2016年山东省济南市高考模拟文科数学试卷(5月份)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（ 5月份） 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A 2 2i 2设 N 是自然数集， P=x|y= ，则集合 PN 中元素个数是（ ） A 2B 3C 4D 5 3如果 ，则 a+b 的最小值是 （ ） A 25B 10C 5D 2 4 “a 2 且 b 2”是 “4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5执行如图的程序框图，则输出的 S 等于（ ） A 0B 3C 10D 25 6已知不等式组 ，表示的平面区域为 D，若函数 y=|x|+m 的图象上存在区域D 上的点，则实数 m 的 最小值为（ ） A 6B 4C 0D 4 7在区间 0， 上随机取一个数 x，则时间 “”发生的概率为（ ） A B C D 8已知 ，边 a， b， c 的对角分别为 A， B， C，且 a= ， c= ， C= ，则 等于（ ） 第 2 页（共 19 页） A 3B C D 9已知函数 f（ x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f（ x） =x+1） +a，则 f（8）等于（ ） A 3 3+ 2D 2 10设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 =0，且 | |则该双曲线的离心率为（ ） A B C D +1 二、填空题（本大共 5小题，每小题 5分，满分 25分） 11商场为了了解毛衣的月销售量 y（件）与月平均气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表： 月平均气温 x（ ） 17 13 8 2 月销售量 y（件） 24 33 40 55 由表中数据算出线性 回归方程 = 2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为 24 ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 件 12某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的表面积是 3过点 P（ 3， 1）的直线 l 与圆 C：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 相交于 A， B 两点，当弦 线 l 的倾斜角等于 14已知 ， C=1，且 | + |=| |， =3 ，若点 P 是 上的动点，则 的取值范围是 15若函数 y=f（ x）的定义域 D 中恰好存在 n 个值 ， f（ =f（ i=1，2， ， n），则称函数 y=f（ x）为定义域 D 上的 “n 度局部偶函数 ” 已知函数 g（ x） = 是定义域为（ ， 0） （ 0， +）上的 “3 度局部偶函数 ”，则 a 的取值范围是 三、解答题（共 6小题，满分 75分） 第 3 页（共 19 页） 16 2016 年 2 月，国务院发布的关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见中提到 “原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开 ”，济南某新闻媒体对某一小区 100 名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图 （ ）求 m 的值； （ ）用分层抽样的方法抽取 20 人到演播大厅进行现场交流 （ i）求年龄在 35 55 岁之间的人数； （ 55 75 岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再 65 75 岁之间的概率是多少？ 17已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； （ ） 将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位后得到函数 g（ x）的图象，当 x ， 时，求函数 g（ x）的值域 18如图，四棱锥 P ， 正三角形，四边形 边长为 2 的菱形， 0平面 直线 别交于点 E， F （ ）求证： （ ）若平面 平面 求三棱锥 A 体积 19已知在等比数列 ， nN*恒成立，且 ， a2+ （ ）求数列 通项公式（ ）若数列 足 + =n，（ nN*），求数列 前 n 项和 第 4 页（共 19 页） 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 y= 交于点 E， F，直线 y= x 与椭圆 C 交于点 G， H，且四边形 面积为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 的左顶点 A 作直线 于另一点 P，过点 A 作垂直于 直线 于另一点 Q，当直线 线 否过 x 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说 明理由 21已知函数 f（ x） =ex+中 mR，函数 g（ x） =f（ x） + （ ）当 m=1 时，求函数 f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）当 m= e 时， （ i）求函数 g（ x）的最大值； （ 函数 （ x） =|g（ x） | ，证明：函数 （ x）没有零点 第 5 页（共 19 页） 2016年山东省济南市高考数学模拟试卷（文科）（ 