高考数学一轮复习 10.3随机事件的概率、古典概型与几何概型课件.ppt

课标版理数 10 3随机事件的概率 古典概型与几何概型 1 确定事件和随机事件 1 必然事件和 不可能事件统称为确定事件 2 在条件s下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件 2 频率与概率 1 频率 在n次试验中 事件a出现的次数na与n的比 即fn a 频率的范围为 0 1 2 概率是度量随机事件发生的 可能性大小的量 是个确定的值 3 事件的关系与运算 4 概率的几个基本性质 1 概率的范围是 0 1 2 必然事件e的概率p e 1 3 不可能事件f的概率p f 0 4 互斥事件概率的加法公式 i 如果事件a与事件b互斥 则p a b p a p b ii 若事件b与事件a互为对立事件 则p a 1 p b 5 古典概型 1 基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥的 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 a 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 b 每个基本事件出现的可能性相等 3 古典概型中 事件a的概率计算公式为p a 6 几何概型 1 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 2 几何概型中 事件a的概率计算公式为p a 1 掷一枚均匀的硬币两次 事件m 一次正面朝上 一次反面朝上 事件n 至少一次正面朝上 则下列结果正确的是 a p m p n b p m p n c p m p n d p m p n 答案d 正 正 正 反 反 正 反 反 m 正 反 反 正 n 正 正 正 反 反 正 故p m p n 2 要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外学习小组 则组成4女2男的课外学习小组的概率为 a b c d 答案a从10名女生与5名男生中选取6名学生 共有种选法 选出4女2男的选法种数为 组成4女2男的课外学习小组的概率为 故选a 3 在区间上随机取一个数x 则cosx的值介于0到之间的概率为 a b c d 答案a由题意知x 令0 cosx 得 x 或 x 所求的概率p 故选a 4 在平面区域内任取一点p x y 若 x y 满足2x y b的概率大于 则b的取值范围是 a 2 b 0 2 c 1 3 d 1 答案d作出平面区域如图中正方形区域 平面区域的面积为1 1 1 当b 1时 满足2x y b的区域的面积为 此时概率恰为 所以要使概率大于 则b 1 故选d 5 在五个数字1 2 3 4 5中 若随机取出三个数字 则剩下两个数字都是奇数的概率是 结果用数值表示 答案解析从5个数字中任取3个 共有 10种情况 剩下两个数字都是奇数 共有种情况 故所求概率为p 典例1 2014陕西 19 12分 某保险公司利用简单随机抽样方法 对投保车辆进行抽样 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 1 若每辆车的投保金额均为2800元 估计赔付金额大于投保金额的概率 2 在样本车辆中 车主是新司机的占10 在赔付金额为4000元的样本车辆中 车主是新司机的占20 估计在已投保车辆中 新司机获赔金额为4000元的概率 随机事件的概率 4000元 以频率估计概率得p a 0 15 p b 0 12 由于投保金额为2800元 赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元 所以其概率为p a p b 0 15 0 12 0 27 2 设c表示事件 投保车辆中新司机获赔4000元 由已知 知样本车辆中车主为新司机的有0 1 1000 100辆 而赔付金额为4000元的车辆中 车主为新司机的有0 2 120 24辆 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为 0 24 由频率估计概率得p c 0 24 解析 1 设a表示事件 赔付金额为3000元 b表示事件 赔付金额为 概率的理解及计算方法 1 概率是一个常数 它是频率的科学抽象 将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法 2 以频率估计概率知 事件a的概率p n次试验中 