数形结合在高中数学各个知识模块中的应用

数形结合在高中数学各个知识模块中的应用数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。一、 利用数形结合解决集合问题图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。例1若I为全集，M、NI，且MN=N，则（）。A.I M I N B.MI N C.I MI N D.M I N提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C。二、方程与函数中的数形结合函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的交点个数问题。不等式f（x）g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。例2设函数若f（x0）1，则x0的取值范围是（）。A.（-1，1） B.（1， ）C.（-，2）（0，+） D.（-，1）（1，+）分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。图1解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=1，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点。由f（x）1，得x-1或x1 。答案：D。例3方程lg x=sin x解的个数为（）。A.1B.2C.3D.4分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象（如图2）。注意两个图象的相对位置关系。图2答案：C。三、 利用数形结合解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。例4若数列an为等差数列，apq，aqp，求ap+q。（如图3）图3分析：不妨设pq，由于等差数列中，an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（pq，m）共线，设ap+qm，由已知，得三点（p，aq），（q，ap），（pq，ap+q）共线。则kAB=kBC，即得m0，即ap+q0。四、 不等式与解析几何中的数形结合在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。例5曲线（0x2）与直线y=k（x-2）+2有两个交点时，实数k的取值范围是（）。A.（，1） B.（，+） C.（，1 D.，+）分析：曲线（0x2）的图形是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分。直线y=k（x-2）+2是过定点P（2，2）、斜率为k的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线l介于直线l1、l2之间（包括l2，不包括l1），其中l1与半圆相切，l2过原点。通过计算容易求得l2的斜率为1，l1的斜率为。所以k1。图4答案：C。例6如果实数x、y满足等式（x2）2y23，那么的最大值是（）。A.B.C.D.图5分析：等式（x-2）2+y2=3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，r=为半径的圆（如图5）。而则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 60=。答案：D。五、求极值问题中的数形结合许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。例7直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围为（）。图5A.（-2，1）B.（-1，2）C.（-2，2）D.-2，2分析：函数f（x）x3-3x的导数为f （x）=3x2-3。令f （x）0，解得x1或x-1；令f （x）0，解得-1x1；则函数f （x）在（1，+）上 单调递增，在（-，-1）上单调递增。在（-1，1）上单调递减。由此画出f （x）的草图（图6）。图6由图形看出-2a2。答案：C。六、数形结合在复数中的应用复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。例8已知zC，且z，求|z+1|的取值范围。分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。图7解：z在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以为半径的圆周及圆内部，|z+1|表示在复平面上z对应的点与-1对应点间的距离。由图7，|z+1|最大值为AC=32，|z+1|最小值为AB= 。故|z+1|，。七数形结合概率中的应用应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性