5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小 题，每小题 5分，满分 50分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1设复数 z= （ i 为虚数单位），则 z=（ ） A 2 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的除法的运算法则化简复数为： a+形式即可 【解答】 解：复数 z= （ i 为虚数单位）， 则 z= = = i 故选： B 2设 N 是自然数集， P=x|y= ，则集合 PN 中元素个数是（ ） A 2B 3C 4D 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 P 中 x 的范围确定出 P，找出 P 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 P 中 y= ，得到 3x ， 整理得： x（ x 3） 0， 解得： 0x3，即 P=0， 3， N 为自然数集， PN=0， 1， 2， 3， 则集合 PN 中元素个数是 4， 故选： C 3如果 ，则 a+b 的最小值是（ ） A 25B 10C 5D 2 【考点】 基本不等式；对数的运算性质 【分析】 利用对数的运算性质可得： 2，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a， b 0， = 2=25 ，解得 a+b10，当且仅当 a=b=5 时取等号 则 a+b 的 最小值是 10 故选： B 4 “a 2 且 b 2”是 “4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 6 页（共 19 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 依据充分性与必要性的定义，对两个条件之间的关系进行判断研究其因果规律，以确定两个条件的关系 【解答】 解：若 a 2 且 b 2，则 4 成立，故充分性易证 若 4，如 a=8， b=1，此时 4 成立，但不能得出 a 2 且 b 2，故必要性不成立 由上证明知 “a 2 且 b 2”是 “4”的充分不必要条件 ， 故选 A 5执行如图的程序框图，则输出的 S 等于（ ） A 0B 3C 10D 25 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 s， k 的值，当 k=5 时，不满足条件 k 5，退出循环，输出 s 的值为 10 【解答】 解：模拟执行程序，可得 k=1， s=1 满足条件 k 5，执行循环体， s=1， k=2 满足条件 k 5，执行循环体， s=0， k=3 满足条件 k 5，执行循环体， s= 3， k=4 满足条件 k 5，执行循环体， s= 10， k=5 不满足条件 k 5，退出循环，输出 s 的值为 10 故选： C 6已知不等式组 ，表示的平面区域为 D，若函数 y=|x|+m 的图象上存在区域D 上的点，则实数 m 的最小值为（ ） A 6B 4C 0D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，从而可得 3y5， 0|x|3；化简 y=|x|+m 为 m=y |x|，从而确定最小值 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 结合图象可知， 3y5， 0|x|3； y=|x|+m， m=y |x|， 故当 y= 3， |x|=3，即过点 A（ 3， 3）时， m 有最小值为 6； 故选： A 7在区间 0， 上随机取一个数 x，则时间 “”发生的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 利用三角函数的辅助角公式求出 的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】 解：由 得 x+ ） 1， 即 x+ ） ， 2x+ 2， kZ 即 2kx2， kZ 0x ， 第 8 页（共 19 页） 当 k=0 时， x 的取值范围是 0x ， 则 “”发生的概率 P= = ， 故选： D 8已知 ，边 a， b， c 的对角分别为 A， B， C，且 a= ， c= ， C= ，则 等于（ ） A 3B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由条件和正弦定理求出 合条件和内角的范围求出 A，由内角和定理求出 B，利用三角形面积公式求出 面积 S 【解答】 解：在 ， a= ， c= ， C= ， 由正弦定理得 ， 则 = = ， C 是钝角，且 0 A ， A= ， B= A C= ， 面积 S= = = ， 故选： D 9已知函数 f（ x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f（ x） =x+1） +a，则 f（8）等于（ ） A 3 3+ 2D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据奇函数的结论 f（ 0） =0 求出 a，再由对数的运算得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x）为奇函数， f（ 0） =a=0， f（ 8） = f（ 8） = 8+1） = 2 故选： C 10设 双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使 =0，且 | |则该双曲线的离心率为（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D +1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： 双曲线右支上存在一点 P，使 =0， ， | | |2|4c，即 |2c | | | |（ 1） |2a， |2c 2（ 1） c=2a， e= = ， 故选： C 二、填空题（本大共 5小题，每小题 5分，满分 25分） 11商场为了了解毛衣的月销售量 y（件）与月平均气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表： 月平均气温 x（ ） 17 13 8 2 月销售量 y（件） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程 = 2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为 24 ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 2 件 【考点】 线性回归方程 【分析】 分别求出 ， ，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 a 的值，写出线性回归方程，将 x=24 代入线性回归方程求出对应的 y 的值，这是一个预报值 【解答】 解： = （ 17+13+8+2） =10， = （ 24+33+40+55） =38， a=58 = 2x+58， = 224+58=2， 故答案为： 2 12某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的表面积是 12+4 10 页（共 19 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体， 该几何体的表面积 =222+ +22 =12+4 故答案为： 12+4 13过点 P（ 3， 1）的直线 l 与圆 C：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 相交于 A， B 两点，当弦 线 l 的倾斜角等于 45 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意结合图象可得当弦 长取最小值时，直线 l 过 P 且与 直，由斜率公式和直线的垂直关系可得 【解答】 解： （ 3 2） 2+（ 1 2） 2=2 4， 点 P 在圆 C 内部， 当弦 长取最小值时，直线 l 过 P 且与 直， 由斜率公式可得 = 1， 故直线 l 的斜率为 1，倾斜角为 45， 故答案为： 45 14已知 ， C=1，且 | + |=| |， =3 ，若点 P 是 上的动点，则 的取值范围是 4， 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据 | + |=| |得出 =0， ，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算表示出 ，根据坐标运算即可求出 的取值范围 【解答】 解： ， C=1， | + |=| |， =0， ； 以 坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 第 11 页（共 19 页） 则 A（ 0， 0）， C（ 1， 0）， B（ 0， 1）， =3 ， E（ ， ）； 直线 程为 x+y=1，即 x+y 1=0； 设 P（ x， y），则 0x1， 则 =（ x， y）， =（ ， ）， = x+ y= x+ （ 1 x） = x+ ； 0x1， x+ ； 即 的取值范围是 ， 故答案为： ， 15若函数 y=f（ x）的定义域 D 中恰好存在 n 个值 ， f（ =f（ i=1，2， ， n），则称函数 y=f（ x）为定义域 D 上的 “n 度局部偶函数 ” 已知函数 g（ x） = 是定义域为（ ， 0） （ 0， +）上的 “3 度局部偶函数 ”，则 a 的取值范围是 （ 4， 2 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 根据条件得到函数 f（ x）存在 n 个关于 y 轴对称的点，作出函数关于 y 轴对称的图象，根据对称性建立不等式关系 进行求解即可 【解答】 解：由 “n 度局部偶函数 ”的定义可知，函数存在关于 y 对称的点有 n 个， 当 x 0 时，函数 g（ x） =|x） | 1，关于 y 轴对称的函数为 y=| x） | 1=|x） | 1， x 0， 作出函数函数 g（ x） g 和函数 y=h（ x） =|x| 1， x 0 的图象如图： 若 g（ x）是定义域为（ ， 0） （ 0， +）上的 “3 度局部偶函数 ”， 第 12 页（共 19 页） 则等价为函数 g（ x）和函数 y=|x） | 1， x 0 的图象有且只有 3 个交点， 若 a 1，则两个函数只有一个交点，不满足条件， 当 0 a 1 时，则满足 ， 即 ，则 ，即 a ， 故答案为：（ ， ） 三、解答题（共 6小题，满分 75分） 16 2016 年 2 月，国务院发布的关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见中提到 “原则上不再建设封闭住 宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开 ”，济南某新闻媒体对某一小区 100 名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图 （ ）求 m 的值； （ ）用分层抽样的方法抽取 20 人到演播大厅进行现场交流 （ i）求年龄在 35 55 岁之间的人数； （ 55 75 岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再 65 75 岁之间的概率是多少？ 