事件a出现m次 1 1 2012北京 17 13分 近年来 某市为了促进生活垃圾的分类处理 将生活垃圾分为厨余垃圾 可回收物和其他垃圾三类 并分别设置了相应的垃圾箱 为调查居民生活垃圾分类投放情况 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾 数据统计如下 单位 吨 1 试估计厨余垃圾投放正确的概率 2 试估计生活垃圾投放错误的概率 3 假设厨余垃圾在 厨余垃圾 箱 可回收物 箱 其他垃圾 箱的投放量分别为a b c 其中a 0 a b c 600 当数据a b c的方差s2最大时 写出a b c的值 结论不要求证明 并求此时s2的值 注 s2 x1 2 x2 2 xn 2 其中为数据x1 x2 xn的平均数解析 1 厨余垃圾投放正确的概率约为 2 设生活垃圾投放错误为事件a 则事件表示生活垃圾投放正确 事件的概率约为 厨余垃圾 箱里厨余垃圾量 可回收物 箱里可回收物量与 其他垃圾 箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量 即p 约为 0 7 所以p a 约为1 0 7 0 3 3 当a 600 b c 0时 s2取得最大值 因为 a b c 200 所以s2 600 200 2 0 200 2 0 200 2 80000 典例2 2014江苏 4 5分 从1 2 3 6这4个数中一次随机地取2个数 则所取2个数的乘积为6的概率是 答案解析从1 2 3 6这4个数中一次随机地取2个数 有 1 2 1 3 1 6 2 3 2 6 3 6 共6种情况 满足条件的有 2 3 1 6 共2种情况 故p 古典概型 解决古典概型问题的一般步骤 首先要判定所求问题是古典概型问题 其判定依据是 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性相等 其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的 基本事件的个数 然后利用古典概型的概率公式求解 2 1分别在集合a 1 2 3 4 和集合b 5 6 7 8 中各取一个数 1 求其和为偶数的概率 2 求其积为偶数的概率 解析因为对于a中数的每一种取法 b中的数都有4种取法 故基本事件的个数为4 4 16 并且所有这些取法都是等可能的 1 若和为偶数 则所取两数必须都是奇数或都是偶数 故所有使和为偶数的取法有 1 5 1 7 3 5 3 7 2 6 2 8 4 6 4 8 共8种 所求概率为 2 若积为偶数 则只要其中有一个是偶数 1 6 1 8 2 5 2 6 2 7 2 8 3 6 3 8 4 5 4 6 4 7 4 8 共12种取法 故所求概率为 2 2将一枚骰子先后抛掷2次 观察向上的点数 1 求两点数之和为5的概率 2 求出现两个5点的概率 3 求以第一次向上点数为横坐标x 第二次向上的点数为纵坐标y的点 x y 在圆x2 y2 15内部的概率 解析将一枚骰子先后抛掷2次 此问题中含有36个等可能基本事件 1 记 两点数之和为5 为事件a 则事件a中含有4个基本事件 1 4 2 3 3 2 4 1 所以p a 即两点数之和为5的概率为 2 记 出现两个5点 为事件b 则事件b包含的基本事件只有1个 即 5 5 所以p b 即出现两个5点的概率为 3 记 点 x y 在圆x2 y2 15的内部 为事件c 则事件c包含的基本事件共有8个 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 所以p c 即点 x y 在圆x2 y2 15内部的概率为 典例3 2014湖北 7 5分 由不等式组确定的平面区域记为 1 不等式组确定的平面区域记为 2 在 1中随机取一点 则该点恰好在 2内的概率为 a b c d 答案d解析区域 1为直角 aob及其内部 其面积s aob 2 2 2 区域 2是直线x y 1和x y 2夹成的条形区域 由题意得所求的概率p 几何概型 故选d 1 解决有关长度 角度 面积 体积的几何概型问题 关键是 边界 的判断 在 动 中求 静 也就是找出符合题设条件的 临界点 2 有关几何概型的试题常与不等式组表示的平面区域 直线与圆等知识 综合考查 难度稍大 3 1 2014北京东城二模 11 在区间 0 6 上随机取两个实数x y 则 2x y 6 的概率为 答案解析在区间 0 6 上随机取两个实数x y 得到点 x y 所在区域为如图所示正方形及其内部 其中满足2x y 6的点 x y 所在区域为阴影部分 故所求概率p 3