12[1].2012年全国高中数学联赛模拟卷(六)(一试+二试_附详细解答).doc

2012年全国高中数学联赛模拟卷(六)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题1、设，则 答案：解：注意，当时，有，而，所以 ，又因奇数，故2、为实数，若对于满足 的任何实数，都成立等式：，则 答案：解：条件中蕴含，故所涉各式皆有意义；于所给等式中，取，得；再取 ，得，由此解得，3、二次函数的图像经过点和，若其与轴的两个交点的距离满足，则函数的具体表达式为 答案：解：由条件得，于是二次函数又可表为，设其两根为，有，据，得，代入得4、在用这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中，能被整除的有 个答案：.解：由于中有个奇数，故任意添加正负符号后其代数和皆为偶数因中最大的四数和与最小的四数和之差不大于，于是符合条件的每个八位数，其奇数数位上的四个数码和必等于偶数数位上的四个数码和，由于，再将分成和为的两组，每组四个数，并考虑含的组，该组另三数的和为，只有四种情况：.对于每种情况，可将含的组排在奇数数位上或者偶数数位上，得到个数，四种情况下共得个符合条件的八位数5、设数集，而两两之和构成集合，则集合 答案：或解：设 ，由于集中有个元，即知两两的和互不相同，因 ，且 ，只有两种情况：，则 ，由，得 ，进而得 ，；，则 ，于是，得 ，进而得 ，6、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对答案：解：五角星的外围是由条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有对；因此总共有个“异面直线段对”7、对于给定的正整数，则由直线与抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）的整点个数是 答案：解：如图，直线与抛物线的交点、的坐标为， 设直线上位于区域内的线段的线段为，其坐标为，线段上的整点数为，故区域内的整点数为8若四面体的六条棱长分别为，则不同的形状有 种（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.答案：种解：将长为的线段记为，考虑：情形甲：共面，则该面的另一边必为若按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该面看三边的绕向，下同），则边不能取（否则将使的三边为，矛盾）若取，有两种情况；若取，也有两种情况共得种情况按反时针方向组成三角形，类似也得种情况情形乙：异面，设，则其余四条边，每一条皆与相邻；于是所在面的另一条边必为，若按顺时针方向组成三角形，不妨设（如图），剩下两条边，不能取，故只有，得一种情况；若按反时针方向组成三角形，不妨设（如图），剩下两条边，不能取，故只有，得一种情况；因此，本题中不同的情况共种二、解答题9、试确定，是否存在2011个实数，满足： ； 解：假若存在满足以上条件的2011个实数，设，则，去掉绝对值符号，并分开其正、负部，可记为，即有 ，其中；是的某个排列从而由条件， 所以，； 由于 ，；则 ； 由此，相加得，矛盾因此这样的个实数不存在10、设数列满足：证明：，证：若，则，结论显然；若，固化，改证以下命题：，有对归纳：时结论显然；设对于时式成立，即，当时，由于由得，即当时式成立，因此得证，今在中取，得11、 设，证明不等式：证明：，故即要证，据对称，可设，由于，；同理有，注意，而 ，又由知，即有，从而由+得，即成立，当且仅当时取得等号从而所证结论成立第二试（加试题）一以任意方式，把空间染成五种颜色（每点属于一色，每色的点都有）；证明：存在一个平面，至少含有四种不同颜色的点；是否一定存在五色平面？证：若存在四色线,则含有的平面为所求；若存在三色线，则在线外可再取到一个第四色的点，过点和线的平面为所求；假若任一直线上都不多于两色，为此，用分别表示这五种颜色的点所构成的点集，今取点，过的直线记为，则直线上其余的点也属于或色，不妨设，直线上有点属于；在空间分别取点，过的平面记为，则直线与平面有公共点 若，则平面为所求；（这时平面上含有四色）. 