不等式的证明三

不等式的证明三http:/www.DearEDU.com教学目的：1 掌握分析法证明不等式；2理解分析法实质执果索因；3提高证明不等式证法灵活性教学重点：分析法教学难点：分析法实质的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正数，那么3公式的等价变形：ab，ab（）24 2（ab0），当且仅当ab时取“”号；5定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）6推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）7比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论8综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法二、讲解新课：1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2用分析法证明不等式的逻辑关系是：3分析法的思维特点是：执果索因4分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真三、讲解范例：例1 求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得 即 因为成立，所以成立即证明了说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真例2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的四、课堂练习：已知a,b,c,dR,求证:ac+bd分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd0时,显然成立(2)当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcdb2c2+a2d2即证0(bc-ad)2因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd五、小结 ：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法六、课后作业：1选择题(1)若logab为整数,且logalogalogba2,那么下列四个结论中正确的个数是（ ）a2 logab+logba=0 0ab2且|x2|2 B|x1+x2|4 C|x1+x2|0,y0,且a成立,则a的最小值是（ ）ABC2D2答案:B(5)已知a,bR+,则下列各式中成立的是（ ）Acos2lga+sin2lgblg(a+b)Cacos2bsin2=a+b Dacos2bsin2a+b答案:A(6)设a,bR+,且ab-a-b1,则有（ ）Aa+b2(+1) Ba+b+1 Ca+b(+1)2 Da+b2(+1)答案:A2用分析法证明:3(1+a2+a4)(1+a+a2)2证明:要证3(1+a2+a4)(1+a+a2)2只需证3(1+a2)2-a2(1+a+a2)2即证3(1+a2+a)(1+a2-a)(1+a+a2)21+a+a2=(a+)2+0只需证3(1+a2-a)1+a+a2展开得2-4a+2a20即2(1-a)20成立故3(1+a2+a4)(1+a+a2)2成立3用分析法证明:ab+cd证明:当ab+cd0时,ab+cd16+2即24+2只需证(2)2(4+2)2即4这显然成立故成立(2)欲证(x4)只需证(x4)即证(x4)展开得2x-5+2即只需证22即证x2-5x+4x2-5x+6即40,2ca+b,求证:(1)c2ab（2）c-ac+证明:（1）ab()2c2abc2（2）欲证c-ac+只需证-a-c即|a-c|即a2-2ac+c2c2-ab只需证a(a+b)0,只要证a+b2c(已知)故原不等式成立6已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0,有两个实数根,证明:(1)如果|2,|2,那么2|4+