7第七章 傅里叶变换

第七章 傅立叶变换7.0 引言7.0.1 “变换”的概念在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数与之积（商），可使用对数变换、变换后的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成：（1）、对数变换：对已知的、分别求出对数、；（2）、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和 (差)；（3）、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是（）： ()。 这种方法总起来说是根据定理：“积（商）的对数等于对数的和（差）： ()”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系：乘（除）运算 常规域中的运算： 正实数A，B 积AB（商A/B）对数变换lg（） 反对数变换lg-1（） 变换后之域中的运算： 对数lgA、lgB 对数和 lgA+lgB=lg(AB) 加（减）运算 ( 对数差lgA-lgB=lg(A/B) ) 从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与其对数值在一定条件（即、为正实数）下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，变换后的数常称为变换前的数的象。再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等），通过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容易。这时使用变换常常是为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变换建立一种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已,此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采用拉普拉斯变换建立数学模型传递函数后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。7.0.2 “积分变换”的概念式子 （1）被用来定义函数的积分变换。其中是已知的关于和的一个二元函数，称为积分变换的核。若和的值是有限的，则称是的有限积分变换，否则称为无限积分变换。可见，所谓积分变换，就是通过含有参变量的积分，把一个函数变成另一个函数的变换。或者说，就是把某函数类中的函数通过上述积分的运算变成另一函数类中的函数。积分变换又称为运算微积。称为象原函数，称为的象函数，在一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。如 傅立叶变换 ； 拉普拉斯变换 ； 汉克尔变换 ，这里是第一类阶贝塞尔函数； 梅林变换 ，等等。从泛函的角度看，积分变换是一类泛函。傅立叶变换和拉普拉斯变换都是一种泛函。这只要将（1）式改写成 （当看作变量，看作参变量时），或改写成 （当看作变量，干脆被看作常量时），即可明白。要注意、等是不同的映射，它们包含着不同的被看作是不动的部分。所谓看作参变量，即暂时看作常量（更妥当点，应说成“现时看作常量”，至于以后，不排斥人们去考虑它作为变量）。也就是说，暂时固定 ，可将看作泛函算符，这一算符再作用到函数上，结果得出的是对应于函数的一个数。还可以把积分变换看成是一类映射(因线性空间的映射称为算子，故线性空间的积分变换也说成是积分算子)。如前面就曾说（1）式将函数变换成另一个函数。这其实就是把看作变量后而言的。7.1 傅立叶积分与傅立叶定理7.1.1 从傅立叶级数到傅立叶积分傅立叶级数能将周期函数进行谐波分解，而傅立叶积分能将非周期函数进行谐波分解。说得更详细些，即傅立叶级数能将一个周期函数表示成无穷多个离散的频率为基频整数倍的谐函数之和，而傅立叶积分则能将一个非周期函数表示成整个连续的频率区间上的谐函数的积分。