2016年陕西省高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年陕西省高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本答题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|3x 0，则 =（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D 2在复平面上，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第三象限 C第二象限 D第四象限 3设 为锐角，若 ，则 值为（ ） A B C D 4已知数 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列，若 ab，则 a 的值为（ ） A B C D 5若函数 f（ x） = 则 ff（ 8） =（ ） A 2B 2C 4D 4 6已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3），若向量 满足 ， （ ），则 =（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 64 B 64 2C 64 4D 64 8 8在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 P 为事件 “x+y ”的概率，则 P=（ ） A B C D 9执行右面的程序框图 ，如果输入的 N=3，那么输出的 S=（ ） 第 2 页（共 20 页） A 1B C D 10设抛物线 焦点在直线 2x+3y 8=0 上，则该抛物线的准线方程为（ ） A x= 4B x= 3C x= 2D x= 1 11函数 f（ x） =x+）的部分图象如图所示，则 f（ x）的单调递 增区间为（ ） A（ ， ）， k ， ）， kZ C（ 2， 2）， k 2k+ ， 2k+ ）， kZ 12设函数 f（ x） =3x 1），则使得 2f（ x） f（ x+2）成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， +） C（ ， ） （ ， +） D（ ， +） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13设圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= 、 | 第 3 页（共 20 页） 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值为 15已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上 的动点若三棱锥 O积的最大值为 3，则球 O 的体积为 16已知曲线 y=x+点（ 1， 1）处的切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，则 a= 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分 60 分）（一）、必考题（共 5小题，每小题 12分，共 60分） 17已知等比数列 ， ， （ 1） 前 n 项和，证明： 2Sn+； （ 2）设 bn=+数列 的前 n 项和 18从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 75， 85） 85， 95） 95， 105） 105， 115） 115， 125） 频数 6 26 38 22 8 （ 1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； （ 2）估计这种产品质量指 标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%”的规定？ 19如图，在直四棱柱 ，底面 等腰梯形， ，D=2， ， E， 别是棱 中点 （ 1）设 F 是棱 中点，证明：直线 平面 （ 2）证明：平面 平面 第 4 页（共 20 页） 20已知椭圆 L： + =1（ a b 0）的一个焦点于抛物线 x 的焦点重合，点（ 2，）在 L 上 （ ）求 L 的方程； （ ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 L 有两个交点 A， B，线段 中点为M，证明： 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21设函数 f（ x） =2 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 a=1， k 为 整数，且当 x 0 时，（ x k） f（ x） +x+1 0，求 k 的最大值 选修 4何证明选讲 22（选修 4 1：几何证明选讲） 如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线 圆于点 E，直 圆于 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ，延长 点 F，求 接圆的半径 选修 4标系与参数方程 23在直 角坐标系 ，曲线 （ t 为参数， t0），其中 0，在以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 =2=2 （ 1）求 3 交点的直角坐标； （ 2）若 2 相交于点 A， 交于点 B，求 |最大值 选修 4等式选讲 24设 a， b， c， d 均为正数，且 a c=d b，证明： （ ）若 + + ； （ ） + + 是 |a b| |c d|的充要条件 第 5 页（共 20 页） 2016 年陕西 省高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本答题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|3x 0，则 =（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出 A 的补集 化简 B，求出 即可 【解答】 解： 集合 A=x| 1 x 2， x|x 1 或 x2=（ ， 1 2， +）， 又 B=x|3x 0=x|0 x 3=（ 0， 3）， =2， 3） 故选： D 2在复平面上，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第三象限 C第二象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标得答案 【解答】 解： = ， 复数 对 应的点的坐标为（ 3， 1），位于第一象限 故选： A 3设 为锐角，若 ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦；三角函数的化简求值 【分析】 利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出 【解答】 解： 为锐角， ， ， = = 则 = = 故选： B 4已知数 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列，若 ab，则 a 的值为（ ） 第 6 页（共 20 页） A B C D 【考点】 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【分析】 数 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列， ab，可得 2a=1+b， b2=a，解出即可得出 【解答】 解： 数 1、 a、 b 成等差数列，而 1、 b、 a 成等比数列， ab， 2a=1+b， b2=a， 化为： 2b 1=0， 解得 b=1 或 ， b=1 时， a=1，舍 去 a= 故选： B 5若函数 f（ x） = 则 ff（ 8） =（ ） A 2B 2C 4D 4 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数的性质求解 【解答】 解： 函数 f（ x） = f（ 8） = =2， ff（ 8） =f（ 2） =2+ = 4 故选： C 6已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3），若向量 满足 ， （ ），则 =（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 设出向量，利用向量的垂直于共线列出方程求解即可 【解答】 解：设向量 =（ a， b），向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3）， =（ 1 a， 2 b）， 向量 满足 ， （ ）， 可得 a+2b=0， 3（ 1 a） =2（ 2 b），解得 a= ， b= 则 =（ ， ） 故选： C 第 7 页（共 20 页） 7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 64 B 64 2C 64 4D 64 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体在中间挖去一个圆柱得到的 该几何体的体积 =43 122=64 2 故选： B 8在区间 0， 1上随机取两个数 x， y，记 P 为事件 “x+y ”的概率，则 P=（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 由题意可得总的基本事件为 （ x， y） |0x1， 0y1，事件 P 包含的基本事件为 （ x，y） |0x1， 0y1， x+y ，数形结合可得 【解答】 解：由题意可得总的基本事件为 （ x， y） |0x1， 0y1， 事件 P 包含的基本事件为 （ x， y） |0x1， 0y1， x+y ， 它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形， 故所求概率 P= = ， 故选： D 第 8 页（共 20 页） 9执行右面的程序框图，如果输入的 N=3，那么输出的 S=（ ） A 1B C D 【考点】 程序框图 【分析】 根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 K 3，跳出循环，计算输出 S 的值 【解答】 解：由程序框图知：输入 N=3 时， K=1， S=0， T=1 第一次循环 T=1， S=1， K=2； 第二次循环 T= ， S=1+ ， K=3； 第三次循环 T= ， S=1+ + ， K=4； 第 9 页（共 20 页） 满足条件 K 3，跳出循环，输出 S=1+ + = 故选： C 10设抛物线 焦 点在直线 2x+3y 8=0 上，则该抛物线的准线方程为（ ） A x= 4B x= 3C x= 2D x= 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出直线与 x 轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程 【解答】 解：把 y=0 代入 2x+3y 8=0 得： 2x 8=0，解得 x=4， 抛物线的焦点坐标为（ 4， 0）， 抛物线的准线方程为 x= 4 故选： A 11函数 f（ x） =x+）的部分图象如图所示，则 f（ x）的单调递增区间为（ ） A（ ， ）， k ， ）， kZ C（ 2， 2）， k 2k+ ， 2k+ ）， kZ 【考点】 余弦函数的图象 【分析】 根据三角函数的图象求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可 【解答】 解：函数的周期 T=2（ ） =2，即 ，得 =1， 则 f（ x） =x+）， 则当 x= = 时，函数取得最小值， 则 +=+2 = +2 即 f（ x） =x+ ）， 由 2 x+ 2， kZ， 即 2k+ x 2k+ ， kZ， 第 10 页（共 20 页） 即函数的单调递增区间为为（ 2k+ ， 2k+ ）， 故选： D 12设函数 f（ x） =3x 1），则使得 2f（ x） f（ x+2）成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， +） B（ ， +） C（ ， ） （ ， +） D（ ， +） 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 根据对数的运算可将原不等式化为（ 3x 1） 2 3x+5，且 3x 1 0，解得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） =3x 1）， 则不等式 2f（ x） f（ x+2）可化为： 23x 1） 3x+5）， 即（ 3x 1） 2 3x+5，且 3x 1 0， 解得： x ， 即使得 2f（ x） f（ x+2）成立的 x 的取值范围是（ ， +）， 故选： B 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13设圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= x 相交于 P、 Q 两点，则 | 5 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆 C 圆心 C（ 3， 2），半径 r=1，再求出圆心 C（ 3， 2）到直线 y= x 的距离 d，由此利用勾股定理能求出 |长 【解答】 解： 圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1 的圆心 C（ 3， 2），半径 r=1， 圆心 C（ 3， 2）到直线 y= x 的距离 d= = ， 圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=1（ a 0）与直线 y= x 相交于 P、 Q 两点， |2 =2 = 故答案为： 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最小值为 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出平面区域，平移直线 2x+y=0 确定最小值即可 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：作出不等式组 所表示的平面区域， 作出直线 2x+y=0，对该直线进行平移， 可以发现经过 的交点 B 时 Z 取得最小值， 解得： ，点 B（ 1， 1）； Z 取得最小值 3 故答案为： 3 15已知 A， B 是球 O 的球面上两点， 0， C 为该球面上的动点若三棱锥 O积的最大值为 3，则球 O 的体积为 24 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，利用三棱锥 O 积的最大值为 3，求出半径，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 C = =3 8， 则球 O 的体积为 4 故答案为： 24 第 12 页（共 20 页） 16已知曲线 y=x+点（ 1， 1）处的切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，则 a= 8 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 y=x+导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 y= a+2） x+1 相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据 =0 得到 a 的值 【解答】 解： y=x+导数为 y=1+ ， 曲线 y=x+ x=1 处的切线斜率为 k=2， 则曲线 y=x+ x=1 处的切线方程为 y 1=2x 2，即 y=2x 1 由于切线与曲线 y= a+2） x+1 相切， 故 y= a+2） x+1 可联立 y=2x 1， 得 =0， 又 a0，两线相切有一切点， 所以有 =8a=0， 解得 a=8 故答案为： 8 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满 分 60 分）（一）、必考题（共 5小题，每小题 12分，共 60分） 17已知等比数列 ， ， （ 1） 前 n 项和，证明： 2Sn+； （ 2）设 bn=+数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）设等比数列 公比为 q，由 ， 可得 = ，解得 q再利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可证明 （ 2） = n可得 1 2 n，于是 = 2 ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 （ 1）证明：设等比数列 公比为 q， ， = ，解得q= 第 13 页（共 20 页） ， = ， 2Sn+ =1， 2Sn+ （ 2）解： = n bn=+ 1 2 n= ， = 2 ， 数列 的前 n 项和 = 2 + = 2 = 18从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布 表： 质量指标值分组 75， 85） 85， 95） 95， 105） 105， 115） 115， 125） 频数 6 26 38 22 8 （ 1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； （ 2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ 3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品 80%”的规定？ 