高中数学 3.2 第2课时 抛物线的简单性质课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 圆锥曲线与方程 第三章 3 2抛物线 第三章 第2课时抛物线的简单性质 1 了解抛物线几何性质 能运用抛物线的方程推导出它的几何性质 同时掌握抛物线的简单画法 2 更进一步熟练掌握利用方程研究曲线的基本方法 通过四种不同标准方程的对比 培养学生分析 归纳能力 本节重点 抛物线的几何性质 本节难点 抛物线几何性质的运用 1 已知抛物线的标准方程为y2 2px p 0 则抛物线上点的横坐标的取值范围为 2 抛物线的对称轴为过焦点的 抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的 抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的比叫作抛物线的 x 0 坐标轴 顶点 离心率 3 抛物线的几何性质 x 0 x 0 y 0 y 0 x轴 x轴 y轴 y轴 坐标原点 1 2p 4 焦半径抛物线上一点与焦点f连线的线段叫作焦半径 设抛物线上任一点a x0 y0 则四种标准方程形式下的焦半径公式为 x1 x2 p p2 1 类比椭圆的几何性质 根据抛物线方程讨论其几何性质 并注意椭圆和抛物线的联系与区别 注意抛物线的性质与椭圆相比较 差别较大 它的离心率等于1 它只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 一条准线 它不是中心对称图形 因而没有中心 3 为了简化解题过程 有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标 有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论 4 在抛物线的几何性质中 应用最广泛的是范围 对称性 顶点坐标 在解题时 应先注意开口方向 焦点位置 选准标准形式 然后运用条件求解 5 要注意运用数形结合思想 根据抛物线的定义 将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化 6 在求解直线与抛物线的位置关系的问题时 要注意运用函数与方程思想 将位置关系问题转化为方程根的问题 7 一条直线与一个圆相切的充要条件是这条直线与这个圆有且只有一个公共点 但不能说一条直线与一条抛物线相切的充要条件是这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点当一条直线与一条抛物线只有一个公共点时 这条直线未必与该抛物线相切 例如平行于抛物线的对称轴的直线与该抛物线只有一个公共点 但这条直线并不与这条抛物线相切 当直线不与抛物线的对称轴平行时 可以根据公共点的个数来判断直线与抛物线相离 相切或相交的位置关系 抛物线的标准方程 点评 当抛物线焦点的位置不能确定时 应进行分类讨论 一般地 求抛物线的标准方程时 如果只知抛物线经过的一个点的坐标 则抛物线的焦点既可以在x轴上 也可以在y轴上 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 顶点在原点 对称轴是x轴 并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程 2 过抛物线y2 2mx的焦点f作x轴的垂线交抛物线于a b两点 且 ab 6 抛物线的对称性 点评 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质 但往往会直观上承认而忽略了它的证明 等腰rt abo内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 abo的面积是 a 8p2b 4p2c 2p2d p2 答案 b 分析 要求拱宽a的最小值 需建立适当的坐标系 写出抛物线的方程 然后利用方程求解 抛物线的实际应用 点评 解决实际应用问题的关键是转化为数学问题 首先应考虑建立恰当的直角坐标系 得出抛物线方程 再利用抛物线的知识解决问题 如图 1 所示 花坛水池中央有一喷泉 水管o p 1m 水从喷头p喷出后呈抛物线状 先向上至最高点后落下 若最高点距水面2m p距抛物线的对称轴1m 则水池的直径至少应设计多少米 精确到1m 图 1 图 2 点评 根据图形的对称性 求出抛物线的方程 可得出水池的直径 值得注意的是 上面所求半径为 o b o a ab 定点 定值 最值问题 点评 1 解决过定点问题常采用分离参数法 2 解决最值问题最常用的方法就是建立函数 转化为函数的最值来加以解决 探索存在性问题 分析 1 由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合 可以求出抛物线焦点 得到p的值 2 要证明 aqp bqp 注意讨论动直线l是否存在斜率 若斜率不存在 则由抛物线的对称性可以证得 若斜率存在 即要证明 kaq kbq 也可以转化为证明kaq kbq 0 3 对于探究性问题 先假设存在 再利用有关知识进行证明即可 点评 近两年高考对于解析几何的考查难度降低 注重对考生探究性能力的考查 同学们备考的时候要注意对解析几何中有关探究性问题的练习 在平面直角坐标系xoy中 过定点c 0 p 作直线与抛物线x2 2py p 0 相交于a b两点 1 若点n是点c关于坐标原点o的对称点 求 anb面积的最小值 2 是否存在垂直于y轴的直线l 使得l被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出l的方程 若不存在 说明理由 一 选择题1 抛物线x2 4y的通径为ab o为坐标原点 则 a 通径ab的长为8 aob的面积为4b 通径ab的长为8 aob的面积为2c 通径ab的长为4 aob的面积为4d 通径ab的长为4 aob的面积为2 答案 d 2 设抛物线的顶点在原点 其焦点f在y轴上 又抛物线上的点p k 2 与点f的距离为4 则k等于 a 4b 4或 4c 2d 2或2 答案 b 答案 a 答案 8 解析 椭圆焦点为 2 0 和 2