高二数学讲座最大值与最小值人教

高二数学专题讲座 最大值与最小值一. 本周教学内容： 专题讲座：最大值与最小值 从历年的高考题看，每年都有最值的试题，最值问题在代数、三角、解析几何中都可以命题。既可以出一些基础题又可以出一些小综合题，甚至还可以出一些中等偏难的题。但是，不管是什么样的最值题，最终都可以归纳为以下几种常用方法求解： 1. 利用二次函数求最值； 2. 利用判别式法求最值； 3. 利用函数的单调性求最值； 4. 利用均值不等式求最值；（现在只限两个数） 5. 数形结合求最值； 6. 利用三角代换法求最值。 结合本学期教学内容，重点介绍用“均值不等式”求最值和利用“数形结合法”求最值。一. 利用“均值定理求最值” 2. 规律：若积ab为定值，则当a=b时，a+b有最小值； 若和a+b为定值，则当a=b时，ab有最大值； 3. 注意：使用定理时应具备的条件：（1）正（2）定（3）相等。 例1. 分析：要用均值不等式求最小值，关键是结构调整。要求和的最小值，则需它们的积为定值。 解： 即y1 例2. 分析：此题的关键是根据函数的特点，通过适当的恒等变形把问题转化为定积条件下的两个变量和的最小值问题。 解： 例3. 解： 例4. 解： 例5. 解： 2不是函数的最小值，（注：2不是最小值，但不等于没有最小值） 例6. 求mx+ny的最大值。 解： 二. 利用数形结合求函数的最值： 例7. 已知：点P（x，y）是圆x2+y2=9上的动点。求x+y的最大值。 解：设x+y=b，则y=-x+b与y=-x平行。 问题转化为：求直线y=-x+b与圆有公共点时，直线在y轴上的最大截距问题。 显然当直线与圆相切时，b有最大或最小值。利用圆心到切线的距离等于半径3。 例8. 解： 问题转化为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点时，斜率的取值范围问题。 现在只要求出k的最大和最小值即可。 例9. 求x2+y2的最小值。 解： 由图形可知，要使|OP|最小，显然连OC交圆C于点P，此时的点P使 因此：|OP|2=x2+y2也最小 例10. M为椭圆上一点，求|MP|+2|MF|的最小值。 例11. 已知抛物线y2=2x的焦点为F，定点A（3，2），在抛物线上求一点P，使得|PA|+|PB|最小，则点P的坐标为_。 分析：两条线段和最小一般转化为一条线段问题，根据两点间线段最短即可，由抛物线定义正好|PF|=|PN|，显然A、P、N三点共线时问题得解。 解：过A作AN准线交于N与抛物线交于点P。 1. 求下列各函数的最值： 4. 对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P（x，y），不等式x+y+m0恒成立，求实数m的取值范围。参考答案 1. 解： 说明：此题还可以用其它方法求出最大值，自己练习，同自己练习1（2）与1（1）类似。 2. 解： 设x1x2都属于1，2 3. 分析：率，而A是定点，点P在圆x2+y2=1上动，则求f()的最值问题就转化为求直线PA斜率的最值问题了。 解：如图，f()可以看成点P（cos，sin），A（2，1）两点连线的斜率，且点P在圆x2+y2=1上运动。过A点作两条切线，显然AP2的斜率最