1.2活动思考.doc

几何模型之角平分线的基本模型课堂实录 淮安市文通中学 朱永桃一、情景引入，请您欣赏师：为了造船和制造风雨亭，我们需要建立帆船和风雨亭模型为了方便扫地和吃饭，我们需要建立扫地机和叉子模型 生：欣赏图片师：同样，为了方便、快速的解决几何题，我们需要建立角平分线的基本模型师：我们解读一下教学目标 生：读教学目标二、教学目标解读 1.掌握角平分线的基本模型2.能从复杂的图形中，识别并分解出角平分线的基本模型 3.能够快速解决有关角平分线模型的压轴题师：首先我们来探究单独模型三、模型的探究 模型1：2内模型1.如图在ABC中，AE平分BAC、CE平分BCA，说明E与B的关系 师；条件“AE平分BAC、CE平分BCA”，我们能获得那些信息？生：可由角平分线设未知数1=2=x, 3=4=y，进行几何问题代数化师：所设的未知数与x、y与结论中E与B有什么关系那？生：ABE中x+y+E=1800, AB0中2x+2y+0=1800,师：如何求解？生：利用二元一次方程解法，用加减消元法，或代入消元法消去x、y得E=900+0.5B师：由于E是三角形两个内角平分线的夹角，我们称为“2内模型”（师板书结论）请大家总结一下：2内模型的解题步骤 生：设列解(一).设 AE平分BAC、CE平分BCA 设1=2=x, 3=4=y（二).列 ABE中x+y+E=1800, AB0中2x+2y+0=1800,(三).解 E=900+0.5B师：如果我把三角形“2个内角平分线”的位置改为“2个外角平分线”，类比刚才的方法，你还能解决吗？（展示课件）模型2：2外模型 2.如图，在ABC中，AE平分PAC、CE平分NCA ，说明E与B的关系生：上黑板列方程，写答案，师：巡视全班，要求一起参与，列方程，写答案，同时让生解释为什么这样列方程(一).设 AE平分PAC、CE平分NCA 设1=2=x, 3=4=y(二).列 ACE中x+y+E=1800, ABC中1800-2x+1800-2y+B=1800,(三).解 E=900-0.5B师：如果我把三角形“2个外角平分线”的位置改为“1个内角平分线和一个外角平分线”，类比刚才的方法，你还能解决吗？（展示课件）模型3：一内一外模型如图在ABC中，AE平分BAC、CE平分BCQ ， 说明E与B的关系生：上黑板列方程，写答案，师：巡视全班，要求一起参与，列方程，写答案，同时让生解释为什么这样列方程(一).设 AE平分BAC、CE平分BCQ 设1=2=x, 3=4=y(二).列 ACE的外角y=x+E ,ABC的外角2y=2x+B(三).解 E=0.5B 师：下面我来检验一下，你学会了没有？你能否快速的识别模型？四、模型识别1.如图1、在ABC中，若CD平分ACE,BD平分ABC,A=400,则D=_ _.2.如图2、在ABC中，BE、CF都是ABC的角平分线,BDC=110,则A= 。3.如图3,在ABC中,B=40，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC= 。 图1 图2 图3生：上黑板写答案，然后学生批阅、订正、交流错因 师：请谈谈你是如何快速的识别模型的？生：第1题由条件“点D是ABC的一条内角平分线和一条外角平分线的交点”可得，它是“一内一外模型” 第2题由条件“点D是ABC的两个内角平分线的交点”可得，它是“两内模型” 第3题由条件“点E是ABC的两个外角平分线的交点”可得，它是“两外模型”例1.（1）如图1,MON=600，点A.B分别在射线OM、ON上移动，AOB的角平分线AC与BD交于点P.试问：随着点A.B位置的变化，APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出APB的度数。若发生变化，求出变化范围。（2）如图2 画两条相交的直线OX、OY,使XOY=600，在射线OX、OY上分别再任意取A.B两点，作ABY的平分线BD，BD的反向延长线交OAB的平分线于点C，随着点A.B位置的变化，C的大小是否会变化?若保持不变，请求出C的度数。若发生变化，求出变化范围。