傅立叶级数还可表示成复数形式，由此又可导出傅立叶积分的复数形式，随之便产生了一种积分变换傅立叶变换及其逆变换。以上所说的傅立叶级数及傅立叶积分，只限于对函数进行谐函数或由它导出的复数形式（既虚指数函数）的分解。这种情况下，所说傅立叶级数及傅立叶积分可看作是狭义的。其实，以谐函数或虚指数函数作为函数分解的基底，只是一种特例。更一般地，可以任一种正交函数作为基底进行傅立叶分解。这里正文主要讨论狭义的傅立叶级数及傅立叶积分，关于广义的针对一般正交函数的傅立叶分解，我们将在附录中给出初步的讨论。在数学分析课程中学习傅立叶级数时，我们已知有如下定理：傅立叶级数定理：任一个以为周期的周期函数，如果在上满足狄利克雷（Dirichlet）条件（简称狄氏条件，即函数在上满足：.连续或只有有限个第一类间断点；.只有有限个极值点），那么在上就可以展成傅立叶级数。在的连续点处，其傅立叶级数的三角形式为 （2）其中， （） （3） （4） （5）称为角频率或圆频率，称为频率；式（3）、（4）、（5）称为函数的傅立叶系数。由（3）、（4）、（5）这三个式子可见，傅立叶系数（可将合并到中去，合并后）和都是（或）的函数，其中是的偶函数，即有；而是的奇函数，即有。如果把式（2）中的同频率项合并，则式（2）可改写成（根据三角函数二角和公式：）：也即 （6）其中 （7）由式（7）可见，是的偶函数，即有 ；而是的奇函数，即有 。如果将式（6）化为式（2），系数关系为： 由式（6）可见，任何满足狄氏条件的周期函数可分解为一系列谐函数分量之和。其中第一项是常数项，它是周期函数的直流分量。结合（3）式看，可知它实际上就是函数在区间内的平均值。式中第二项称为基波分量或一次谐波分量，它的角频率（可称之为基波角频率或简称为基角频）与原周期函数的相同，是基波振幅，是基波初相位。式中第三项称为二次谐波分量，它的频率是基波频率的二倍，是二次谐波振幅，是其初相位。一般而言，称为n次谐波分量，其角频率为，其振幅为，其初相位为。（6）式表明，周期函数可被分解为各次谐波之和，并且这些谐波的角频率是基波角频的整数倍。以上的式（2）或式（6）称为傅立叶级数的三角形式或傅立叶级数的实数形式。这种形式虽意义比较明确，却运算不便，因而常把实数形式转换为（虚）指数形式或称复数形式。这只要利用欧拉公式或，即可： （8）如果令 （9） （10） （11）而、可合写成一个式子： （12）若又令 则（2）式从而（8）式可写成 或 （13）或 （14）这就是傅立叶级数的（虚）指数形式或说傅立叶级数的复数形式 虚指数的样子看起来，整个式子带一个，好象是个纯虚数，但由欧拉公式又恰可说明它一般是个复数而不是虚数，注意这个是作为的指数而不是作为一个系数。从函数角度看，虚指数函数是实变量的复函数。当然，将虚指数说成是复指数也是对的。称为函数的复傅立叶系数。为了与后续要讲的傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“”写成“”或“”（注意，在后面要讲的傅立叶变换中，是变量，而这里傅立叶级数中的却是常量，变量是，所以不妨随着而把常量的带到中去以做为自变量）。由式（10）、式（11），我们还容易得出如下的一些系数关系：；（即 和是共轭复数）；在（13）式中，单独一项（或写作）并非谐波分量，而是一虚指数函数，只有下标为和的两项之和才组成一个谐波分量，即在复数形式中，第次谐波为（或写作）。这是因为有 这也显示了同一个的两个复数加起来能得到一个实数，从而说明了为什么可以将一个实函数展开为复数。这还说明了另一层意义：虽然在复数形式中引用从而出现了，但这并不表示存在着什么负频率（考虑频率物理意义，频率应该总是非负的），而只是将实的第次谐波分量分写成两个复数项后出现的一种数学形式。总之，由上可知，任意周期函数可被分解为许多不同频率的虚指数函数的线性组合，其各量的复数幅值（又称为复数幅度或复数振幅）为。以上讨论了周期函数的傅立叶分解（或说展开）。下面讨论非周期函数的傅立叶分解。任何一个非周期函数都可被看作是由某个周期函数当时转化而来的。为了说明这一点，我们作周期函数为的函数，使其在之内等于，而在之外按周期延拓到整个数轴上，如图1所示。显然，越大，与相等的范围也越大，这表明当时，周期函数便可转化为非周期函数，即有这样，在（14）式中令时，结果就可以看成是的展开式，即。 （18）当取一切整数时，所对应的点便均匀地分布在整个数轴上。若两个相邻点的距离以表示，即或，则当时，有。故（18）式又可写为图1 （19）当固定时，是参数的函数，记为，即。利用可将（19）式写成 （20）显然，当，即时，这里，从而可以看作是在上的积分： （21）也即由于当时，上述推导中的再不象在前面讨论傅立叶级数时那样被看作参（变）量是固定的（即在讨论过程中暂时固定），而是认作频率间隔（）而成变量（即作为积分过程变量）趋于，即意味着不连续变量趋于一连续变量，于是上式也可写成 （22）（还可直接认识刚才所说的：当时，成为变量而趋于，于是仍就是变量，且当不趋于时，是离散变量；而当趋于时，就成为一连续变量，记这连续变量为）。另外，不妨还可将（22）式中的又写成，而使（22）式改写成 （23）这样做的理由是：. 首先，根据数学分析原理，在（21）式中，因为是定积分，改变积分变量为，是不受影响的，即成立，这就直接导致（23）式。. 就物理意义而言，一量被称为频率，不在于它在一式中是否用某一符号出现，而在于它在存在有频率概念的式子（如谐函数、虚指数函数）中的相对位置。如在中，频率是而不是，又如在中，频率是而不是。于是在（22）式中，既然正好占领了那个位置，所以指的就是频率。虽然在（22）式的推导过程中，不是，但在过程之外，与毕竟可以在同一根频率轴上取值，所以不妨将写成，以使过程之外的使用中符号根据意义统一。式（23）称为函数的傅立叶积分公式。7.1.2 傅立叶积分定理应该指出，上式只是我们不讲究条件由（18）式就其右端从形式上推出来的，是不严格的。那么一个非周期函数在什么样的条件下，可以用傅立叶积分公式来表示呢？下面就给出一个相关的定理：傅立叶积分定理：若在上满足下列条件：.在任一有限区间上满足狄利克雷（Dirichlet）条件；.在无限区间上绝对可积(即积分收敛)，则在的连续点处，有成立，而在的间断点处，应以来代替左端的。该定理的证明可见菲赫金哥尔茨数学分析原理或微积分学教程。这里从略。7.1.3 傅立叶积分的三角形式上述傅立叶积分公式还可以化成三角形式。（23）式是的傅立叶积分公式的虚指数形式，利用欧拉公式，可将它转化为实三角形式。因为，考虑到积分是的奇函数，故有，从而 （24）又考虑到积分是的偶函数，故（24）式可写为 （25）这就是的傅立叶积分公式的实三角形式。【注】：对于傅立叶级数及傅立叶积分，不限于是实函数，也可以是以实变量为自变量的复变函数。这种情形下，傅立叶级数及傅立叶积分（包括后面要谈的傅立叶变换）的定义和性质都成立。7.2 傅立叶变换与傅立叶逆变换我们已知，若函数满足傅立叶积分定理中的条件，则在的连续点处下式成立： 。从该式出发，若设 ，则有 。从这两个式子可见，和通过指定的积分运算可以互相表达，也就是说，二者可以互逆变换。于是我们引出如下定义。定义：设函数满足傅立叶积分定理中的条件，则在的连续点处，表达式 （26）及 （27）都有存在意义。那么这时就称（26）式为函数的傅立叶变换式，记为F 或 ，并称函数为的傅立叶变换，还称函数为的象函数；称（27）式为函数的傅立叶逆变换式，记为F -1 或 ，并称函数为的傅立叶逆变换，还称函数为的象原函数。【注】：1. 傅立叶变换及其逆变换中的函数不限于实函数，也可是的复函数，这时本章给出的傅立叶变换及其逆变换的定义和性质仍成立。这在上节末尾已提及，特在此强调指出一下；2. 求一个函数的傅立叶变换（或傅立叶逆变换）实际属于求一个含参数的广义积分；3. 使用傅立叶变换式（26）和傅立叶逆变换式（27）时，总默认是在的连续点处成立；4. 在不考虑函数在间断点处取值的意义下，与是一 一对应的，因此称象函数和象原函数构成了一个傅氏变换对，可表为：。但注意使用这种表达式时，两边的函数不能随意互换位置，因为我们总是固定认为右方函数是左方函数经傅立叶变换的结果，而左方函数是右方函数经傅立叶反变换的结果。记号F 、F -1、和可看作是算符。5. 傅立叶逆变换也即函数的傅立叶积分；从对函数的分解表示角度看，傅立叶积分或说傅立叶逆变换式就是函数的傅立叶分解或说傅立叶分析。6. 虽然表面看去，在上述（26）和（27）式这样以角频率出现的傅立叶变换及其逆变换定义形式下，其正变换式和逆变换式中的系数因子不同（即在正变换中为，而在逆变换中为），从而显得对称性不好，但其实如果将这种定义形式中的角频率按化为频率，就成为系数对称的形式：，。