高中数学 3.1.1空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修21 .ppt

第三章空间向量与立体几何3 1空间向量及其运算3 1 1空间向量及其加减运算 1 空间向量的概念 1 两个特征 2 向量的模 长度 指的是向量的 也可看作表示向量的有向线段的 3 表示法 几何表示法 空间向量用 表示 字母表示法 用字母表示 若向量的起点是a 终点是b 可记作a 也可记作 其模记为 a 或 大小 方向 大小 长度 有向线段 2 几类常见的空间向量 任意方向 0 0 1 相反 a 相等 3 向量的加法 减法 b a a b c 1 判一判 正确的打 错误的打 1 有向线段可用来表示空间向量 有向线段长度越长 其所表示的向量的模就越大 2 空间两非零向量相加时 一定可用平行四边形法则运算 3 0向量是长度为0 没有方向的向量 4 若 a b 则a b或a b 解析 1 正确 向量的模可以比较大小 有向线段长度越长 其所表示的向量的模就越大 2 错误 若空间两向量为共线向量 此时不能用平行四边形法则进行运算 3 错误 0向量是模为0 方向任意的向量 4 错误 a b 说明a与b长度相等 但两向量不一定共线 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 把所有单位向量的起点移到一点 则这些向量的终点组成的图形是 2 在空间四边形abcd 字母顺次连接 中 连接ac bd 则为 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 化简后的结果是 解析 1 在空间中把所有单位向量的起点移到一点 则这些向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心 以1为半径的球面 答案 球面 2 答案 3 由正方体的性质可得答案 要点探究 知识点1空间向量及有关概念1 理解空间向量概念时的四个关注点 1 两向量的关系 空间向量是具有大小与方向的量 两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分 2 有向线段与向量 向量可用有向线段来表示 但是有向线段不是向量 它只是向量的一种表示方法 3 向量的相等 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 4 向量的平移 空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内 成为同一个平面内的两个向量 2 对零向量的三点说明 1 方向的不确定性 零向量的方向不确定 是任意的 由于零向量的这一特性 在解题中一定要看清题目中所指的向量是 零向量 还是 非零向量 2 长度的固定性 零向量的长度为零 零向量与零向量相等 3 规定 零向量与任何向量平行 微思考 1 空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征 提示 空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向 2 两空间向量为什么不能比较大小 提示 每个向量都是由大小与方向两个因素构成 其中长度可以比较大小 但方向无法比较大小 所以向量不能比较大小 即时练 给出下列命题 若 a 0 则a 0 若a 0 则 a 0 a a 其中正确命题的序号是 解析 若 a 0 则a 0 故 错误 正确 正确 答案 知识点2空间向量的加法 减法运算1 空间向量加法 减法运算法则 1 语言叙述 加法 首尾顺次相接 由首指向尾 减法 起点相同 尾尾相连 指向被减 2 图形叙述 向量加法三角形法则 特点 首尾相接 首尾连 向量加法平行四边形法则 特点 共起点 向量减法三角形法则 特点 共起点 连终点 方向指向被减数 2 特殊位置关系的加减法 1 共线向量 共线向量相加时不能利用平行四边形法则 可利用三角形法则 2 共终点向量 共终点的向量相加减 可通过平移两向量使两向量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算 3 常用关系与常用数据 abc中 0 以a b为邻边的平行四边形中 a b表示平行四边形的对角线 0 a a 知识拓展 向量的移项向量的减法是由向量的加法来定义的 减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量 由此可得出向量的移项方法 即将其中任意一个向量变号后 从等式一端移到另一端 等式仍然成立 如a b c d可得a b d c 微思考 1 首尾相接的若干个空间向量的和如何求 提示 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 即 2 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和是什么 提示 由图可得 即时练 化简下列各式 1 2 解析 1 答案 2 方法一 因为所以 方法二 答案 0 题型示范 类型一空间向量的概念及其简单应用 典例1 1 2014 成都高二检测 在如图所示的平行六面体abcd a1b1c1d1中 与向量相等的向量有个 不含 2 如图所示 在以长 宽 高分别为ab 3 ad 2 aa1 1的长方体abcd a1b1c1d1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中 