高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22.ppt

路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 成才之路 数学 变化率与导数 第二章 2导数的概念及其几何意义 第二章 1 理解导数的概念和定义 会求函数的导数 2 理解导数的几何意义 并会求出曲线在某点处的切线方程 本节重点 导数的概念及导数的几何意义 本节难点 当x1趋于x0 即 x趋于0时 如果平均变化率趋于一个固定的值 那么这个值就是函数y f x 在 在数学中 称 为函数y f x 在x0点的导数 通常用符号 表示 记作f x0 x0点的瞬时变化率 瞬时变化率 f x0 2 函数y f x 在x0处的导数 是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的 函数y f x 在x0处切线的斜率反映了 在点 x0 f x0 处的切线方程为 切线的斜率 导数的几何意义 y f x0 f x0 x x0 1 函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率 就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限 它是一个数值 不是变数 2 导数的几何意义如图所示 设函数y f x 的图像是一条光滑的曲线 从图像上可以看出 当 x取不同的值时 可以得到不同的割线 当 x趋于零时 点b将沿着曲线y f x 趋于点a 割线ab将绕点a转动最后趋于直线l 直线l和曲线y f x 在点a处 相切 称直线l为曲线y f x 在点a处的切线 该切线的斜率就是函数y f x 在x0处的导数f x0 函数y f x 在x0处的导数 是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 函数y f x 在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义 3 对导数的定义要注意两点 第一 x是自变量x在x0处的改变量 所以 x可正可负 但 x 0 第二 函数在某点的导数 就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值 因此它是一个常数而不是变数 利用定义求函数某点处的导数 点评 用导数定义求函数在某一点处的导数的过程 一差 二比 三极限 求y f x x3 2x 1在x 1处的导数 导数的几何意义 点评 求曲线在点 x0 f x0 处的切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 2 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y f x0 f x0 x x0 导数的实际意义 点评 如果物体的运动方程是s s t 那么 函数s s t 在t t0处的导数 就是物体在t t0时的瞬时速度v t0 即v t0 s t0 v t 在t t0处的导数 就是该物体在t t0时的加速度 一质点的运动路程s 单位 m 是关于时间t 单位 s 的函数 s 2t 3 求s 1 并解释它的实际意义 切线的斜率与倾斜角 与导数有关的探索性问题 点评 1 y x3在点 0 0 处的切线是x轴 符合切线定义 这似乎与学过的切线知识有所不同 其实不然 直线与曲线有两个公共点时 在其中一点也可能相切 如图所示 判断曲线y 2x2 x在点 1 1 处是否有切线 若有 求出切线方程 若没有 说明理由 点评 判断曲线y f x 在点 x0 f x0 处是否存在切线 常转化为y f x 在点 x0 f x0 处是否存在导数 若存在导数 则存在切线 正解 根据导数的定义及其几何意义可知 只有 是正确的 点评 错解没有正确理解导数的定义及其几何意义 即对曲线的切线 切线的斜率 导数三者之间的关系理解不透彻 事实上 和 是一样的 它互为逆否命题 讨论的是 f x0 存在与否 与 切线存在与否 的关系 而导数的几何意义中讨论的是 f x0 与 切线的斜率 之间的关系 根据导数的几何意义 只有 若f x0 不存在 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率不存在 这一说法正确 答案 b 解析 导数是一个局部概念 它只与函数y f x 在x0及其附近的函数值有关 与h无关 二 填空题4 过点p 1 2 且与曲线y 3x2 4x 2在点m 1 1 处的切线平行的直线方程为 答案 2x y 4 0 5 如图 函数y f x 的图像在点p处的切线是l 则f 2 f 2 三 解答题6 在曲线y x2上过哪一点的切线 1 平行于