有的文献在角频率形式下将傅立叶变换和逆变换定义成系数对称式 ：，但这种定义在频率形式下就反而会系数不对称。我们考虑到频率比角频率具有更直接的物理意义，故选择了前一定义形式。7. 注意中的自变量是，但是由于（26）式中参变量前跟有一个复常数，这导致算出的的式子中，总是伴随同时出现而呈、（这里右边虽未见，但由其左边可知总可因此化出来）等形式，故有的文献常把记为。当然，如果在某一使用中先已记为而后又想使用后一记法时，就不应写成，而应写成如或等。因为改变了自变量后，算子也就变了，“”变成“”或“”了。这就犹如可以把“”改记成“”时，是同一个道理。7.3 广义函数在2中我们定义了古典意义下的傅立叶变换。但有许多在物理学和工程技术中重要的函数不满足前述的傅立叶积分定理的条件，如常数、单位阶跃函数、符号函数、周期函数等，就不满足定理中的绝对可积条件（即不满足条件：）；又如我们下面马上要讲到的函数，它不是普通意义上的函数，而是广义函数中奇异函数中的一种，严格说来，它谈不上在一点的值，所以也就谈不上满足傅立叶积分定理的条件。为了使这些函数也能进行傅立叶变换，须引入广义函数的概念，这样站在一个更一般的角度去考虑问题，人们便发现了适于广义函数的傅立叶变换。本课程不便就一般的、系统的广义函数理论去深入讨论，只是主要针对其中的函数进行讨论，并且结合函数对广义函数的概念给一初步的介绍，以本课程够用为限度。之所以讨论函数，是因为我们将会看到，利用函数及其傅立叶变换可以求出诸如上述的常数、单位阶跃函数、周期函数等重要函数的傅立叶变换，并且使得许多变换的推导大大地简化。7.3.1 函数的定义函数首先是由英国物理学家狄拉克（Dirac）在研究量子力学时提出的。现在函数的定义有多种，我们介绍最主要的三种。1). 函数的狄拉克定义: 函数是指满足如下性质的函数： 2). 函数的弱极限形式定义: 这种定义把函数视为弱收敛函数序列或弱收敛含参数函数的弱极限。所谓函数序列或含参数的函数弱收敛于函数（或者说成，函数为该序列或该含参数函数的弱极限），是说对于任意的在内连续的函数分别都有 （30）或 （31）其中、及均被设为在内有定义，也可为。分别记为，。也可分别记为， 定义中的还可以推广为或等。（30）或（31）中左、右两边的积分未必存在。为保证积分存在，对于或、要附加条件，如、是可积的；当积分区间为时，、要局部可积（即在任一有限区间上可积），在某一有限区间外等于。有了弱极限概念，函数便可被定义为一类普通函数序列或普通含参数函数的弱极限：或其中或须分别满足 , （32）或 满足（32）和（33）式这样的普通函数序列和普通含参数函数分别称为型序列和型含参数函数。这类型序列和型含参数函数具体地有很多。 （33）例如 (33.1)就是这样一个满足式（33）的具体的普通含参数函数。3). 函数的积分形式定义: 所谓函数是指满足如下条件的函数，即对任意一个在区间上连续的函数 有的文献，如6，对这里的假设更弱：是任意一个在处连续且变化不太快（缓变）的函数。，都有 函数的积分形式定义还可改写成另一形式并借卷积来表示：。这在后面学习了卷积概念后，根据卷积定义就知显然成立。更多的有关叙述参见5中卷积性质2.9（即“与函数的卷积性质”)。A.V.奥本海姆信号与系统(第二版)就把这个式子看作是通过卷积定义函数,见该书的刘树棠中译本P94。 （34）【注】：函数的积分形式定义还可等价地表述为设，对于，上述三种函数定义，站在经典数学分析的立场上均不可思义，是经典数学分析所不允许的。因为对于第一个定义，怎么能定义一个函数在一点的值为呢？这不合经典函数定义。经典函数只说函数的极限可以为，不能针对函数值而言。不仅如此，即使不考虑（28.2）式，仅由（28.1）式与（29）式二者联立来看，就存在着经典意义下的微分和积分间的矛盾，即由（28.1）式看去，应是一个“几乎处处”为零的函数，而几乎处处为零的函数的勒贝格积分必为零，这与（29）式矛盾。因此不能认为为一几乎处处为零的函数，从而（29）式中所写的积分也不能被认为是通常的勒贝格积分。对于第二个定义，函数被看成普通函数序列或普通含参数函数的极限，而且这极限也与普通极限不同。