若，在空间再取一点，过点和直线作平面，则平面和平面的交线为过的直线，在平面内，过点的两条直线和中，至少有一条要与直线相交，不妨设，（如图），则点属于或色，于是平面至少含有四色(或含；或含). 不一定存在五色面，例如，若将四面体的四个顶点分别染成四色，空间其余的点全染色，这时不存在五色面 二如图，中，分别是边 上的点，在的延长线上分别取点，使 ，分别是，的垂心.证明：.证：如图，设线段的中点分别为，则也是的中点，据中位线知，在中，；在中，即，所以:，且，.为证，只要证. 以为圆心，为直径作，其半径记为；以为圆心，为直径作，其半径记为，设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 另一方面，由于可知，在上，在上，从而，因此化为，即 又设直线交于，交于，由于点是的垂心，则，所以共圆，故有 再由 可知，在上，在上，从而，因此化为，即 据、得，所以 ，而，所以.三、数列为：，其构作方法是：首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是得；接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数，于是得；接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数，于是得前项为 如此继续试求以及数列前项的和解：据的构作方法，易知一般地，我们有即数首次出现于第项，并且，若，则有，由于 ，所以为求，先计算，由的构作方法知，数列的前个项中，恰有个，个，个，个，个，所以有，从而，据，得，其次，当，则 因此，因此由得，四、边长为的菱形, 其顶角为,今用分别与及平行的三组等距平行线，将菱形划分成个边长为1的正三角形(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数.解一:由于图中任两条线段所在的直线，或者平行,或者相交成的锐角, 因此,由图中线段组成的所有梯形都是底角为的等腰梯形. 对于这种梯形, 若两腰延长线的交点在菱形内部或周界上,则称为“内置梯形”;若交点在菱形外,就称为“外延梯形”.一先求“内置梯形”的个数.将边长为的正三角形称为“级三角形”,相应地,下底(较长底边)的长为的梯形称为“级梯形”,再将腰长为的级梯形称为式梯形.并且,图中所有正三角形,要么顶点朝上, 要么顶点朝下,分别称作“顺置三角形”与“倒置三角形”.易见,每个式梯形,可看作由一个级三角形切去一个级三角形而得到.每个级三角形所切出的级梯形有种情况, (其中式梯形各三个).今计算图中级三角形的个数: 取为原点,为轴,建立斜角坐标系,每个级顺置三角形,下底左端点的横坐标可取共个值,的纵坐标也可取共个值.因此,级顺置三角形有个,据对称性, 级倒置三角形也有个.从而级三角形有个,于是级内置梯形有个,求和得:.二再求“外延梯形”的个数 先考虑外延交点在线段AB外侧的情况,任取，使,设诸点的斜角坐标为:, , 延长；交直线于，位于延长线上的交点共有个，对于确定的，三角形为一个倒置正三角形，当在AB上移动时，点在直线y=j上移动，由于，这两条线段间的平行线共j+1条（包括这两条线在内），任两条这种平行线都在三角形上截出一个梯形。因此,这种梯形共有个,它们都以为外延交点,而延长线位于外侧的交点共有个,因此当固定时,共得到个外延梯形,现让取遍, 因此,位于外侧的全部外延点,共形成个“外延梯形”.据对称性，在菱形另三条边外侧的外延点，也分别形成同样数目的“外延梯形”，从而全部外延梯形的个数为： =.因此，.解二：易知，（边长为的菱形中，所有梯形的下底长为，因此，菱形的四条边各是一个梯形的下底，中间正六边形的三条对角线，每条恰是两个梯形的下底，共得个梯形）为方便计，称题中的菱形为阶菱形，易知，阶菱形可看作阶菱形外侧添加一对宽为的平行四边形的框（称为单位框）而得.如图，设为阶菱形，将其右方和上方的单位框染为红色，于是菱形中带有红色（全红色或部分红色）的梯形数为个，而在右上方的阶菱形中带有红色的梯形数为个，又将不在（或不全在）菱形中的带有红色的梯形（简称为“外梯形”）数记为，则有 今计算：下底在上，且以为一个顶点的“外梯形”有个，（其中下底为的个，下底为的个，下底为的个）；类似地，上底在上，且以为一