数学苏教版必修1：子集、全集、补集+（教案）.doc

子集、全集、补集(一)教学目标：使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.教学过程：.复习回顾1.集合的表示方法 列举法、描述法2.集合的分类 有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.讲授新课师同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.幻灯片(A)：我们共同观察下面几组集合(1)A1，2，3，B1，2，3，4，5(2)Axx3，Bx3x60(3)A正方形，B四边形(4)A，B0(5)A直角三角形，B三角形(6)Aa，b，Ba，b，c，d，e生通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.师由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.幻灯片(B)：1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.师请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.师当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或B A）.如：A2，4，B3，5，7，则AB.师依规定，空集是任何集合子集.请填空：_A(A为任何集合).生A师由A正三角形，B等腰三角形，C三角形，则从中可以看出什么规律？生由题可知应有AB，BC.这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故AC.师从上可以看到，包含关系具有“传递性”.(1)任何一个集合是它本身的子集师如A9，11，13，B20，30，40，那么有AA，BB.师进一步指出：如果AB，并且AB，则集合A是集合B的真子集.这应理解为：若AB，且存在bB，但bA，称A是B的真子集.A是B的真子集，记作AB(或BA)真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.那么_是任何非空集合的真子集.生应填2.例题解析例1写出a、b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：a，b的所有子集是、a、b、a，b，其中真子集有、a、b.注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n1个.例2解不等式x32，并把结果用集合表示.解：由不等式x32知x5所以原不等式解集是xx5例3（1）说出0，0和的区别；（2）的含义.课堂练习1已知Axx2或x3，Bx4xm0，当AB时，求实数m的取值范围.分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.解：将A及B两集合在数轴上表示出来要使AB，则B中的元素必须都是A中元素即B中元素必须都位于阴影部分内那么由x2或x3及x知 2即m8故实数m取值范围是m82填空：a a，a a， a，a，b a，0 ，0 ，1 1,2，2 1,2， .课时小结1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.课后作业（一）课本P10习题1.2 1，2补充：1.判断正误(1)空集没有子集 （ ）(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲，当xB时必有xA，则xA时也必有xB.2.集合Ax1x3，xZ，写出A的真子集.分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n1个.则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因1x3，xZ，故x0，1，2即ax1x3，xZ0，1，2真子集：、1、2、0、0，1、0，2、1，2，共7个3.(1)下列命题正确的是 （ ）A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集 D.1是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）10，1，2 1，33，1 0，1，21，0，2 0，1，2 0A.5B.2C.3D.4(3)Mx3x4，a，则下列关系正确的是 （ ）A.aM B.aM C.aM D.aM解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如1不是xx2k，kZ的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.应是10，1，2，应是0，1，2，应是0故错误的有，选C.(3)Mx3x4，a因3a4，故a是M的一个元素.a是x3x4的子集，那么aM.选D.4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)Axx2k1，kZ，Bxx2m1，mZ(2)Axx2m，mZ，Bxx4n，nZ解：(1)因Axx2k1，kZ，Bxx2m1，mZ，故A、B都是由奇数构成的，即AB.(2)因Axx2m，mZ，Bxx4n，nZ，又 x4n22n在x2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x4n中，2n只能是偶数.故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.5.已知集合Pxx2x60，Qxax10满足QP，求a所取的一切值.解：因Pxx2x602，3当a0时，Q=xax10，QP成立.又当a0时，Qxax10，要QP成立，则有2或3，a或a. 综上所述，a0或a或a评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a0，ax10无解，即Q为空集情况.而当Q时，满足QP.6.