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第二章推理与证明2 1 2演绎推理 复习 合情推理 归纳推理类比推理 从具体问题出发 观察 分析比较 联想 提出猜想 归纳 类比 复习 合情推理 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 归纳推理的一般步骤 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 观察与思考 1 所有的金属都能导电 2 一切奇数都不能被2整除 所以铜能够导电 因为铜是金属 所以 2100 1 不能被2整除 因为 2100 1 是奇数 3 三角函数都是周期函数 4 全等的三角形面积相等 所以是tan周期函数 因为tan三角函数 那么三角形abc与三角形a1b1c1面积相等 如果三角形abc与三角形a1b1c1全等 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 注 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 三段论推理的依据 用集合的观点来理解 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的一个子集 那么s中所有元素也都具有性质p m s a 例1 如图 在锐角三角形abc中 ad bc be ac d e是垂足 求证ab的中点m到d e的距离相等 1 因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形 在 abc中 ad bc 即 adb 900 所以 abd是直角三角形 同理 abd是直角三角形 2 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 m是rt abd斜边ab的中点 dm是斜边上的中线 所以dm ab 同理em ab 所以dm em 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 证明 例2 证明函数f x x2 2x在 1 上是增函数 满足对于任意x1 x2 d 若x1 x2 有f x1 f x2 成立的函数f x 是区间d上的增函数 任取x1 x2 1 且x10因为x1 x2 1所以x1 x2 2 0因此f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以函数f x x2 2x在 1 上是增函数 大前提 小前提 结论 证明 合情推理与演绎推理的区别 归纳是由特殊到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 演绎
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