普通极限是要收敛到一个定值（这里包括指值域由定值所组成的那样的函数）才认为存在极限。而函数的弱极限形式的定义如果被看作普通极限运算的话，那么再由例如（33.1）式且取，则，可见其极限普通意义下为，不是定值。这在普通意义下被认为极限不存在，也就无所谓存在一个等同于这个极限的普通函数。对于第三个定义，人们当初的考虑是，既然函数在点处的值为，它在不等于的范围又是趋于的，因而它不能简单地象普通函数那样作加、减、乘、除运算。只有积分时才能得到定值。因此，它的运算总要经过（34）式那样的积分式才能作用于另一函数。这第三个定义关键是人们认识到要确定函数，不一定非要去能确定它在每点的函数值不可，而是可以让函数和某个函数集中的函数发生“关联”，当对中的每个按某种方式（如按（34）式）定出了一个值（如按（34）式这个值是），那就确定了函数。也就是说，这是用一个量去关联其它某类中的任意量的效果来定义这个量（那种某类中的任意量常被称为测试函数）。但是（34）式中的积分也和普通的积分不同，普通积分遇到函数值为时就不可积，且积分限若为到，积出为，但在（34）式中的积分却可得到。总之，三个定义都不能用常义来理解。不过相比之下，第三个定义更接近严密的定义，使用也更广泛些。到了广义函数理论中，我们便知，第三个定义就是说用泛函来确定函数。最简单的泛函是连续线性泛函，它类似于（34）式那样与其它一族函数关联并有连续、线性性质。广义函数就是确定在某些具体的函数空间上的连续线性泛函，函数则是广义函数中的一种。正由于（34）式左边那样的积分作用太象广义函数了，甚至若为普通函数时，与相当的泛函就是广义函数的特别的一类，因此在广义函数论中，人们干脆对于一般的广义函数,也形式地写成。但这里实际上可能并非局部可积的普通函数，从而这里的“”及积分“”完全是形式的，只是一种简便的记号而已。如此，也就有了在形式上完全被广义函数论承认的关于函数的积分形式的定义（34）式。自然，有了第三个定义的广义函数论解释后，再定义弱极限，第二个定义也就严密了。【注】：函数在物理学界常又被称为脉冲函数或冲激函数 严格地说，称为单位（强度的）脉冲函数或单位（强度的）冲激函数。此因的值（即函数的积分值）被定义为函数的强度，而由（29）式知函数的强度为。另外，如果为常数，则表示发生在处、强度为的脉冲函数。，它借助第一个定义来表达。当然，由上可知，更严格的定义应是第三个定义。那么第三个定义应用到物理上，可有一种什么样的物理意义呢？解释当然不止一种。其中一种是：第三定义被称为函数的抽样（或筛选）性质，它表示了函数于普通函数乘积的积分可将普通函数在脉冲出现时刻的函数值抽取出来。因此常又将函数称为式抽样函数或冲激抽样函数。以上我们只是粗略地谈了谈广义函数的概念，而没有展开严格的广义函数理论，因此本节后面有关函数性质的证明，只是借助普通函数形式的形式上的“证明”。最后，说说第三个定义的使用问题。第三个定义，今后讨论函数的性质时，总是用积分效果是否相同去比较，从而证明或推导函数的性质。7.3.2 函数的主要性质（1）.相乘性质若在处连续，则有证明：设为在处连续的任意函数，根据函数的积分形式定义，有 （2）.对称性质（又称偶函数性质）（3）.缩放性质（又称相似性质或尺度变换性质），（4）.的表达式设及为连续函数，且只有单根 ，则（5）.。若，则。（6）.; 。（7）.函数的导数函数的导数可按下面的运算性质来定义:对于，从形式上考虑如下的分部积分法 保持分部积分法在广义函数上可用，这几乎就是广义函数的本质所在。参见齐民友广义函数与数学物理方程P39，江泽坚、孙善利泛函分析P257，夏道行等实变函数论与泛函分析P478.：,我们就称满足式子的函数为的导数。类似地，定义的阶导数如下：对于在处具有连续的阶导数的函数，它满足。（8）.函数的导数性质（9）.积分性质 为在点处的取值，不要误认为。, 式中（称为单位阶跃函数）。 反之，单位阶跃函数的导数等于函数，即。单位阶跃函数的一个用途：参见祝同江工程数学积分变换P30单位阶跃函数是一个很有用的函数，利用它可以把许多分段定义的函数写成单一等式的形式。例如，函数就可表为。又如符号函数就可表为。最后，关于函数的认识多说一句。这就是，站在函数分解的角度上看，我们曾经说过可以把傅立叶变换理论（严格说，应就其中的傅立叶积分或傅立叶逆变换而言）看作是一种关于函数的“傅立叶分析”，现在站在同样的角度看，我们也可以把函数理论看作是一种与傅立叶分析并列的关于函数的“分析”，参见附录3。