已知集合AxRx23x40，BxR（x1）（x23x40，要使APB，求满足条件的集合P.解：由题AxRx23x40BxR（x1）（x23x4）01，1，4由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：1或1或4或1，1或1，4或1，4或1，1，4评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素.而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.7.已知AB，AC，B0，1，2，3，4，C0，2，4，8，则满足上述条件的集合A共有多少个？解：因AB，AC，B0，1，2，3，4，C0，2，4，8，由此，满足AB，有，0，1，2，3，4，0，1，0，2，2，3，2，4，0，3，0，4，1，2，1，3，1，4，3，4，0，2，4，0，1，2，0，1，3，0，1，4，1，2，3，1，2，4，2，3，4，0，3，4，0，1，2，3，1，2，3，4，0，1，3，4，0，2，3，1，3，4，0，1，2，4，0，2，3，4，0，1，2，3，4，共2532个.又满足AC的集合A有，0，24，8，0，2，0，4，0，82，4，2，8，4，8，0，2，4，0，2，8，0，4，8，2，4，8，0，2，4，8，共248216个.其中同时满足AB，AC的有8个，0，2，4，0，2，0，4，2，4，0，2，4，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.有如下思路：题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有238 (个)8.设A0，1，BxxA，则A与B应具有何种关系？解：因A0，1，BxxA故x为，0，1，0，1，即0，1是B中一元素.故AB.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9.集合Ax2x5，Bxm1x2m1，(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当xZ时，求A的非空真子集个数.(3)当xR时，没有元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围.解：(1)当m12m1即m2时，B满足BA.当m12m1即m2时，要使BA成立，需，可得2m3综上m3时有BA(2)当xZ时，A2，1，0，1，2，3，4，5所以，A的非空真子集个数为：282254(3)xR，且Ax2x5，Bxm1x2m1，又没有元素x使xA与xB同时成立.则若B即m12m1，得m2时满足条件.若B，则要满足条件有：或解之m4综上有m2或m4评述：此问题解决：（1）不应忽略；（2）找A中的元素；（3）分类讨论思想的运用.（二）1.预习内容：课本P92.预习提纲：(1)求一个集合补集应具备的条件.(2)能正确表示一个集合的补集.子集、全集、补集(一)1.判断正误(1)空集没有子集 （ ）(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）2.集合Ax1x3，xZ，写出A的真子集.3.(1)下列命题正确的是 （ ）A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集 D.1是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）10，1，2 1，33，1 0，1，21，0，2 0，1，2 0A.5B.2C.3D.4(3)Mx3x4，a，则下列关系正确的是 （ ）A.aM B.aM C.aM D.aM4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：(1)Axx2k1，kZ，Bxx2m1，mZ(2)Axx2m，mZ，Bxx4n，nZ5.已知集合Pxx2x60，Qxax10满足QP，求a所取的一切值.6.已知集合AxRx23x40，BxR（x1）（x23x40），要使APB，求满足条件的集合P.7.已知AB，AC，B0，1，2，3，4，C0，2，4，8，则满足上述条件的集合A共有多少个？8.设A0，1，BxxA，则A与B应具有何种关系？9.集合Ax2x5，Bxm1x2m1，(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当xZ时，求A的非空真子集个数.(3)当xR时，没有元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围.子集、全集、补集(二)教学目标：使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.教学过程：.复习回顾1.集合的子集、真子集如何寻求?其个数分别是多少?2.两个集合相等应满足的条件是什么?.讲授新课师事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是部分与整体的关系.请同学们由下面的例子回答问题：幻灯片（A）： 看下面例子A班上所有参加足球队同学B班上没有参加足球队同学S全班同学那么S、A、B三集合关系如何?生集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.即为如图阴影部分由此借助上图总结规律如下：幻灯片(B)：1.补集一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).记作CSA，即CSAxx3且xa上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA2.全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.师解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.举例如下：请同学们思考其结果.幻灯片(C)：举例，请填充(1)若S2，3，4，A4，3，则CSA_.(2)若S三角形，B锐角三角形，则CSB_.