不等式与函数、方程的综合运用人教

不等式与函数、方程的综合运用函数、方程、数形结合的思想在不等式中的应用连平县忠信中学不等式既是中学数学的一个重要内容，又是学好其他数学内容必须掌握的一门工具，在高考试题中出现的频率较高。其中利用均值不等式这个知识点求解范围在填空选择题中尤为突出，中档题和压轴题则与其他知识点综合而成。运用函数思想、方程思想、数形结合思想、换元思想等数学思想可以使不等式问题得到解决。一、 方程、函数思想在不等式中应用不等式、方程、函数关系十分密切因为有些不等式的一边就是函数的解析式。这样可通过函数的单调性，或者这个函数的某些性质，去对不等式证明和求解。这时不等式问题就转化成了函数问题。对于一些不等式也可化为方程问题来解决。【例1】已知求的取值范围。【解析】 设 ；，又，。【练习1】设求取值范围。【解析】设=又 ；=；又.【例2】已知，（a、b、cR），则有（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】法一：依题设有 a5bc0是实系数一元二次方程的一个实根；0 故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：10ac25ac20ac 故选(B)【点评】解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。【练习2】设都是正数，求证对任意正整数,不等式成立。【解析】因为下面不等式对任意都成立即设 恒成立，又【例3】已知实数，求与的范围。【解析】 且构造一个一元二次方程是该方程的两个不相等的根，且两根都大于。令（二次函数根的分布）则图象与轴有两个交点且都在内的充分必要条件为： 【练习3】已知，求函数的最大值和最小值。【解析】建立方程组：（两式相乘并相减） 由题意知不能同时为零，不妨设，即为关于的一元二次方程有实根；【例4】（04北京海淀4月）若，求证：。红太阳（教师用书P247）【解析】可构造函数 又系数为 对恒成立，【练习4】（04济南3月）已知正数满足且，当时，比较与的大小。【解析】设则又由知，令得于是有0（0，1）1-10+极小值0由上表可知，当时，有最小值，所以当时，从而有。【例5】（05丰台5月）设函数的图象关于原点对称,且时, 取得极小值。（1）求的值；（2）若和，求证：【解析】（1）函数的图象关于原点对称，为奇函数，即 恒成立。；时，取得极小值，。（2），令，则得-1（1，1）100当， 当、时， 【例6】（05宣武区5月，17）（本题满分13分）已知定义在上的函数满足：，当时，。（1）求证：为奇函数；（2）求证：为上的增函数；（3）解关于的不等式： 【解析】（1）因，令得，即；再令即得，为奇函数（2）设、，且，由已知得。 为上的增函数；（3）故原不等式化为： 即，又为上的增函数；，即， 当，即时，不等式的解集为 ；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为【练习5】函数在上有定义，且满足时，有。（1）求证：在上是奇函数；（2）对于数列，若，试求：； （3）求证： 【解析】（1）因，可令得，即得； 再令即得，在上为奇函数；（2），是以1为首项，2为公比的等比数列， ；（3）由（2）得 又。二、函数思想、数形结合思想在不等式中应用【例7】设函数和，已知时，恒有，求实数的取值范围。【解析】，对于恒成立。令，它表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆的上半部分；，表示斜率为，截距为的平行线系（为参变量）；时，恒有的几何意义为半圆恒在直线下方（如图）：