高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数（二）课件 苏教版选修11.ppt

3 1 2瞬时变化率 导数 二 第3章 3 1导数的概念 1 理解函数的瞬时变化率 导数的准确定义和极限形式的意义 并掌握导数的几何意义 2 理解导函数的概念 了解导数的物理意义和实际意义 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一导数的几何意义 函数y f x 在点x x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的 也就是说 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是 相应地 切线方程为 斜率 f x0 y f x0 f x0 x x0 知识点二导数与导函数的关系 思考导函数f x 和f x 在一点处的导数f x0 有何关系 答案 函数f x 在一点处的导数f x0 是f x 的导函数f x 在x x0的函数值 f x 在x x0的导数f x0 就是导函数f x 在x x0处的函数值 梳理 1 导函数的定义若f x 对于区间 a b 内都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的变化而变化 因而也是的函数 该函数称为f x 的导函数 记作 在不引起混淆时 导函数f x 也简称为f x 的导数 2 f x0 的意义f x 在点x x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的 自变量x 任一点 f x 函数值 题型探究 类型一求函数的导函数 例1求函数y x2 3x的导函数 3 2x x 当 x 0时 3 2x x 3 2x 故函数f x 的导函数为f x 3 2x 解答 利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法 此方法还能加深对导数定义的理解 而求某一点处的导数时 一般是先求出导函数 再计算这点的导数值 反思与感悟 跟踪训练1求函数f x x 的导函数 解答 类型二导数几何意义的应用 命题角度1求曲线过某点的切线方程 解答 化简得14x 4y 49 0或2x 4y 1 0 即为所求的切线方程 反思与感悟 过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 y0 3 解方程得k f x0 x0 y0 从而写出切线方程 跟踪训练2求过点 1 0 与曲线y x2 x 1相切的直线方程 解答 设切点为 x0 x02 x0 1 切线的斜率为2x0 1 解得x0 0或x0 2 当x0 0时 切线斜率k 1 过 1 0 的切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 当x0 2时 切线斜率k 3 过 1 0 的切线方程为y 0 3 x 1 即3x y 3 0 故所求切线方程为x y 1 0或3x y 3 0 命题角度2导数几何意义在图象上的应用 例3已知函数f x 在区间 0 3 上的图象如图所示 记k1 f 1 k2 f 2 k3 kab 则k1 k2 k3之间的大小关系为 请用 连接 k1 k3 k2 由导数的几何意义 可得k1 k2 k1 k3 k2 答案 解析 反思与感悟 1 弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键 2 导数与函数图象升降的关系 若函数y f x 在x x0处的导数存在且f x0 0 即切线的斜率大于零 则函数y f x 在x x0附近的图象是上升的 若f x0 0 即切线的斜率小于零 则函数y f x 在x x0附近的图象是下降的 导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢 跟踪训练3若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 依题意得y f x 在 a b 上是增函数 则在函数f x 的图象上 各点切线的斜率随着x的增大而增大 观察四个选项中的图象 只有 满足 答案 解析 当堂训练 1 2 3 4 5 1 已知y f x 的图象如图所示 则f xa 与f xb 的大小关系是 答案 解析 f xa f xb 由导数的几何意义知 f xa f xb 分别是切线在点a b处切线的斜率 由图象可知f xa f xb 1 2 3 4 5 2 如图 函数y f x 的图象在点p 2 y 处的切线是l 则f 2 f 2 1 答案 解析 由题干中的图象可得函数y f x 的图象在点p处的切线是l 与x轴交于点 4 0 与y轴交于点 0 4 则可知l x y 4 f 2 2 f 2 1 代入可得f 2 f 2 1 1 2 3 4 5 3 已知y ax2 b在点 1 3 处的切线斜率为2 则 答案 解析 2 a 1 又3 a 12 b 1 2 3 4 5 4 若曲线y 2x2 4x p与直线y 1相切 则p 答案 解析 3 4x0 2 x 4 当 x 0时 0 即4x0 4 0 x0 1 即切点坐标为 1 1 2 4 p 1 即p 3 设切点坐标为 x0 1 1 2 3 4 5 答案 解析 1 5 设曲线y ax2在点 1 a 处的切线与直线2x y 6 0平行 则a 令2a 2 得a 1 规律与方法 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 2 函数f x 在点x0处的导数 是一个数值 不是变数 导函数 是一个函数 二者有本质的区别 但又有密切关系 f x0 是其导数y f x 在x x0处的一个函