轮复习配套讲义第1篇 第1讲 集合及其运算.doc

第1讲集合及其运算学习目标1了解集合的含义、元素与集合的属于关系2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集4理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集5能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.知 识 梳 理1元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA辨 析 感 悟1元素与集合的辨别(1)若 10,1，则x0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n1，非空真子集的个数是2n2.()(3)若Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则ABx|xR()2对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)总成立()(5)(2013浙江卷改编)设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)Tx|4x1()(6)(2013陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RMx|x1，或x1()感悟提升1一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件如第(3)题就是混淆了数集与点集2两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)3集合的运算性质：ABBAB；ABAAB；A(UA)U；A(UA).考点一集合的基本概念【例1】【例1】(1)(2013江西卷)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4 B2 C0 D0或4(2)(2013山东卷)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9解析(1)由ax2ax10只有一个实数解，可得当a0时，方程无实数解；当a0时，则a24a0，解得a4(a0不合题意舍去)(2)xy2，1,0,1,2答案(1)A(2)C规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】已知aR，bR，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.解析由已知得0及a0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 014b2 0141.答案1考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围(2)设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，求m的值审题路线(1)分B和B两种情况求解，当B时，应注意端点的取值(2)先求A，再利用(UA)BBA，应对B分三种情况讨论解(1)当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图则解得2m4.综上，m的取值范围是(，4(2)A2，1，由(UA)B，得BA，方程x2(m1)xm0的判别式(m1)24m(m1)20，B.B1或B2或B1，2若B1，则m1；若B2，则应有(m1)(2)(2)4，且m(2)(2)4，这两式不能同时成立，B2；若B1，2，则应有(m1)(1)(2)3，且m(1)(2)2，由这两式得m2.经检验知m1和m2符合条件m1或2.规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论【训练2】(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)(2014郑州模拟)已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为()A1 B1 C1,1 D1,0,1解析(1)由题意知：A1,2，B1,2,3,4又ACB，则集合C可能为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4(2)a0时，Bx|10A；a0时，BA，则1或1，故a0或a1或1.答案(1)D(2)D考点三集合的基本运算【例3】(1)(2013湖北卷)已知全集为R，集合A，Bx|x26x80，则ARB()Ax|x0 Bx|2x4Cx|0x2，或x4 Dx|0x2，或x4(2)(2014唐山模拟)若集合My|y3x，集合Sx|ylg(x1)，则下列各式正确的是()AMSM BMSSCMS DMS解析(1)Ax|x0，Bx|2x4，所以RBx|x2，或x4，此时ARBx|0x2，或x4(2)My|y0，Sx|x1，故选A.答案(1)C(2)A规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况【训练3】(1)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4 C0,2,4 D0,2,3,4(2)已知全集UR，集合Ax|1x3，集合Bx|log2(x2)1，则A(UB)_.解析(1)UA0,4，(UA)B0,2,4(2)由log2(x2)1，得0x22,2x4，所以Bx|2x4故UBx|x2，或x4，从而A(UB)x|1x2答案(1)C(2)x|1x2数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决学生用书第3页创新突破1与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D10解析法一(列表法)因为xA，yA，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及xy的取值如下表所示： xxy y12345101234210123321012432101543210由题意xyA，故xy只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.法二(直接法)因为A1,2,3,4,5，所以集合A中的元素都为正数，若xyA，则必有xy0，xy.当y1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y3时，x可取4,5，共有2个数；当y4时，x只能取5，共有1个数；当y5时，x不能取任何值综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为432110.答案D反思感悟 (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力【自主体验】1(2013广东卷)设整数n4，集合X1,2,3，n令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A(y，z，w)S，(x，y，w)SB(y，z，w)S，(x，y，w)SC(y，z，w)S，(x，y，w)SD(y，z，w)S，(x，y，w)S解析题目中xyz，yzx，zxy恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x1，y2，z3，w4满足题意，且(2,3,4)S，(1,2,4)S，从而(y，z，w)S，(x，y，w)S成立答案B2(2013浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“好元素”给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A6个 B12个 C9个 D5个解析依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数故这样的集合共有6个答案A对应学生用书P219基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013新课标全国卷)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则()AAB BABRCBA DAB解析集合Ax|x2，或x0，所以ABx|x2，或x0x|xR.答案B2(2013广东卷)设集合Sx|x22x0，xR，Tx|x22x0，xR，则ST()A0 B0,2 C2,0 D2,0,2解析S2,0，T0,2，ST0答案A3已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个解析PMN1,3，故P的子集共有4个答案B4(2013辽宁卷)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB()A(0,1) B(0,2C(1,2) D(1,2解析0log4x1，即log41log4xlog44，1x4，集合Ax|1x4，ABx|1x2答案D5设集合Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|4x2Cx|8x1 Dx|1x2解析阴影部分是ARB.集合Ax|4x2，RBx|x1，所以ARBx|1x2答案D二、填空题6(2013江苏卷)集合1,0,1共有_个子集解析所给集合的子集个数为238个答案87集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为_解析根据并集的概念，可知a，a24,16，故只能是a4.答案48集合AxR|x2|5中的最小整数为_解析由|x2|5，得5x25，即3x7，所以集合A中的最小整数为3.答案3三、解答题9已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若AB3，求AB.解由AB3知，3B.又a211，故只有a3，a2可能等于3.当a33时，a0，此时A0,1，3，B3，2，1，AB1，3故a0舍去当a23时，a1，此时A1,0，3，B4，3,2，满足AB3，从而AB4，3,0,1,210设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，求a的值；(2)若AB，求a的值解(1)A0，4，当B时，4(a1)24(a21)8(a1)0，解得a1；当B为单元素集时，a1，此时B0符合题意；当BA时，由根与系数的关系得：解得a1.综上可知：a1或a1.(2)若AB，必有AB，由(1)知a1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为()A5 B4 C3 D2解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3.故z的值为1,1,3，故所求集合为1,1,3，共含有3个元素答案C2(2013江西七校联考)设全集UR，集合Mx|ylg(x21)，Nx|0x2，则N(UM)()Ax|2x1 Bx|0x1Cx|1x1 Dx|x1解析Mx|ylg(x21)x|x210x|x1，或x1，所以UMx|1x1，结合数轴易得N(UM)x|0x1答案B二、填空题3已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)