(3)若S1，2，4，8，A，则CSA_.(4)若U1，3，a22a1，A1，3，CUA5，则a_(5)已知A0，2，4，CUA1，1，CUB1，0，2，求B_(6)设全集U2，3，m22m3，am1，2，CUA5，求m.(7)设全集U1，2，3，4，Axx25xm0，xU，求CUA、m.师生共同完成上述题目，解题的依据是定义例(1)解：CSA2评述：主要是比较A及S的区别.例(2)解：CSB直角三角形或钝角三角形评述：注意三角形分类.例(3)解：CSA3评述：空集的定义运用.例(4)解：a22a15，a1评述：利用集合元素的特征.例(5)解：利用文恩图由A及CUA先求U1，0，1，2，4，再求B1，4.例(6)解：由题m22m35且m13解之 m4或m2例(7)解：将x1、2、3、4代入x25xm0中，m4或m6当m4时，x25x40，即A1，4又当m6时，x25x60，即A2，3故满足题条件：CUA1，4，m4；CUB2，3，m6.评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.课堂练习课本P10练习 1，2，3，4.课时小结1.能熟练求解一个给定集合的补集.2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.课后作业（一）课本P10习题1.2 3，43.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而Axx是平行四边形，那么CSAxx是梯形.补充：1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“”或“”：(1)若S1，2，3，A2，1，则CSA2，3 （ ）(2)若S三角形，A直角三角形，则CSA锐角或钝角三角形 （ ）(3)若U四边形，A梯形，则CUA平行四边形 （ ）(4)若U1，2，3，A，则CUAA （ ）(5)若U1，2，3，A5，则CUA （ ）(6)若U1，2，3，A2，3，则CUA1 （ ）(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.在(1)中，因S1，2，3，A2，1，则CSA3.(2)若S三角形，则由A直角三角形得CSA锐角或钝角三角形.(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.(4)因U1，2，3，A，故CUAU.(5)U1，2，3，A5，则CUA.(6)U1，2，3，A2，3，则CUA1.(7)若U是全集且AB，则CUACUB.评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A(CUA)U.2.填空题(1)AxRx3，UR，CUA_.(2)AxRx3，UR，CUA_.(3)已知U中有6个元素，CUA，那么A中有_个元素.(4)UR，Axaxb，CUAxx9或x3，则a_，b_解：由全集、补集意义解答如下：(1)由UR及Axx3，知CUAxx3(可利用数形结合).对于(2)，由UR及Axx3，知CUAxx3，注意“”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因AxaxB，其补集CUAxx9或x3，则A3，B9.3.已知UxNx10，A小于10的正奇数，B小于11的质数，求CUA、CUB.解：因xN，x10时，x0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10A小于10的正奇数1，3，5，7，9，B小于11的质数2，3，5，7，那么CUA0，2，4，6，8，10，CUB0，1，4，6，8，9，10.4.已知A0，2，4，6，CUA1，3，1，3，CUB1，0，2，用列举法写出B.解：因A0，2，4，6，CUA1，3，1，3，故UA（CUA）0，1，2，3，4，6，3，1而CUB1，0，2，故B3，1，3，4，6.5.已知全集U2，3，a22a3，A2，a7，CUA5，求a的值.解：由补集的定义及已知有：a22a35且a73，由a22a35有a4或a2，当a4时，有a73，当a2时a79(舍)所以符合题条件的a4评述：此题和第4题都用CUAxx5，且xA，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.6.定义ABxxA，且xB，若M1，2，3，4，5，N2，4，8，求NM的表达式.分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.解：由题所给定义：NMxxN，且xM8评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，AB与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.7.已知集合Mx2x20，Nxxa，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合Byyx24x6，试判断A与B的关系.分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.解：因x2x20的解为2、1，即M2，1，Nxxa，故CRNxxa，使MCRN的实数a的集合Aaa2，又yx24x6（x2）222那么Byy2，故AB8.已知IR，集合Axx23x20，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合x0x1或2x3，求集合B.解：因axx23x20x1x2，所以CRAxx1或x2B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成x0x1或2x3，则x0x1或2x3B在数轴上表示集合B为A及x0x1或2x3的元素组成，即Bx0x3.评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是BCRAR，BCRAx0x1或2x3.9.设U（x，y）x,yR,A(x，y)1，B（x，y）yx1，求CUA与B的公共元素.解：a（x，y）yx1，x