高二数学选修11课人教实验B

高二数学选修1-1复习课一. 本周教学内容： 选修11复习课二. 教学目的1、通过复习本册知识结构，系统把握本章内容。2、总结本章的重点题型，把握解题的主要思路和方法三. 教学重点、难点重点问题专题讲解四. 知识分析（一）命题与量词：1、逻辑联结词对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的考查，一般融入到具体的数学问题之中，以代数、三角、解析几何的内容为载体，考查对逻辑知识的运用，一般难度不大。注意以下几点：（1）“或”与日常生活用语中“或”的意义有所不同，日常用语中的“或”有时带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如或。（2）集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”密切相关。，集合的并集是用“或”来定义的。，集合的交集是用“且”来定义的。，集合的补集与“非”密切相关。“或”、“且”的否定形式；“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”。（3）对于“p或q”，只有p，q都为假时才为假，其他情况为真；对于“p且q”，只有p，q都为真时才为真，其他情况为假；非p的真假与p的真假相反。2、四种命题。原命题：如果p，那么q（或若p，则q）；逆命题：如果q，则p；否命题：如果，则；逆否命题：如果q，则p。注意：原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与它的否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。3、充分条件与必要条件：充分条件与必要条件是对命题进行研究的重要途径，因而这部分知识是高考的必考内容。高考一般以选择题形式出现，考查同学们的逻辑推理能力，往往与其它知识结合起来考查。应用充分条件、必要条件、充要条件时应注意以下几点：（1）充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，结论推条件；确定条件是结论的什么条件；要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。（2）对于充要条件，要熟悉它的同义词语。在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”，“必须且只需”，“等价于”，“反过来也成立”，准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的。4、全称量词与存在量词全称量词与存在量词是新课标中的新增内容，在以往的高考中没有出现，为了体现新课标的精神，在今后的高考中一定会有体现，预计主要以选择题和填空题的形式出现，并且是和其他知识结合起来进行考查。全称量词：短语“对所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。注意：（1）将含有变量x的语句用，表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有成立”，可简记为“，”。（2）全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。（3）要判断全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题。存在量词 ：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示。注意：（1）存在性命题“存在M中的一个x，使成立”，可用符号简记为“，”。（2）存在性命题就是陈述在某集合中（存在）一些元素具有某性质的命题。（3）要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个，使成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题。关于全称命题与存在性命题的否定：全称命题p：，它的否定是：，全称命题的否定是存在性命题。存在性命题，它的否定是，存在性命题的否定是全称命题。典型例题例1. 分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假。（1）p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；（2）p：方程的两实根符号相同，q：方程的两实根绝对值相等；（3）p：是有理数，q：是无理数。解析：（1）p或q：菱形的对角线相等或互相垂直，真；p且q：菱形的对角线相等且互相垂直，假；非p：菱形的对角线不一定相等，真。（2）p或q：方程的两实根符号相同或绝对值相等，假；p且q：方程的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p：方程的两实根符号不同，真（3）p或q：是有理数或是无理数，真；p且q：是有理数且是无理数，假；非p：不是有理数，真。点评：判断含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”的命题的真假，首先要弄清结构，先确定命题的构成形式以及构成它的命题p，q的真假，然后根据结论判断命题的真假。例2. 命题p：方程有两个不等的负实数根，命题q：方程无实数根。若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，试求m的取值范围。解析：由p得解得m2由q知，解得因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p为真，q为假；若p为假，q为真。即；或解得或即为所求。点评：该例涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集以及“p或q”，“p且q”两类命题的判断等知识。解答时，应注意层层推进，先将p，q化简，然后依题设条件“p或q”为真，“p且q”为假，推导出所有可能情况。例3. 写出命题“当时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。解析：原命题：如果，则a=0或b=0或c=0，是真命题。逆命题：如果a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题。否命题：如果，则且且，是真命题。逆否命题：如果a0且b0且c0，则abc0，是真命题。点评：把原命题改成“如果p，则q”的形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律。例4. 设函数的定义域为R，有下列三个命题：如果存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；如果存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；如果存在，使得对任意，有，则是函数的最大值。这些命题中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：错。原因：“=”可能取不到。，都正确。故选C。例5. 