7.4 广义函数的傅立叶变换7.4.1 函数的傅立叶变换由于将该式展开来写就是，所以该式等价于一个广义积分：，还常写成。后者又常被看作函数的积分表示形式，其实它不过就是的傅立叶逆变换（或的傅立叶积分）表示而已。7.4.2 周期函数的傅立叶变换前面说过，周期函数不满足傅立叶积分定理中的绝对可积条件（即不满足条件：），所以无法直接对周期函数进行傅立叶变换，引入广义函数的函数后，利用函数及其傅立叶变换就可以求出周期函数的傅立叶变换了。前面在讨论周期函数的傅立叶级数展开时得到的（12）和（13）那一对式子，即复傅立叶系数： 傅立叶级数： 其实也形成了一个变换对，它们互相表达。这时复傅立叶系数式子可称为正变换，傅立叶级数式子可称为逆变换。我们不妨给它们一个全称，分别称为傅立叶级数变换和傅立叶级数逆变换。而且正如前面已经讲过的，为了与傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“”写成“”或“”（注意，在傅立叶变换中，是变量，而这里傅立叶级数中的却是常量，变量是，所以不妨随着而把常量的带到中去以做为自变量）。也称为的象函数，称为的象原函数。同时还可以把上面二式分别记为，和。注意，不要以为对于周期函数而言，傅立叶变换就是傅立叶级数变换。换句话说，不要以为当把傅立叶变换用到周期函数时，傅立叶变换就等于复傅立叶系数。这二者是不相同的。在此，我们先严格根据傅立叶变换的定义对周期函数进行傅立叶变换，看看是一个什么样的结果。首先考虑把周期函数展成傅立叶级数： （式中） 注意用到傅立叶级数和傅立叶变换上时，含义不同。用在前者时是作为固定量，用在后者时是作为变量。而这里由于我们用到了傅立叶级数且随后又要用到傅立叶变换，为避免混淆，所以这里在使用傅立叶级数时干脆将这一固定量改写成“”。对上式两边取傅立叶变换，并考虑到不是时间的函数，有 再利用前面我们已得到的广义积分，上式就可写成这就是周期函数的傅立叶变换。可见，对于周期函数，与是不同的，换言之，。之所以不同，详细原因如下：虽然当初引入傅立叶变换时是把非周期函数看作由某个周期函数当求极限转化而来，如此的确使得周期函数当作非周期函数特例时，从而傅立叶级数也成为傅立叶积分的一种在“能够由之转换而得”意义下的特例。但是，傅立叶系数和傅立叶变换式却是分别从傅立叶级数和傅立叶积分中取出一部分子式来定义的，而且各自选取的子式并不恰好是直接通过极限运算就能相互对应的那一对式子，而是一方不按另一方的子式划分、组合方式而重新进行了不同的划分、组合后再求极限转化而成的。这具体地说，可考察1中（18）式向（19）式的变更。在（18）式中，子式原是作为复傅立叶系数，以它的模和幅角去分别刻画各频率谐波分量的幅值和初相位（虽然不是直接刻画，而是，但只相差一个常数而已）。但是到了（19）式时，该子式中积分号前的离开了原来的位置，通过的关系变成和两因子而分放到了（19）式两端。这就相当于原来的子式除以一个 如果将角频率按用频率表出，可知这里除以一个就相当于除以频率。而成为一个新的子式。这个新的子式因而就不是原来子式所代表的复傅立叶系数，而是一个所谓的相对复傅立叶系数，其模刻画的是各频率谐波分量的相对幅值，而非原先的真正幅值。傅立叶变换式即是时的相对复傅立叶系数，其模就是时的极限情况下的各频率谐波分量的相对幅值的刻画。可见，并不是的极限结果，而是（或）的极限结果，即还有如下的关系：小结一下上述结果，即：一个周期函数的傅立叶变换不是一个连续函数，而是一系列等距的函数，即式所表达；周期函数的与是不同的，前者是时的相对复傅立叶系数，后者即（绝对的）复傅立叶系数；这里的讨论说明，利用函数就能使傅立叶变换既可用于非周期函数也可用于周期函数。7.5 傅立叶变换的性质7.5.1 线性性质定理1：设，为常数，则；。此性质表明：傅立叶变换和傅立叶逆变换都是线性变换，也即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合。定理1证明：根据傅立叶变换及逆变换的定义显然可得。7.5.2 平移性质定理2：时延定理：；频移定理：。时延定理表明：的平移引起频谱的相位改变（为何这样说？