高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修11.ppt

第三章变化率与导数 2导数的概念及其几何意义 学习目标1 理解导数的概念以及导数和变化率的关系 2 会计算函数在某点处的导数 理解导数的实际意义 3 理解导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一导数的概念 平均变化率与瞬时变化率有何区别 联系 答案 平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 当 x趋于0时 平均变化率趋于一个常数 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率 它是一个固定值 梳理 f x0 瞬时变化率 知识点二导数的几何意义 如图 pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 p的坐标为 x0 y0 直线pt为过点p的切线 思考1 割线ppn的斜率kn是多少 答案 思考2 当点pn无限趋近于点p时 割线ppn的斜率kn与切线pt的斜率k有什么关系 kn无限趋近于切线pt的斜率k 答案 梳理 1 切线的定义 当pn趋近于点p时 割线ppn趋近于确定的位置 这个确定位置的直线pt称为的切线 2 导数f x0 的几何意义 函数f x 在x x0处的导数就是切线的斜率k 即k 3 切线方程 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 点p处 y f x0 f x0 x x0 题型探究 例1求函数f x 3x2 2x在x 1处的导数 解答 类型一利用定义求导数 y 3 1 x 2 2 1 x 3 12 2 1 3 x 2 4 x 求一个函数y f x 在x x0处的导数的步骤如下 1 求函数值的变化量 y f x0 x f x0 反思与感悟 跟踪训练1利用导数的定义求函数f x x2 3x在x 2处的导数 解答 命题角度1求在某点处的切线方程例2已知曲线y 2x2上一点a 1 2 求 1 点a处的切线的斜率 类型二求切线方程 点a处的切线的斜率为4 解答 2 点a处的切线方程 点a处的切线方程是y 2 4 x 1 即4x y 2 0 解答 求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思与感悟 跟踪训练2曲线y x2 1在点p 2 5 处的切线与y轴交点的纵坐标是 答案 曲线y x2 1在点 2 5 处的切线方程为y 5 4 x 2 即y 4x 3 切线与y轴交点的纵坐标是 3 3 解析 命题角度2曲线过某点的切线方程 解答 化简得14x 4y 49 0或2x 4y 1 0 即为所求的切线方程 过点 x1 y1 的曲线y f x 的切线方程的求法步骤 1 设切点 x0 y0 2 建立方程f x0 3 解方程得k f x0 x0 y0 从而写出切线方程 反思与感悟 跟踪训练3求过点 1 2 且与曲线y 2x x3相切的直线方程 解答 当切点坐标为 0 0 时 切线斜率为2 切线方程为y 2x 即2x y 0 综上可知 过点 1 2 且与曲线相切的切线方程为2x y 0或19x 4y 27 0 例4已知曲线f x x2 1与g x x3 1在x x0处的切线互相垂直 求x0的值 类型三导数的几何意义的综合应用 解答 因为切线互相垂直 所以k1k2 1 引申探究若将本例的条件 垂直 改为 平行 则结果如何 解答 导数的几何意义是曲线的切线的斜率 已知切点可以求斜率 反过来 已知斜率也可以求切点 从而可以与解析几何等知识相联系 反思与感悟 跟踪训练4已知直线l y 4x a与曲线c y x3 2x2 3相切 求a的值及切点坐标 解答 设直线l与曲线c相切于点p x0 y0 当切点为 2 3 时 有3 4 2 a a 5 当a 5时 切点坐标为 2 3 当堂训练 1 设函数f x 在点x0附近有定义 且有f x0 x f x0 a x b x 2 a b为常数 则a f x ab f x bc f x0 ad f x0 b 2 3 4 5 1 答案 解析 2 曲线f x 在点 3 3 处的切线的倾斜角等于a 45 b 60 c 135 d 120 2 3 4 5 1 又 直线的倾斜角范围为 0 180 倾斜角为135 答案 解析 由题干中的图像可得函数y f x 的图像在点p处的切线是l 与x轴交于点 4 0 与y轴交于点 0 4 则可知l x y 4 f 2 2 f 2 1 代入可得f 2 f 2 1 故选d 2 3 4 5 1 3 如图 函数y f x 的图像在点p 2 y 处的切线是l 则f 2 f 2 等于a 4b 3c 2d 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知函数y ax2 b在点 1 3 处的切线斜率为2 则 由题意知2a 2 a 1 又点 1 3 在y ax2 b的图像上 a b 3 答案 解析 2 2 3 4 5 1 解答 规律与方法 1 导数f x0 的几何意义是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 2 利用导