写出下列命题的否定并判断其真假。（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：存在一个三角形，它的内角和大于180；（3）p：某些梯形的对角线互相平分。解析：（1）：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题。（2）：任何一个三角形，它的内角和不大于180，真命题。（3）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题。点评：首先要弄清楚命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定。例6. 是否存在实数p，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围。解析：的解是或由得要使时，或成立，必须有，即。当时，有所以当时，“”是“”的充分条件。点评：“”是条件，“”是结论，先解出这两个不等式，再探究符合条件的p的范围。（二）圆锥曲线：圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考的热点问题。无论在选择题、填空题还是解答题中经常出现，学习时应引起同学们的足够重视，下面就圆锥曲线中的几个重要方面进行复习：1、椭圆、双曲线、抛物线的定义：要准确的理解和掌握这三种曲线的定义，注意在定义中满足的几何条件，并能够应用定义解决一些简单的问题。2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：掌握三种曲线的标准方程，结合图形来进行记忆，弄清它的焦点在哪一个坐标轴上。3、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质：这三种曲线的几何性质有许多类似的地方，应该对比来加以记忆，注意区分它们的不同点。下面几个方面同学们应注意：（1）离心率的范围：椭圆中，双曲线中，抛物线中； （2）双曲线的渐近线：渐近线是双曲线特有的性质，要注意对它的理解掌握； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴。典型例题例7. 在ABC中，BC=24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求ABC的重心的轨迹方程。解析：如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M是ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知。于是根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆。因为，所以a=13。又，所以。于是故ABC重心的轨迹方程为。点评：有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B，C以及ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系。解本题的关键是由三角形中线的性质推导出动点M到两个定点距离之和为定值。例8. 若一个动点P（x，y）到两个定点（1，0），（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（），求P的轨迹方程。解析：（1）当0a2时，轨迹不存在。点评：由题设条件，容易联想到双曲线，但注意到双曲线定义中的条件，而题中a与2的大小不确定，故需讨论。对双曲线定义的理解要准确，不能忽视定义中的限制条件。例9. 如图所示，AB为抛物线上的动弦，且（a为常数且），则弦AB的中点M与x轴的最小距离为_。解析：设A，M，B点的纵坐标分别为，且A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为。由抛物线的定义知：， 所以又M是线段AB的中点，所以 等号在定长为a的弦AB过焦点F时成立，此时M点与x轴的距离最小，最小值为（）。点评：本题运用了抛物线的定义，并注意挖掘题目中隐含的几何条件（三角形的性质），使解题过程简明快捷。另外，抛物线过焦点的弦的最小长度为1，故的条件保证了AB过焦点，即本题的最小值可以取到。例10. 已知双曲线过P1（）和P2（，4）两点，求双曲线的标准方程。解析：设所示双曲线方程为。因为在双曲线上，所以有：解得所以所求双曲线方程为。点评：解完后才知焦点只能在y轴上！设的技巧值得同学们学习、掌握。 例11. 已知双曲线以为渐近线，且过点（1，2），求该双曲线的方程。解法一：如图，由（1，2）在（1，）的上方，可知焦点在y轴上。于是可设双曲线方程为。由已知故所求双曲线方程为解法二：设所求双曲线方程为将（1，2）代入得故所示双曲线方程为即点评：实际上，若利用已知渐近线的双曲线方程的巧设去处理，可使问题变得容易解决，解法二实际上是整体思维的模式，用处广泛，应引起同学们的重视。例12. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。解析：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为准线方程为，所以又因为，所以，所以。解得p=1或。所以抛物线方程为或若焦点在y轴的负半轴上，则可设方程为准线方程为，所以又因为，所以。所以。解得p=1或p=9所以抛物线方程为或。点评：应分焦点在y轴正半轴和负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数求抛物线方程。例13. 如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB与OM平行。（1）求椭圆的离心率；（2）设Q是椭圆上的任意一点，是右焦点，求的取值范围；（3）设Q是椭圆上一点，当时，延长与椭圆交于另一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程。解析：（1）设椭圆半焦距为c，则M（）因为，所以所以。故。（2）设，则所以当且仅当时，上式等号成立。所以。即。（3）因为，所以可设椭圆方程为因为PQAB，所以所以直线PQ的方程为代入椭圆方程，得所以因为点F1到直线PQ的距离所以。由，得故所求椭圆方程为点评：本题主要考查椭圆的定义与性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强。例14. 已知直线与双曲线交于A，B两点。（1）若以AB为直径的圆过原点，求实数a的值；（2）若A，B在双曲线的两支上，求实数a的范围。解析：由可得：由于直线与双曲线有两个交点，因此，可得：（1）设A（），B（），则即也就是所以解得（2）若A，B在双曲线的两支上，则即于是可得。点评：涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立构成方程组，消元后，得到关于x（或y）的一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解，这是常用的方法，本题就是利用这个解题方法进行求解的。例15. 过点（2，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，求AB的中点的轨迹程。