14.3用函数观点看方程（组）与不等式

14.3.1一次函数与方程、不等式【目标】1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.【重点】1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.【难点】根据一次函数的图象求解方程和不等式.一、有效课前预习:画出函数y=x+3的图象,并解答:(1)x取什么值时,函数值 y等于3,0,-3?(2)x取什么值时,函数值 y始终大于零?二、有效创设情境:追问:你是如何求x的值?追问:一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3与函数y=x+3有什么关系?你能利用一次函数的图象求出方程的解吗?从数的角度看:求一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3的解就是求函数y=x+3当y的值为3,0,-3时对应的自变量x的值.从形的角度看:也是求当一次函数的图象上纵坐标分别为3,0,-3时点的横坐标.从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容一次函数与方程、不等式.三、有效质疑探究1.探究一次函数与方程的关系老师为了检测小明的数学学习情况,编了四道测试题.问题(1):解方程2x+1=0.问题(2):当x为何值时,函数y=2x+1的值为0?问题(3):画出函数y=2x+1的图象,并确定它与x轴的交点坐标.问题(4):第(1)(2)个问题有何关系?(1)(3)呢?2.(1)请填写表格,使得以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题.序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程5x-3=0当x为何值时y=5x-3的值为0?2解方程9x+2=03当x为何值时y=-4x+7的值为0?4解方程ax+b=0(a,b为常数且a0)(2)根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解.学生分组练习,分别讨论,归纳结论.师生归纳:从数的角度看,求ax+b=0(a,b是常数,a0)的解相当于求x为何值时函数y=ax+b的值为0;从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.2.探究一次函数与不等式的关系探究:下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?(1)2x+13,(2)2x+10,(3)2x+11,x-,x0或ax+b0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.3.探究一次函数与方程组的关系一次函数与二元一次方程的关系.(1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y?是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢?(2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=-x+的图象.(3) 在一次函数y=-x+的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程 3x+5y=8的解吗?为什么?学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结: 方程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-x+的图象上2.一次函数与二元一次方程组的关系.观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图象,两条直线的交点坐标是.方程组 的解是.小组讨论,完成填空后,进行验证.教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-x+的交点坐标.教师引导归纳:4.例题讲解(补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式;该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0m100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有: 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.根据题意,得100-x2x,解得x33.y=-50x+15000中,-500,y随x的增大而减小.x为正整数,当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(3)根据题意,得 y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.由题意得33x70.当0m50时,m-500,y随x的增大而减小.当x=34时,y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;当m=50时,m-50=0,y=15000.即商店购进A型电脑数量满足33x70的整数时,均获得最大利润;当50m0,y随x的增大而增大.x=70时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.一次函数的最值问题:考虑一次函数y=kx+b在axb时的最大值和最小值的时候,要注意k的符号:当k0时,则在x=a处取最小值,在x=b处取最大值;当k0(a0)的解集x为何值时,y=ax+b的值大于0直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围求二元一次方程组的解解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时,两个函数值相等,以及这个函数值是多少解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标五、有效课后指导1.直线y=x+3与y轴的交点是() A.(0,3) B.(0,1) C.(3,0) D.(1,0)2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y2B.x-1D.x-1 3.如图所示的是函数y=-x+3的图象,根据图象回答下列问题: (1)求方程-x+3=0的解;(2)求不等式-x+3