单位向量共有多少个 试写出模为的所有向量 解题探究 1 题 1 中与相等的向量具有什么特点 2 题 2 中单位向量的模有何特点 探究提示 1 两个特点 即此向量的大小与方向与均相同 2 单位向量的模为1 自主解答 1 由平行六面体abcd a1b1c1d1知向量与向量方向相同 长度相等 故与向量相等的向量有3个 答案 3 2 由于长方体的高为1 所以长方体4条高所对应的这8个向量都是单位向量 而其他向量的模均不为1 故单位向量共有8个 由于这个长方体的左 右两侧的对角线长均为 故模为的向量有共8个 延伸探究 把题 1 中的 与向量相等的向量 改为 向量的相反向量 结论如何 解析 由平行六面体abcd a1b1c1d1知向量与向量方向相反 长度相等 故向量的相反向量有4个 答案 4 方法技巧 处理向量概念问题的解题关键及注意点 1 解题关键 明确向量相关概念的特点 向量 判断与向量有关的命题时 要抓住向量的两个主要要素 即大小与方向 两者缺一不可 单位向量 方向虽然不一定相同 但长度一定为1 2 明确两个关系做概念辨别题 模相等与向量相等的关系 两个向量的模相等 则它们的长度相等 但方向不确定 即两个向量 非零向量 的模相等是两个向量相等的必要不充分条件 向量的模与向量大小关系 由于方向不能比较大小 因此 大于 小于 对向量来说是没有意义的 但向量的模是可以比较大小的 变式训练 如图所示 a b是两个空间向量 则与是向量 与是向量 选填相等 相反 解析 由图知 a b a b 故向量与是相等向量 向量 a a 故向量与是相反向量 答案 相等相反 补偿训练 在平行六面体abcd a b c d 中 模与向量的模相等的向量有 a 7个b 3个c 5个d 6个 解析 选a 类型二空间向量的加法 减法运算 典例2 1 2014 合肥高二检测 已知空间四边形abcd中 a b c 则等于 a a b cb a b cc a b cd a b c 2 如图所示 已知长方体abcd a b c d 化简下列向量表达式 并在图中标出化简结果 解题探究 1 题 1 中向量的相反向量如何表示 2 题 2 图中的向量与向量是否相等 探究提示 1 向量的相反向量为 2 由图知向量与向量是相等向量 自主解答 1 选c 因为 b a c 所以 a b c 2 向量 如图所示 延伸探究 试把题 2 中长方体中的体对角线所对应向量用向量表示 解析 在平行四边形acc a 中 由平行四边形法则可得 在平行四边形abcd中 由平行四边形法则可得 故 方法技巧 1 空间向量加法 减法运算的两个技巧 1 巧用相反向量 向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法 减法运算的关键 灵活应用相反向量可使向量间首尾相接 2 巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时 务必要注意和向量 差向量的方向 必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果 2 化简空间向量的常用思路 1 分组 合理分组 以便灵活利用三角形法则 平行四边形法则进行化简 2 多边形法则 在空间向量的加法运算中 若是多个向量求和 还可利用多边形法则 若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和 3 走边路 灵活运用空间向量的加法 减法法则 尽量走边路 即沿几何体的边选择途径 变式训练 在四棱锥v abcd中 化简 解题指南 充分利用三角形 相反向量等概念进行化简 解析 补偿训练 在直三棱柱abc a1b1c1中 若 a b c 则 解析 c a b c a b 答案 c a b 拓展类型 空间向量加法 减法的应用 备选例题 1 已知平行六面体abcd a b c d 求证 2 一艘船从a点出发 以km h的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时河水的流速为2km h 求船实际航行的速度的大小与方向 方向用与水流速间的夹角表示 解析 1 因为平行六面体的六个面均为平行四边形 所以所以又因为所以所以 2 如图 设表示船垂直于对岸行驶的速度 表示水流的速度 以ad ab为邻边作平行四边形abcd 则就是船实际航行的速度 在rt abc中所以因为tan cab 所以 cab 60 方法技巧 空间向量等式证明的两个技巧 1 数形结合 构造对应图形 在图形中标出空间各向量 以便灵活应用平行四边形法则或三角形法则 2 由繁到简 化简多个向量时 观察分析 首尾相接 的向量使之结合 从而化多为少 易错误区 空间向量的概念理解不到位而致误 典例 下列说法中 错误的个数为 1 若两个空间向量相等 则表示它们有向线段的起点相同 终点也相同 2 若向量 满足 且与同向 则 3 若两个非零向量与满足 0 则 为相反向量 4 的充要条件是a与c重合 b与d重合 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 1 错误 两个空间向量相等 其模相等且方向相同 但与起点和终点的位置无关 2 错误 向量的模可以比较大小 但向量不能比较大小 3 正确 0 得 且 为非零向量 所以 为相反向量 4 错误 由 知 且与同向 但a与c b与d不一定重合 常见误区 防范措施 强化概念理解 1 紧扣向量的两个特征 大小 与 方向 注意向量与实数的关系 如本例 2 向量不能比较大小 2 相反向量 两向量方向相反 模