因为时延定理右边可写成，可见在频域中所有频率分量相应滞后或超前一相位），相位的滞后或超前与频率成正比，不过的平移并不改变傅立叶变换幅值的大小。也即若信号保持波形不变沿轴移动，则振幅频谱不变（因为），但相位频谱却要发生变化。可见，信号在时域中的时延和在频域中的相移一一对应，也即一信号在时域中整体延迟一时间，则在频域中信号的所有频谱分量都将被给予一个对频率成线性关系的相移，反之也成立。频移定理又称调制原理，它还可以等价地表为：。它表明：将函数乘以指数函数，则的频谱函数沿轴右移。用信号处理的语言来解说也就是，选择一高频载波信号（即迅变信号），去调制（即相乘）一低频被调信号（即慢变信号），就可以把原先低频范围的被调信号的频率搬移到所需的高频范围（所得结果是以低频信号为包络的高频信号）。可见结果信号（称为已调信号）的包络线呈现被调信号的信息。定理2证明：令，则.7.5.3 缩放性质（又称相似性质或尺度变换性质）定理3：，为非零实常数。，为非零实常数。此性质表明：若时域函数在时域上沿轴压缩（取时）倍（即压缩到原来的倍），则其频谱函数在频域上沿轴将扩展倍，同时其幅值将减小倍（即减小到原来的倍）；若时域函数在时域上沿轴扩展（取时）倍，则其频谱函数在频域上沿轴将压缩倍，同时其幅值将增大倍；此外，如果是负数，则、都还有一个左右翻转的关系。这一性质不难从信号的角度来理解，因为信号的波形压缩倍，相当于信号随时间变化加快倍，所以它所包含的频率分量增加倍，也就是说频谱展宽倍；同时根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小倍（即使得曲线下的面积保持不变）；若，可知信号在时域相对于纵轴反转，则在频域中频谱也相对于纵轴反转（见后面的翻转性质）。还可以从另一角度描述缩放性质，见后面的面积性质）。定理3证明：对要证的定理3第一式的左边令，即有。但注意换元后的积分上下限还需根据的正负号才能具体确定，这就是，当时，对应于；当时，却对应于。故需加以区分。为此有：当时，；当时，。于是综合和两方面的结果，有定理3第一式证毕。对于定理3第二式，类似可证。定理3：若函数既有平移又有缩放时，则有，为非零实常数。，为非零实常数。7.5.4 翻转性质定理4：定理4证明：此性质是缩放性质的特例，只要在缩放性质中令即得证。7.5.5 面积性质定理5：此性质表明：所包围的面积等于在原点处的值；所包围的面积等于在原点处的值乘以。要注意的是，与这两个面积是不相等的。但是，模的平方下的面积有直接联系，即见后面的Parseval等式：。另外，从面积性质这一角度也可以说明尺度变换特性：如果和各自等于和曲线的最大值，又设和分别是和的等效宽度（所谓等效宽度，是将曲线包围的面积等同于高度取曲线最大值的一矩形面积所求出的矩形宽度。即：等效宽度曲线包围的面积/曲线最大值），那么由面积性质可推得及，由此二式联立可解得：。该式说明，信号的等效脉宽（即时域等效宽度）与占有的等效带宽（即频域等效宽度）成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展宽频带作代价。所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。【注：面积性质其实是后面要讲的阶矩性质的特例】定理5证明：只要在傅立叶变换定义式中令，就得第一式；而在傅立叶逆变换定义式中令，就得第二式。7.5.6 微分性质定理6：若、都可进行傅立叶变换，且当时，则；若、都可进行傅立叶变换，则。定理6证明：证第一式；由傅立叶变换定义，并利用分部积分可得由条件“时”可得：时，）证第二式：。若、都可进行傅立叶变换，且当时，则；若、都可进行傅立叶变换，则。推论：7.5.7 积分性质定理7：时域积分性质：若，则;特例：若，且当时，则；频域积分性质：若，则；特例：若，且当时，则。定理7证明： 显然，积分总可以等价地表为甚至，即。其实正是所谓的卷积，所以这一恒等式也被说成：积分可表为与阶跃函数的卷积，即。至于时域积分性质特例的证明，显然根据时域积分性质及面积性质就可得出。关于频时域积分性质及其特例的证明，略。7.5.8 对称性质定理8：若，则。此性质表明：若时域函数具有与的频域函数相同的形式时，则的频域函数除了自变量前的系数和因变量前的系数外也具有与函数相同的形式。