【考点】 极差、方差与标准差；频率分布直方图 第 14 页（共 20 页） 【分析 】 （ 1）根据频率分布直方图做法画出即可； （ 2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可 （ 3）求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值，再和 较即可 【解答】 解：（ 1）频率分布直方图如图所示： （ 2）质量指标的样本平均数为 =80000102000， 质量指标的样本的方差为 20） 2 10） 2020204， 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104 （ 3）质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 由于该估计值小于 不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定 19如图，在直四棱柱 ，底面 等腰梯形， ，D=2， ， E， 别是棱 中点 （ 1）设 F 是棱 中点，证明：直线 平面 （ 2）证明：平面 平面 【考点】 平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 1，连接 证明直线 平面 需证明 证明了 平面 可推得结论； （ 2）要证明平面 平面 需证明 可 【解答】 证明：（ 1）方法一：取 中点为 接 由于 以 面 此平面 1 连接 于 1D，所以四边形 此 又 面 面 平面 第 15 页（共 20 页） 方法二：因为 F 为 中点， ， ， 以 此四边形 以 ， 面 面 以平面 平面 面 以 平面 （ 2）连接 F 为 中点，在 ， C=， 又 F 为 中点，所以 C=，因此 0，即 C=C，所以 平面 面 平面 平面 20已知椭圆 L： + =1（ a b 0）的一个焦点于抛物线 x 的焦点重合，点（ 2，）在 L 上 （ ）求 L 的方程； （ ）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 L 有两个交点 A， B，线段 中点为M，证明： 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）求得抛物线的焦点，可得 c=2，再由点满足椭圆方程，结合 a， b， c 的关系，解方程可得椭圆的方程； （ ）设直线 l 的方程为 y=kx+b（ k， b0）， A（ B（ 代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标，可得直线 斜率，进而得到证明 【解答】 解：（ ）抛物线 x 的焦点为（ 2， 0）， 由题意可得 c=2，即 ， 又点（ 2， ）在 L 上，可得 + =1， 解得 a=2 ， b=2， 即有椭圆 L： + =1； （ ）证明：设直线 l 的方程为 y=kx+b（ k， b0）， A（ B（ 将直线 y=kx+b 代入椭圆方程 + =1，可得 第 16 页（共 20 页） （ 1+28=0， x1+ ， 即有 中点 M 的横坐标为 ，纵坐标为 k +b= ， 直线 斜率为 = ， 即有 k= 则 斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21设函数 f（ x） =2 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若 a=1， k 为整数，且当 x 0 时，（ x k） f（ x） +x+1 0，求 k 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求 函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母 a，故应按 出单调区间； （ 题设条件结合（ I），将不等式，（ x k） f（ x） +x+1 0 在 x 0 时成立转化为 k（ x 0）成立，由此问题转化为求 g（ x） = 在 x 0 上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出 k 的最大值； 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） =2 的定义域是 R， f（ x） =a， 若 a0，则 f（ x） =a0，所以函数 f（ x） =2 在（ ， +）上单调递增 若 a 0，则当 x（ ， ， f（ x） =a 0； 当 x（ +）时， f（ x） =a 0； 所以， f（ x）在（ ， 调递减，在（ +）上单调递增 （ 于 a=1，所以，（ x k） f（ x） +x+1=（ x k） （ 1） +x+1 故当 x 0 时，（ x k） f（ x） +x+1 0 等价于 k （ x 0） 令 g（ x） = ，则 g（ x） = 由（ I）知，当 a=1 时，函数 h（ x） =x 2 在（ 0， +）上单调递增， 而 h（ 1） 0， h（ 2） 0， 所以 h（ x） =x 2 在（ 0， +）上存在唯一的零点， 故 g（ x）在（ 0， +）上存在唯一的零点，设此零点为 ，则有 （ 1， 2） 当 x（ 0， ）时， g（ x） 0；当 x（ ， +）时， g（ x） 0； 所以 g（ x）在（ 0， +） 上的最小值为 g（ ） 又由 g（ ） =0，可得 +2 所以 g（ ） =+1（ 2， 3） 由于 式等价于 k g（ ），故整数 k 的最大值为 2 第 17 页（共 20 页） 选修 4何证明选讲 22（选修 4 1：几何证明选讲） 如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线 圆于点 E，直 圆于 D （ ）证明： C； （ ）设圆的半径为 1， ，延长 点 F，求 接圆的半径 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）连接 点 G，由弦切角定理可得 已知角平分线可得 是得到 E由已知 知 O 的直径， 用三角形全等的性质即可得到 B （ （ I）可知： 垂直平分线，即可得到 设 中点为 O，连接 得 0从而 0得到 而得到 【解答】 （ I）证明：连接 点 G 由弦切角定理可得 E 又 O 的直径， 0 B （ （ I）可知： C 故 垂直平分线， 设 中点为 O，连接 0 从而 0 外接圆的半径 = 选修 4标系与参数方程 第 18 页（共 20 页） 23在直角坐标系 ，曲线 （ t 为参数， t0），其中