师：在动态的背景下，你还能快速的识别吗？第1问是什么模型那？请说明理由生：由条件“点P是ABC的两个内角平分线的交点”可得，它是“两内模型” APB不变，APB=900+=1200师：在动态的背景下，把角平分线的位置调整一下，你还能快速的识别吗？请说明理由 生：由条件“点C是ABC的一个内角平分和一个外角的交点”可得，它是“一内一外模型”，C的大小不变，C=师：你能谈谈如何列方程吗？ 生：口诉师：这两个问本质上就是把基本模型进行旋转变换、同时设置了质点的运动，化动为静，以静制动，就可以识别模型师：通过刚才一组模型的识别，你认为应该如何解决这一类题目？达到“学1题、会1类”的高度，生：数学模型教学法：根据条件找模型、套模型、写出结果（设列解）师：下面我们对模型进行拓展，放到四边形中，你还能快速的转化成角平分线的基本模型吗？师：我把模型组合一下，你能快速的分解出基本模型吗？五、模型组合例2.如图ABC, BAC =600,ABC的角平分线与ACB的外角ACD的平分线交于A1，E为BA延长线上一动点，连EC，AEC与ACE的角平分线交于Q，则A1= ， Q = ，自我尝试：如图ABC，BAC=800,ACB=600,AD平分BAC,CD 平分BCN,BD平分CBM，则BDC=_ _. 1=_ _.生：由条件“A1是ABC,的一个内角平分线和一个外角平分线的交点”，得到A1是一内一外模型，A1=BAC=300由条件“Q是AEC,的两个内角平分交点”，得到Q是两内模型，Q=900+EAC=1200师：说得很好，掌声送给他，下师：总结一下，遇到这种复杂的几何题，我们应该怎么解决？生：根据已知条件分解出一个一个我们熟悉的基本模型师：下面我们能力再提升一下，请看组合模型能力再提升：如图，直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动,延长BA至G，已知BAO、OAG的角平分线与BOQ的角平分线及延长线相交于E.F，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求ABO的度数。生：上黑板列方程， AB0=x, F=90-0.5x, E=0.5x, EAF=9001. E=3 F, 0.5x=3(90-0.5x) X=13502. F=3 E 900-0.5x=30.5x X=4503. EAF=3 F, 900=3(900-0.5x) X=12003. EAF=3 F, 900=30.5x X=600直线MN与直线PQ垂直 AB0900X=450或600师：请解释这样的列方程的原因？生：条件“BAO、OAG的角平分线与BOQ的角平分线及延长线相交于E.F”，就应该分解出常见的2个基本模型“2外”： F=900-；“一内一外”： E=再设AB0=x,则F=90-0.5x, E=0.5x, EAF=900,根据条件“一个角是另一个角的3倍”，分类讨论、列方程即可及时总结，形成通法：模型组合的本质就是把几个基本模型进行组合，我们要熟悉数学基本模型的条件，分解出基本模型，然后套用基本模型，最后写出结果，进而用一题的模型辐射一类六、自我总结 1. 谈谈本节课你有什么收获和困惑？2.我们还学习了那些数学思想和方法？3.谈谈数学模型题海无边无际，用有限的模型去解决无限的题目，以达到“学一题、得一模型、会一类”的目的，用一题辐射一类，使学生不用盲目的战题海，真正为学生减负，达到想学、爱学、轻松学、快乐学，并且学会、学好、学活的境界！谈谈数学思想方法什么是数学思想，通俗的说就是将具体的数学知识都忘记后剩下的东西。掌握数学思想方法是数学的最核心素养，数学思想方法的获益是终生的，只有掌握了数学思想方法，才能抓住数学的本质，触摸到数学的灵魂！七模型拓展的探究1.如图1四边形AODC中 ，AE、0E分别是CAO和DAO角的平分线，说明E与C、D的关系2.如图2四边形AODC中 ，AE、0E分别是CAO和DAO的外角的平分线，说明E与C、D的关系3.如图3四边形AODC中 ，AE是CAO角平分线、0E是DAO外角的平分线，说明E与C、D的关系生：举手发言，延长AC，D