第 13 页（共 19 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）根据各组的频率和等于 1，即可求出 m 的值， （ ）（ i）根据各组的人数比，利用分层抽样即可求出龄在 35 55 岁之间的人数， （ 龄在 55 65 岁之间的人数为 3 人，记为 A， B， C，年龄在 65 75 岁之间的人数为2 人，记为 D， E，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）因为各组的频率和等于 1， m= = （ ）依题意，各小组的人数为比 ： 7： 5： 3： 2， （ i）年龄在 35 55 岁之间的人数 20 =12 人， （ 龄在 55 65 岁之间的人数为 20 =3 人，记为 A， B， C， 年龄在 65 75 岁之间的人数为 20 =2 人，记为 D， E， 从 55 75 岁之间任意找两个人发言，有 E 共 10 种， 其中少一人再 65 75 岁之间的有 7 种， 所以至少一人再 65 75 岁之间的概率为 17已知函数 f（ x） = （ ）求函数 f（ x）的单调增区间； （ ）将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位后得到函数 g（ x）的图象，当 x ， 时，求函数 g（ x）的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦化简 （ ）由相位在正弦函数的增区间内求得 x 的取值范围可得函数 f（ x）的单调增区间； （ ）由函数的伸缩和平移变换求得 g（ x）的解析式，结合 x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数 g（ x）的值域 第 14 页（共 19 页） 【解答】 解： f（ x） = （ ）由 ，解得 函数 f（ x）的单调增区间为 ， kZ； （ ）将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位， 得 y=2（ x ） +1=2 再向下平移 1 个单位后得到函数 g（ x） =2 由 x ， ，得 2x ， ， 则函数 g（ x）的值域为 18如图，四棱锥 P ， 正三角形，四边形 边长为 2 的菱形， 0平面 直线 别交于点 E， F （ ）求证： （ ）若平面 平面 求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）由 出 平面 用线面平行的性质得出 （ 2）过 P 作 G，由面面垂直的性质得出 平面 是 P 【解答】 证明：（ 1） 四边形 菱形， 面 面 平面 又 面 面 面 F， （ 2）过 P 作 G， 平面 平面 面 面 D， 面 平面 正三角形，四边形 边长为 2 的菱形， 0， ， S = 第 15 页（共 19 页） P = =1 19已知在等比数列 ， nN*恒成立，且 ， a2+ （ ）求数列 通项公式（ ）若数列 足 + =n，（ nN*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ I）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 （ 用等比数列的前 n 项和公式、 “错位相减法 ”即可得出 【解答】 解：（ I）设等比数列 公比为 q， nN*恒成立，且 ， a2+ ，联立解得 ， q=2 2n 2=2n 1 （ 数列 足 + =n，（ nN*）， =1，解得 n2 时， =n（ n 1） =1， 2n 1） 2n 1 数列 前 n 项和 +32+522+（ 2n 1） 2n 1 2+322+（ 2n 3） 2n 1+（ 2n 1） 2n， +2（ 2+22+2n 1）（ 2n 1） 2n= 1（ 2n 1） 2n=（ 3 2n） 2n 3， 2n 3） 2n+3 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，直线 y= 交于点 E， F，直线 y= x 与椭圆 C 交于点 G， H，且四边形 面积为 （ 1）求椭圆 C 的方程； 第 16 页（共 19 页） （ 2）过椭圆 C 的左顶点 A 作直线 于另一点 P，过点 A 作垂直于 直线 于另一点 Q，当直线 线 否过 x 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）利用椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，得出 a=2b，直线 y=，可得 + =1， x= b，利用四边形 面积为 ，求出 b，可得a，即可求得椭圆的方程； （ 2）设直线 方程代入椭圆的方程，消去 y，整理得一元二次方程，由韦达定理，可求得 P 的坐标，以 代入，可得 Q（ ， ），从而可求 直线方程，令y=0，即可得到结论 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ， = ， a=2b， 直线 y=x 代入椭圆 C，可得 + =1， x= b， 直线 y=x 与椭圆 C 交于点 E， F，直线 y= x 与椭圆 C 交于点 G， H，且四边形 面积为 ， （ b） 2= ， b=1， a=2， 椭圆 C 的方程为 =1； （ 2）设 P（ Q（ 直线斜率为 k，则直线 y=k（ x+2） 把它代入椭圆的方程，消去 y，整理得：（ 1+46 164） =0 由韦达定理得 2+ ， ， 第 17 页（共 19 页） y1=k（ ） = ， P（ ， ）， 以 代入，可得 Q（ ， ），则 直线方程为 y = （ x ）， 令 y=0