不过，称定理8中的式子为对称性质，其实只适用于为偶函数时。因为这时该式呈的形式，其中系数只影响纵坐标的尺度，而不影响函数的基本特征。定理8证明：因为，令，得。再令且，则得。再令，得。即。此即定理8中的第一个式子。另一个式子可类似证得。7.5.9 变换的多次作用（即变换的乘积运算）；。（上述两式又称为傅立叶变换的对偶关系）；。定理9：此性质的后四个式子表明：对一元函数连续作两次傅立叶变换或逆变换，即得其“镜象”（除了纵坐标差一个系数外）。与之类似，对二元函数连续作两次二维傅立叶变换或逆变换，即得其“倒立象” （除了纵坐标差一个系数外）。定理9证明：证第一及第二式：证法之一是可由傅立叶变换及反变换定义（其实即基于傅立叶积分定理）直接得出第一及第二两式；证法之二即中括号内的付氏逆变换式积分变量改成了，根据积分学定理，这是允许的） 根据函数的积分表示形式，见前面函数的性质）这就证明了若傅立叶逆变换定义式成立，则傅立叶变换定义式成立。也即若能用傅立叶逆变换定义式由求出，就必然能用傅立叶变换定义式由求出。也即第二式成立。同样可证第一式成立。证第三式：。证第四式：证第五式：证第六式：（第三、四、五式也可以象第六式那样用函数来证，而第六式也可以象第三、四、五式那样用变量代换方法来证）推论：推论的证明：由定理9中的第一及第二式直接可推出。7.5.10 正、反变换的转换定理10：定理10证明：在定理9的第三式两边同乘，即得定理10的第一式；在定理9的第四式两边同乘，即得定理10的第二式；在定理10的第一式将换成，即得定理10的第三式；在定理9的第六式两边同乘，即得定理10的第四式。7.5.11 阶矩性质定义：称为函数的阶矩。矩在力学和统计学中都是重要的特征量。例如，一阶矩在力学里表示静力矩，在概率论中表示随机变量的统计均值（数学期望）；二阶矩在力学上可表示转动惯量或惯量矩，在概率论中表示均方值。一个函数的一阶矩与零阶矩之比，给出了该函数的矩心坐标：定理11：矩定理表明函数的阶矩全由的傅立叶变换在附近的性态决定。或者说，在原点附近的性态包含了关于函数的各阶矩的信息。矩定理实际上是傅立叶变换导数定理（即微分性质）的一种应用。定理11证明：面积性质的证明是直接在傅立叶变换的定义式中令参变量为零而得。与其方法完全相同，只不过这里是直接在傅立叶变换的微分式中令参变量为零而得:频域微分的傅立叶变换可明白写成令，即得此即所要证的第一式；时域微分的傅立叶变换两边同取傅立叶逆变换可等价写为令，即得此即所要证的第二式；7.5.12 奇偶虚实性 引理：设，则引理证明：由复变函数理论，显然可得。定理12：设时域函数为复函数，相应的频域函数为复函数，其中下标和分别指实部和虚部，则；。要注意的是：，。（上述这一性质意味着：一个实值函数的傅立叶变换并不等于把此实值函数作成的复值函数的傅立叶变换的实部。这里所谓“作成的”即物理学中常见的“”的做法。但是容易证明如下定理：若，则。） 定理12证明12：在傅立叶变换定义式中将按欧拉公式展开，得再将定理条件式代入上式，得；再将此式与定理条件式对比，得 ； ； 在傅立叶逆变换定义式中将按欧拉公式展开，得再将定理条件式代入上式，得再将此式与定理条件式对比，得；。再看和：此与式比较显然二者不相等；此与式比较显然二者不相等。若是的实函数，则实部是的偶函数，虚部是的奇函数，模是的偶函数，幅角是的奇函数。推论：推论的证明：由定理12知，由、两式得 ，即为偶函数；又由定理12知， 由、两式得 ，即为奇函数；在上述基础上再由引理知 ，故这时为偶函数；同样在上述基础上再由引理知 （这里用到恒等式），故这时为奇函数。【注：设复函数的实部和虚部分别为和，即，将与分别写成各自的偶部与奇部之和，即，于是有 （A）其中和分别为的偶部和奇部，它们是 对（A）式取傅立叶变换，得根据奇偶函数乘法（见附录1函数奇偶性的定理2）及奇函数对称积分等于0（见附录1函数奇偶性的定理7），可判断上式的中括号里中间四项为奇函数，从而这四项积分为0。所以上式可写成 （B）（注意中的函数对而言虽是偶函数，但对而言确是奇函数，从而对而言是奇函数，所以我们可以用奇函数符号来记它。）根据（B）式，就可以对傅立叶变换对与之间的实虚奇偶关系作全面讨论。与之间的实虚奇偶关系小结如下 其中双箭头联系着的两个函数构成傅立叶