2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1复数 z 满足 z（ 1+ i） =|1+ i|，则 z 等于（ ） A 1 1C i 2有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在 概率是（ ） 分组 频数 2 4 9 18 分组 频数 11 12 7 3 A B C D 3已知集合 A=1， 2， 3，平面内以（ x， y）为坐标的点集合 B=（ x， y） |xA， yA，x+yA，则 B 的子集个数为（ ） A 3B 4C 7D 8 4设 等差数列 前 n 项和，若 ，公差 d=2， 6，则 n=（ ） A 5B 6C 7D 8 5若某程序 框图如图所示，则输出的 P 的值是（ ） A 22B 27C 31D 56 6在 ， ， ， =1，则 ） A B C 2 D 7等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 6x 的准线交于 A， B 两点，则 C 的实轴长为（ ） A B C 4D 8 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 64+8B 48+12C 48+8D 48+12 9已知 ，则 2） =（ ） A B C D 10已知 a， bR，下列四个条件中，使 1 成立的必要不充分条件是（ ） A a b 1B a b+1C |a| |b|D（ ） a（ ） b 11已知实数 a， b 满足 a2+4a+3=0，函数 f（ x） = 的最大值记为 （ a， b），则 （ a， b）的最小值为（ ） A 1B 2C D 3 12已知函数 f（ x） = 的图象上有两对关于坐 标原点对称的点，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， ） C（ 0， +） D（ 0， e） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13设随机变量 X 满足正态分布 X N（ 1， 2），若 P（ 3x 1） = P（ 3x1）= 14若直线 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 m 的取值范围 15如图，半径为 4 的球 O 中有一内接 圆往，则圆柱的侧面积最大值是 第 3 页（共 21 页） 16对于函数 f（ x），若存在区间 M=a， b，使得 y|y=f（ x）； xM=M，则称函数 f（ x）具有性质 p，给出下列 3 个函数： f（ x） =f（ x） =3x f（ x） = 其中具有性质 p 的函数是 （填入所有满足条件函数的序号） 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17等比数列 各项均为正数，且 2， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 前 n 项和， ，求数列 前 n 项和 18本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时 （ ）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率 （ ）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为 ，求 的分布列及数学期望 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形， D=2 ， B=6，点 P 在底面的正投影在 （ I）证明： （ ）求直线 平面 成角的正弦值 20如图，已知椭圆 + =1（ a b 0）的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（ c、 0），（ 0， b）的直线的距离为 c（ （ 0， 1），垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 2： x2+y2=四个 交点按其坐标从大到小分别为 A、 B、 C、 D 第 4 页（共 21 页） （ ）当 = 时，求 的值； （ ）设 N（ a， 0），若存在直线 l 使得 明： 0 21设函数 f（ x） =（ ） e x（ aR） （ ）当 a 0 时，求 f（ x）的单调递增区间； （ ）对任意 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立 ，求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 （共 1小题，满分 10分） 22如图， O 的直径， 接于 O， C， 足为 D （ ）求证： D=C； （ ）过点 C 作 O 的切线交 延长线于 F，若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直 角坐标系 相同的单位长度，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 + ） =2 （ ）求圆 C 的极坐标方程； （ ）设圆 C 与直线 l 交于点 A， B，求 | 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式 x） +3 0； （ 2）对于任意的 x（ 3， 3），不等式 f（ x） m |x|恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2016 年广东省 湛江市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1复数 z 满足 z（ 1+ i） =|1+ i|，则 z 等于（ ） A 1 1C i 【考点】 复数求模 【分析】 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可 【解答】 解：复数 z 满足 z（ 1+ i） =|1+ i|=2， z= = =1 故选： A 2有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的数据如下：估计数据落在 概率是（ ） 分组 频数 2 4 9 18 分组 频数 11 12 7 3 A B C D 【考点】 