228抽象函数（选学）.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 抽象函数（选学）& 基本知识点（Level A）【1】抽象函数的定义抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题【2】关于奇偶性与单调性的关系（1）如果奇函数在区间上是递增的，那么函数在区间上也是递增的；（2）如果偶函数在区间上是递增的，那么函数在区间上是递减的【3】函数的周期性（主见于三角函数）（1）周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期所有正周期中最小的称为函数的最小正周期如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得几个函数方程的周期（约定）函数满足或或或或的周期为（3）三角函数的周期：特殊三角函数的周期：；一般三角函数的周期：； _ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）设是上的奇函数，当时，则 答案：（2）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为答案：（3）已知是偶函数，且，是奇函数，求的值答案：（4）设是定义域为的函数，且，又，则 答案：【4】借助具体函数“模拟”抽象函数求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借助模型函数探究抽象函数：正比例函数型：，指数函数型：，对数函数型：，幂函数型：，三角函数型：，（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究（3）利用一些方法（如赋值法（令或，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究如： ，满足，证明为奇函数令：，令， ，满足，证明为偶函数令，故，从而， 证明单调性：_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知是定义在上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为，则 答案：（2）（函数的性质）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，求答案：（3）（函数的性质）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴答案：略（4）（函数的性质）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是 答案：负号（5）（其余性质）若，满足，则的奇偶性是 答案：奇函数（6）（其余性质）若，满足，则的奇偶性是 O 1 2 3 xy答案：偶函数（7）（其余性质）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是 答案：（8）（其余性质）设的定义域为，对任意，都有，且时，又. 求证为减函数； 解不等式.答案：& 拓展知识点（Level B）【1】函数图像的对称性一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数，若存在常数，使得函数定义域内的任意，都有的图像关于直线对称S 注意：亦然特例：当时，的图像关于直线对称 S 拓展：（这实际上是偶函数的一般情形）广义偶函数性质2：对于函数，若存在常数，使得函数定义域内的任意，都有的图像关于点对称 S 注意：亦然特例：当时，的的图像关于点对称S 拓展：（实际上是奇函数的一般情形）广义奇函数【2】函数图像的对称性单个表达式函 数 满 足 的 条 件对称轴（中心）满足的函数的图像（偶函数）h 推广：满足或或的函数的图像h 推广：满足的函数的图像满足的函数的图像（奇函数）h 推广：满足或或的函数的图像h 推广：满足的函数的图像h 推广：满足或的的函数的图像S 注意：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异因为对称性关乎翻转_ 经典案例 有疑问随时mail例：（关于直线对称）已知二次函数满足条件且方程有等根，则 答案：【3】函数点的对称性点关于轴的对称点为；点关于轴的对称点为；点关于原点的对称点为；点关于直线的对称点为；特别地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为；【4】函数图像的对称性两个表达式函 数 满 足 的 条 件对称轴（中心）满足与的两个函数的图像h 推广：满足与的两个函数的图像h 推广：满足函数与的图像满足与的两个函数的图像曲线与曲线的图像满足函数与它的反函数的图像曲线与曲线图像曲线与曲线图像曲线与曲线的图像注：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异因为对称性关乎翻转_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是 答案：（2）若函数与的图象关于点对称，则 答案：【5】对称性总结（1）求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性需证两方面： 证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上； 证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形答案：略（2）设曲线的方程是，将沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线 写出曲线的方程； 证明曲线C与关于点对称答案：；略【6】常见的隐函数问题在做函数练习题时，经常碰到一些只给出函数关系式没有解析式的问题，我们就把这类问题称为隐函数问题隐函数问题具有一定的抽象性和综合性，对能力要求较高下面列出一些常见条件的转化，供大家参考：设定义在上的函数，则有；对任意的实数（1）是以为周期的周期函数（2）的图象关于对称（3）为奇函数（4）为偶函数（5）的反函数为 【7】函数图像的周期性几个函数方程的周期（约定）（1）若，或，则的周期（2）若，或，或，或，或，或，或，或，则的周期（3）若，则的周期（4）若，或，或，或，或，或且，（，），则的周期（5）若，则的周期（6）若，则的周期S 说明：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），都有等式成立上述结论可以通过反复运用已知条件来证明& 深化知识点（Level C）【1】对称性与周期性的关系定理1：若定义在上的函数的图像关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期推论1：若函数满足及，则是以为周期的周期函数定理2：若定义在上的函数的图像关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数定理3：若定义在上的函数的图像关于点和对称，则是周期函数，且是它的一个周期特别地：若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数_ 经典案例 有疑问随时mail例：已知定义在上的函数是以为周期的奇函数，则方程在上至少有 个实数根答案：【2】函数周期性、对称性与奇偶性的关系（1）定义在上的函数，若同时关于直线和对称，即对于任意的实数，函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数（2）定义在上的函数，若同时关于直线和点对称，即对于任意的实数，函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数（3）定义在上的函数，若同时关于点和直线对称，即对于任意的实数，函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数（4）定义在上的函数，若同时关于点和点对称，即对于任意的实数，函数同时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数（5）若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数，函数满足，则是以为周期的周期函数（6）若偶函数关于点对称，即对于任意的实数，函数满足，则是以为周期的周期函数（7）若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数，函数满足，则是以为周期的周期函数（8）若奇函数关于点对称，即对于任意的实数，函数满足，则是以为周期的周期函数【3】函数周期性、对称性与奇