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2 基本不等式 充要条件 充分不必要条件 a b 用基本不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备基本不等式的结构和条件 然后合理地选择基本不等式进行证明 1 已知a b c是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 证明 b2 c2 2bc a 0 a b2 c2 2abc 同理b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc 因为a b c不全相等 所以 式中至少有一个式子不能取 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 在应用基本不等式求最值时 分以下三步进行 1 首先看式子能否出现和 或积 的定值 若不具备 需对式子变形 凑出需要的定值 2 其次 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 3 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数单调性或导数解决 答案 c 4 已知x 0 y 0且5x 7y 20 求xy的最大值 5 若正数a b满足ab a b 3 1 求ab的取值范围 2 求a b的取值范围 例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3 x与t 1成反比例的关系 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是1万件 已知2012年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为3万元 每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150 与平均每件促销费的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销完 1 将2012年的利润y 万元 表示为促销费t 万元 的函数 2 该企业2012年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 思路点拨 1 两个基本关系式是解答关键 即利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 2 表示出题中的所有已知量和未知量 利用它们之间的关系式列出函数表达式 利用不等式解决实际应用问题时 首先要仔细阅读题目 弄清要解决的实际问题 确定是求什么量的最值 其次 分析题目中给出的条件 建立y的函数表达式y f x x一般为题目中最后所要求的量 最后 利用不等式的有关知识解题 求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约 7 围建一个面积为360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其他三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为45元 m 新墙的造价为180元 m 设利用
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