频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 根据频率分布表，利用频率 = ，计算频率即可 【解答】 解：数据落在 频数是 12+7+3=22， 所以数据落在 概率是 P= = 故选： B 3已知集合 A=1， 2， 3，平面内以（ x， y）为坐标的点集合 B=（ x， y） |xA， yA，x+yA，则 B 的子集个数为（ ） A 3B 4C 7D 8 【考点】 子集与真子集 【分析】 先求出 B=（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1） ，由此能求出 B 的子集个数 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3，平面内以（ x， y）为坐标的点集合 B=（ x， y） |xA，yA， x+yA， B=（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1） ， B 的子集个 数为： 23=8 个 故选： D 第 6 页（共 21 页） 4设 等差数列 前 n 项和，若 ，公差 d=2， 6，则 n=（ ） A 5B 6C 7D 8 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由 6，得 +=36，代入等差数列的通项公式求解 n 【解答】 解：由 6，得： +=36， 即 a1+nd+ n+1） d=36， 又 ， d=2， 2+2n+2（ n+1） =36 解得： n=8 故选： D 5若某程序框图如图所示，则输出 的 P 的值是（ ） A 22B 27C 31D 56 【考点】 程序框图 【分析】 根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可 【解答】 解：第一次运行得： n=0， p=1，不满足 p 20，则继续运行 第二次运行得： n= 1， p=2，不满足 p 20，则继续运行 第三次运行得： n= 2， p=6，不满足 p 20，则继续运行 第四次运行得： n= 3， p=15，不满足 p 20，则继续运行 第五次运行得： n= 4， p=31，满足 p 20，则停止运行 输出 p=31 故选 C 第 7 页（共 21 页） 6在 ， ， ， =1，则 ） A B C 2 D 【考点】 解三角形；向量在几何中的应用 【分析】 设 B=，由 =1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出 利用余弦定理表示出 者相等列出关于 方程，求出方程的解即可得到 长 【解答】 解：根据题意画出相应的图形，如图所示： =1，设 B=， ， 2BC ） =1，即 ， 又根据余弦定理得： = ， = ，即 ， 则 故 选 A 7等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 6x 的准线交于 A， B 两点，则 C 的实轴长为（ ） A B C 4D 8 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 设等轴双曲线 C： y2=a 0）， 6x 的准线 l： x= 4，由 C 与抛物线 6线交于 A， B 两点， ，能求出 C 的实轴长 【解答】 解：设等轴双曲线 C： y2=a 0）， 6x 的准线 l： x= 4， 第 8 页（共 21 页） C 与抛物线 6x 的准线 l： x= 4 交于 A， B 两点， A（ 4， 2 ）， B（ 4， 2 ）， 将 A 点坐标代入双曲线方程得 =4， a=2， 2a=4 故选 C 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 64+8B 48+12C 48+8D 48+12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积 【解答】 解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是 4，高是 2 的四棱柱，上部分是底面直径为 4，高为 2 的圆柱， S=442+442+42=64+8 故选 A 9已知 ，则 2） =（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 【分析】 先根据诱导公式求得 2a） = 而根据二倍角 公式把 【解答】 解： ， 2a） = （ 1 2= 故选 B 10已知 a， bR，下列四个条件中，使 1 成立的必要不充分条件是（ ） 第 9 页（共 21 页） A a b 1B a b+1C |a| |b|D（ ） a（ ） b 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对于 1，当 b 0 时， a b 0；当 b 0 时， a b 0， a b 0，可得 1|a| |b|，反之不成立即可判断出结论 【解答】 解：对于 1， b（ a b） 0 当 b 0 时， a b 0；当 b 0 时， a b 0， a b 0， 1|a| |b|， 反之不成立，例如：取 a=2， b= 1 |a| |b|是使 1 成立的必要不充分条件 故选： C 11已知实数 a， b 满足 a2+4a+3=0，函数 f（ x） = 的最大值记为 （ a， b），则 （ a， b）的最小值为（ ） A 1B 2C D 3 【考点】 三角函数的最值 【分 析】 点（ a， b）在圆 （ a 2） 2+1 上，函数 f（ x） = 的最大值为 （ a， b） = +1，表示原点到点（ a， b）的距离加 1，求出圆上的点到原点的距离的最小值为 1，从而求得 （ a， b）的最小值 【解答】 解： 实数 a， b 满足 a2+4a+3=0， （ a 2） 2+1，表示以（ 2， 0）为圆心，以 1 为半径的圆 函数 f（ x） = 的最大值为 （ a， b） = +1，它的几何意义为原点到点（ a， b）的距离加 1 再由点（ a， b）在圆 a2+4a+3=0 上，原点到圆心（ 2， 0）的距离等于 2， 故圆上的点到原点的距离的最小值为 1， 所以 （ a， b）的最小值为 2， 故选 B 12已知函数 f（ x） = 的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， ） C（ 0， +） D（ 0， e） 【考点】 分 段函数的应用 【分析】 求出 