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高二暑假南理工夏令营2014年南理工夏令营测试卷(2)姓名：_考试号：_成绩：_一、填空题. (每小题10分，共80分)1、已知点A、B、C在单位圆上，且满足( O为原点)，则的值为 02、已知数列满足，则_ .解：由已知得，且，即是首项、公差均为1的等差数列，n，即.3、将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，则中点与平面的距离为 答案：. 使用等体积法.4、已知a22b23c26，若存在实数a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立，实数x的取值范围 解：由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2)(a2b3c)2，又a22b23c26，66(a2b3c)2，a2b3c6，存在实数a、b、c，使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6，7x5.5、已知复数z12i，2z2若ABC的3个内角A、B、C依次成等差数列，且ucosA2icos2，则的取值范围是解：由条件得，又A，B，C成等差数列，故AC，AC故6、(2014重庆卷) 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_1207、PQ是椭圆1(ab0)的过左焦点F且不垂直x轴的焦点弦，R点在左准线上, 若PQR为正三角形, 则直线PQ的斜率k的取值范围是 解：设PQ的倾斜角为，离心率为，于是，易得结论：k8、设函数 若对任意的，当时恒有成立，则a的取值范围是 解：设，由题意，对任意的，当时恒有，即在上是单调增函数 , 令 若，当时，为上的单调递增函数，,不等式成立. 若，当时，为上的单调递减函数，与,矛盾，所以，a的取值范围为二、解答题. (每小题20分，共80分)9、定义在上的增函数满足：对任意，若满足，求的取值范围.解：令得：，而是上的增函数， 则：若，则；若，则； 由于满足，则 于是： 又由于， 于是：，而，故的取值范围是.10、设数列满足,.求的值. (其中表示不超过的最大整数)解：对于任何正整数，由递推知由知数列递减.又对任意,即有,从而.于是，当时，；当时，由递减得.故所以，.11、如图，是椭圆1(ab0)的一个焦点，、是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点在轴上，,三点确定的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）过作一条与两坐标轴都不垂直的直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在点，使得恰好为的内角平分线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)由题意可知，, 即 又 圆的圆心坐标为（，0），半径为由直线与圆相切可得 椭圆的方程为（2）假设存在满足条件的点 由题意可设直线的方程为设 为的内角平分线 即 又 ， 存在满足条件的点，点的坐标为12、设多项式的系数都是整数，并且存在一个奇数及一个偶数使得及都是奇数，求证：方程没有整数根 证明
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