000 2 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 4 0000 1 0000 1 0000 4 0000 1 0000 1 0000 1 0000 4 0000 8 0000 4 0000 2 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 2500 1 0000 0 5000 1 0000 2 0000 0 2500 0 5000 1 0000 2 0000 1 0000 1 0000 0 1250 2 0000 1 0000 4 0000 2 0000 1 0000 2 0000 1 0000 2 0000 1 0000 1 0000 0 2500 1 0000 0 2500 1 0000 2 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 5000 0 5000 0 5000 0 5000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 0 5000 1 0000 0 5000 0 5000 2 0000 12 列 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 2 0000 1 0000 2 0000 2 0000 0 5000 1 0000 x y eig A x 1 至 6 列 0 3546 0 0000i 0 2892 0 1213i 0 2892 0 1213i 0 1199 0 5389i 0 1199 0 5389i 0 1379 0 3456i 0 2591 0 0000i 0 0744 0 1607i 0 0744 0 1607i 0 0204 0 0305i 0 0204 0 0305i 0 1975 0 1511i 0 2934 0 0000i 0 1101 0 1609i 0 1101 0 1609i 0 1026 0 0041i 0 1026 0 0041i 0 0432 0 2452i 0 1218 0 0000i 0 0370 0 0529i 0 0370 0 0529i 0 0714 0 0384i 0 0714 0 0384i 0 1053 0 2051i 0 2101 0 0000i 0 0117 0 1124i 0 0117 0 1124i 0 0735 0 2027i 0 0735 0 2027i 0 3720 0 0000i 0 2243 0 0000i 0 0118 0 1047i 0 0118 0 1047i 0 1692 0 1217i 0 1692 0 1217i 0 0827 0 3554i 0 6047 0 0000i 0 7875 0 0000i 0 7875 0 0000i 0 7473 0 0000i 0 7473 0 0000i 0 0174 0 3707i 0 2030 0 0000i 0 1014 0 0288i 0 1014 0 0288i 0 0828 0 0227i 0 0828 0 0227i 0 1784 0 0810i 0 2706 0 0000i 0 0262 0 3383i 0 0262 0 3383i 0 0802 0 0141i 0 0802 0 0141i 0 0990 0 2834i 0 2412 0 0000i 0 1683 0 0426i 0 1683 0 0426i 0 0346 0 0345i 0 0346 0 0345i 0 2400 0 1807i 0 1771 0 0000i 0 0731 0 0958i 0 0731 0 0958i 0 0733 0 0142i 0 0733 0 0142i 0 0227 0 1776i 0 2052 0 0000i 0 1041 0 0486i 0 1041 0 0486i 0 0634 0 0486i 0 0634 0 0486i 0 1560 0 0090i 7 至 12 列 0 1379 0 3456i 0 4825 0 0000i 0 4780 0 1446i 0 4780 0 1446i 0 4606 0 0000i 0 4606 0 0000i 0 1975 0 1511i 0 1551 0 0000i 0 2273 0 2785i 0 2273 0 2785i 0 2686 0 0168i 0 2686 0 0168i 0 0432 0 2452i 0 2874 0 0000i 0 5545 0 0000i 0 5545 0 0000i 0 0909 0 0238i 0 0909 0 0238i 0 1053 0 2051i 0 2069 0 0000i 0 1028 0 1069i 0 1028 0 1069i 0 1741 0 0480i 0 1741 0 0480i 0 3720 0 0000i 0 1553 0 0000i 0 0169 0 0849i 0 0169 0 0849i 0 3258 0 1821i 0 3258 0 1821i 0 0827 0 3554i 0 1437 0 0000i 0 2031 0 1752i 0 2031 0 1752i 0 1456 0 0242i 0 1456 0 0242i 0 0174 0 3707i 0 0213 0 0000i 0 0168 0 0365i 0 0168 0 0365i 0 3195 0 2739i 0 3195 0 2739i 0 1784 0 0810i 0 5419 0 0000i 0 0967 0 0531i 0 0967 0 0531i 0 2035 0 0984i 0 2035 0 0984i 0 0990 0 2834i 0 4654 0 0000i 0 2953 0 0704i 0 2953 0 0704i 0 4009 0 0546i 0 4009 0 0546i 0 2400 0 1807i 0 0173 0 0000i 0 0150 0 1750i 0 0150 0 1750i 0 0696 0 0971i 0 0696 0 0971i 0 0227 0 1776i 0 1932 0 0000i 0 0905 0 1373i 0 0905 0 1373i 0 2974 0 0706i 0 2974 0 0706i 0 1560 0 0090i 0 1570 0 0000i 0 2054 0 0805i 0 2054 0 0805i 0 0777 0 0846i 0 0777 0 0846i y 1 至 6 列 13 5660 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 1493 3 6332i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 1493 3 6332i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 3782 2 2734i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 3782 2 2734i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 2768 1 2155i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 0000 0 0000i 0 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0 0794 0 0794 0 0370 0 0264 因为 B 为一致性矩阵 所以不用进行一致性检验 所以足球队的排名为 T7 T3 T1 T8 T9 T10 T2 T4 T5 T11 T12 T6 代码如下 syms B B 1 0000 1 7143 0 8571 2 0000 2 6667 8 0000 0 6000 1 4118 1 6000 1 6000 3 4286 4 8000 0 5833 1 0000 0 5000 1 1667 1 5556 4 6667 0 3500 0 8235 0 9333 0 9333 2 0000 2 8000 1 1667 2 0000 1 0000 2 3333 3 1111 9 3333 0 7000 1 6471 1 8667 1 8667 4 0000 5 6000 0 5000 0 8571 0 4286 1 0000 1 3333 4 0000 0 3000 0 7059 0 8000 0 8000 1 7143 2 4000 0 3750 0 6429 0 3214 0 7500 1 0000 3 0000 0 2250 0 5294 0 6000 0 6000 1 2857 1 8000 0 1250 0 2143 0 1071 0 2500 0 3333 1 0000 0 0750 0 1765 0 2000 0 2000 0 4286 0 6000 1 6667 2 8571 1 4286 3 3333 4 4444 13 3333 1 0000 2 3529 2 6667 2 6667 5 7143 8 0000 0 7083 1 2143 0 6071 1 4167 1 8889 5 6667 0 4250 1 0000 1 1333 1 1333 2 4286 3 4000 0 6250 1 0714 0 5357 1 2500 1 6667 5 0000 0 3750 0 8824 1 0000 1 0000 2 1429 3 0000 0 6250 1 0714 0 5357 1 2500 1 6667 5 0000 0 3750 0 8824 1 0000 1 0000 2 1429 3 0000 0 2917 0 5000 0 2500 0 5833 0 7778 2 3333 0 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