x 0 时关于原点对称的函数 g（ x） =题意可得 g（ x）的图象和 y=2（ x 0）的图象有两个交点设出直线 y=2 与 y=g（ x）相切的切点为（ m， 第 10 页（共 21 页） 求出 g（ x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和 k 的值，由图象即可得到所求范围 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = x）， 由 f（ x）的图象关于原点对称，可得 g（ x） =x 0）， 由题意可得 g（ x）的图象和 y=2（ x 0）的图象有两个交点 设直线 y=2 与 y=g（ x）相切的切 点为（ m， 由 g（ x）的导数为 g（ x） = ， 即有切线的斜率为 =k， 又 2，解得 m= ， k=e， 由图象可得 0 k e 时，有两个交点 故选： D 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13设随机变量 X 满足正态分布 X N（ 1， 2），若 P（ 3x 1） = P（ 3x1）= 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据正态分布曲线关于 x= 1 对称，可得 P（ 3x 1） =P（ 1x1），即可得出结论 【解答】 解：由正态分布曲线的对称性得： P（ 3x 1） =P（ 1x1）， P（ 3x1） =2P（ 3x 1） = 故答案为： 14若直线 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 m 的取值范围 （， 1 【考点】 简单线性规划 第 11 页（共 21 页） 【分析】 先根据 ，确定交点坐标为（ 1， 2）要使直线 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则 m1，由此可得结论 【解答】 解：由题意，由 ，可求得交点坐标为（ 1， 2） 要使直线 y=2x 上存在点（ x， y）满足约束条件 ， 如图所示可得 m1 则实数 m 的取值范围 （ ， 1 故答案为：（ ， 1 15如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆往，则圆柱的侧面积最大值是 32 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 设出圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值 【解答】 解： 设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，则 r=4柱的高为 8 圆柱的侧面积为： 32且仅当 = 时， ，圆柱的侧面积最大， 圆柱的侧面积的最大值为： 32 第 12 页（共 21 页） 故答案为： 32 16对于函数 f（ x），若存在区间 M=a， b，使得 y|y=f（ x）； xM=M，则称函数 f（ x）具有性质 p，给出下列 3 个函数： f（ x） =f（ x） =3x f（ x） = 其中具有性质 p 的函数是 （填入所有满足条件函数的序号） 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分 析】 对于函数 f（ x） =据其在 ， 上是单调增函数，通过分析方程x 在 ， 上仅有一解，判断即可； 通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值 b 和极小值 a，而求得的 f（ a）与 f（ b）在 a， b范围内，满足性质 P； 根据 “性 质 P”的定义，函数存在 “区间 M”，只要举出一个符合定义的区间 M 即可，但要说明函数没有 “区间 P”，判断即可 【解答】 解： 对于函数 f（ x） =正弦函数存在等值区间 a， b， 则在区间 a， b上有 a， b， 由正弦函数的值域知道 a， b 1， 1， 但在区间 1， 1上仅有 ， 所以函数 f（ x） =具有性质 P； 对于函数 f（ x） =3x， f（ x） =33=3（ x 1）（ x+1） 当 x（ 1， 1）时， f（ x） 0 所以函数 f（ x） =3x 的增区间是（ ， 1），（ 1， +），减区间是（ 1， 1） 取 M= 2， 2，此时 f（ 2） = 2， f（ 1） =2， f（ 1） = 2， f（ 2） =2 所以函数 f（ x） =3x 在 M= 2， 2上的值域也为 2， 2， 则具有性质 P； 对于 f（ x） =，若存在 “稳定区间 ”a， b，由于函数是定义域内的增函数， 故有 ，即方程 =x 有两个解，这与 y= 和 y=x 的图象相切相矛盾 故 不具有性质 P 故答案为： 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17等比数列 各项均为正数，且 2， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 前 n 项和， ，求数列 前 n 项和 【考点】 等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式 【分析】 （ ）由等比数列通项公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出数列 通项公式 第 13 页（共 21 页） （ ）先出 ，从而 =2（ ），由此利用裂项求和法能求出数列 前 n 项和 【解答】 解：（ ） 等比数列 各项均为正数，且 2， ， ，解得 ， 数列 通 项公式 （ ） 前 n 项和， = ， = =2（ ）， 数列 前 n 项和： （ + ） =2（ ） = 18本着健康、低碳的生活理念，湛江市区采用公共自行车的人越来越多，使用年租卡租车的收费标准是每车每次不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）假设甲、乙两人相互独立地用年租卡每天租车一次已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时 （ ）分别求出甲、乙两人某一天在三小时以上且不超过四小时还车的概率 （ ）记甲、乙两人一天所付的租车费用之和为 ，求 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 