解析：易知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为设A（），B（），AB的中点坐标为（x，y），则。于是相减得：那么由于所以即又由，得：由，得：k0或。又k=2x，所以x0或x0，b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（ 1，2）B. （1，2）C.2，D.（2，）3. （湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是A. B. C. D. 4. （湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是 A. B. C. D. 5. （江苏卷）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为A. B. C. D. 6. （江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是（ ）A. （2，2） B. （1，2） C.（1，2） D.（2，2）7. （江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为A. 6 B.7 C.8 D.98. （辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是A. B. C. D. 9. （江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有A. f（0）f（2）2f（1）10. （全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为A. B. C. D. 11. （四川卷）曲线在点处的切线方程是A. B. C. D. 12. （安徽卷）设，已知命题；命题，则是成立的A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件二、填空题：13. （江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点. 下面四个命题A. 的内切圆的圆心必在直线上；B. 的内切圆的圆心必在直线上；C. 的内切圆的圆心必在直线上； D. 的内切圆必通过点. 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）. 14. （山东卷）已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y12y22的最小值是 .15. （山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 . 16. （上海卷）若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 . 17. （上海卷）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.18.（湖北卷）半径为r的圆的面积S（r）r2，周长C（r）=2r，若将r看作（0，）上的变量，则（r2）2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作（0，）上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。三、解答题：19. （北京卷）已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.20. （北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1PF2，| P F1|=，| P F2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2y24x2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。21. （辽宁卷）已知点，是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足.设圆的方程为（I）证明线段是圆的直径;（II）当圆C的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。22. （北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.参考答案1. 解：椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线的焦点为（2，0），则，故选D。2. 解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C3. 解：设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，于是，由可得ax，b3y，所以x0，y0又（a，b）（x，3y），由1可得故选D4. 解析：过双曲线的左顶点（1，0）作斜率为1的直线：y=x1， 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点， 联立方程组代入消元得， ，x1x2=2x1x2，又，则B为AC中点，2x1=1x2，代入解得， b2=9，双曲线的离心率e=，选A.5. 【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设，则由，则，化简整理得 所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直，既要注意它们联系，也要注意它们的区别.6. 解：F（1，0）设A（，y0）则（ ，y0），（1，y0），由4y02，故选B7. 解：设双曲线的两个焦点分别是F1（5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|（|PF1|2）（|PF2|1）1019故选B8. 【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。9. 解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x0）（II）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：（1k2）x22kbxb2201依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则解得|k|1又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为220. 解法一：（）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2c2=4， 所以椭圆C的方程为1.（）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）. 由圆的方程为（x2）2（y1）2=5，所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k（x2）1，