1，利 用对立事件概率计算公式求解即可 第 14 页（共 21 页） （ ）由题意 的可能取值为 0， 2， 4， 6， 8，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及数学期望 【解答】 解：（ ）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为 1 = ， 乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为 1 = （ ）由已知得 的可能取值为 0， 2， 4， 6， 8， P（ =0） = = ， P（ =2） = = ， P（ =4） = = ， P（ =6） = + = ， P（ =8） =（ 1 ）（ 1 ） = ， 的分布列为： 0 2 4 6 8 P +8 = 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形， D=2 ， B=6，点 P 在底面的正投影在 （ I）证明： （ ）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）取 点 O，连结 导出 平面 此能证明 （ ）过 P 作 平面 E，以 E 为原点，过 E 作 平行线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 平面 成角的正弦值 【解答】 证明：（ ）取 点 O，连结 D=2 ， B=6， 又 O=O， 平面 面 第 15 页（共 21 页） 解：（ ） 底面 矩形， D=2 ， B=6，点 P 在底面的正投影在 过 P 作 平面 E， =2 ， =2 ， =2， 2=4， 以 E 为原点，过 E 作 平行线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 2 ， 2， 0）， P（ 0， 0， 2 ）， B（ 2 ， 4， 0）， C（ 0， 4， 0）， =（ 2 ， 2， 2 ）， =（ 2 ， 4， 2 ）， =（ 0， 4， 2 ）， 设面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 z= ，得 =（ 0， 1， ）， 设直线 平面 成角为 ， 则 = = 直线 平面 成角的正弦值为 20如图，已知椭圆 + =1（ a b 0）的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（ c、 0），（ 0， b）的直线的距离为 c（ （ 0， 1），垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 2： x2+y2=四个交点按其坐标从大到小分别为 A、 B、 C、 D （ ）当 = 时，求 的值； （ ）设 N（ a， 0），若存在直线 l 使得 明： 0 第 16 页（共 21 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）求出过两点（ c、 0），（ 0， b） 的直线方程，由点到直线的距离公式可得 b=a，取 = ，求得椭圆方程，然后分别联立直线 x=m（ a m a）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则 的值可求； （ ）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出 A， B 的坐标，由斜率相等可得 ，结合 a m 0 即可证得 0 【解答】 （ ）解： 过两点（ c、 0），（ 0， b）的直线方程为 ，即 bx+， 由原点 O 到直线 bx+ 的距离为 c（ （ 0， 1），得 ，即 b=a， 当 = 时， b= ， 此时椭圆方程为 设直线 l 的方程为 x=m（ a m a）， 联立 ，解得 B（ m， ）， C（ m， ）， 联立 ，解得 A（ m， ）， D（ m， ）， = ； （ ）证明：如图， 由（ ）得， A（ m， ）， 第 17 页（共 21 页） 联立 ，得 B（ m， ）， 又 N（ a， 0）， ， 而 ， 由 ， m=（ m a），即 a m 0， ，即 ， 解得： 1（舍）或 ， 又 （ 0， 1）， 0 21设函数 f（ x） =（ ） e x（ aR） （ ）当 a 0 时，求 f（ x）的单调递增区间； （ ）对任意 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求导，当 a 0 时，令 f（ x） 0，解得函数的单调递增区间； （ ） x0， +），由题意可知将 f（ x） x+1 恒成立，转化为 a， x0， +）恒成立，构造辅助函数 F（ x） =， g（ x） = ，求导， F（ x）在 x0， +）上单调递增 ，由在 x=0 处极限， =1，可求得 F（ x）的最小值，求得 a 的取值范围； 【解答】 解：（ ） f（ x） =（ ） e x（ aR）定义域为 R， f（ x） =e x（ ax+a 1）， 令 f（ x） =0，解得： x=1 ， 第 18 页（共 21 页） f（ x） 0，解得 x 1 ， 当 a 0 时，求 f（ x）的单调递增区 间；（ ， 1 ）； （ ）由 x0， +）， f（ x） x+1 恒成立，即（ ） e xx+1，可转化为 a，x0， +）恒成立， 设 F（ x） =， g（ x） = ，则 g（ x） = ， 令 h（ x） =（ x 1） ， 则 h（ x） =ex+x 1） = 当 x 0 时， h（ x） =0， h（ x）是上的增函数， h（ x） h（ 0） =0， g（ x） = 0， 即函数 g（ x）是（ 0， +）上的增函数 F（ x）在（ 0， +）上的增函数 F（ x）在 x=0 处取最小值，即 （ ） =1+ ， 由洛必达法则可知： =1， 故 F（ x）的最小值为 2， a2， 实数 a 的取值范围（ ， +2 选修 4何证明选讲 （共 1小题，满分 10分） 22如图， O 的直径， 接于 O， C， 足为 D （ ）求证： D=C； （ ）过点 C 作 O 的切线交 延长线于 F，若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）连接 直径所对圆周角为直角得到 0，由三角形相似的条件得到 由相似三角形对应边成比例得 D=C； 第 19 页（共 21 页） （ ）由切割弦定理可得