数学建模期末复习综合练习参考解答.doc

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数学建模期末复习综合练习参考解答填空题参考答案1. 分析 根据欧拉一笔画判定原理即知一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是图中奇数顶点个数是0或2.应该填写：图中奇数顶点个数是0或22. 分析 现在手中的元钱存银行期就可以变成元.显然有这里的称为货币的现值，亦即期末的元相当于现在的元.于是将给定的数据代入上式得现值约40.1876万元.应该填写：约40.18763. 分析 冰淇淋销量:与参加展览会的人数成正比；与气温超过的度数成正比；与冰淇淋的售价成反比.由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 是比例常数. 应该填写： 是比例常数4. 分析 本例要求从返回到，但奇点个数有8个，邮递员肯定是要重复走某些街路的。容易判断选择在相邻奇点处加边使所有点均为偶点，则所有边的权和最小。横向（含加边）的权和为134+12=14 (km)；纵向（含加边）的权和为234+22=28 (km)则他至少要走42km应该填写：425 分析 增长率为的线性的减函数，因为时增长率应为零，由此确定，那么人口增长模型修改为人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为，其解为应该填写：6 分析 选择总需时少的队是快队。队1总需时，队2总需时队1快的条件是.应该填写：7分析 这里的100元应理解为食品和饮料费用的上限：；食品至少要花掉40%：；饮料起码要花30元：用和列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是应该填写：8分析 由平衡原理，有，可导出且初始条件为，其解为应该填写：9分析 若本金为，利率为，期数为，则到期末，本利和为其中的即为货币的终值.亦即元到期末就变成了元了.于是将给定的数据代入上式得终值约=32.5779(万元).应该填写：32.5779万元10 分析 注意到确定性且不允许缺货的存储问题有定论：若最佳进货周期和最佳进货量分别用表示，则有存储论中著名的经济订购批量公式 其中， R为每天的商品平均销售量，为进货一次的手续费，为单位商品的存储费/天。于是将给定的数据代入上式即可获得答案为20（天）和2000（件）。应该填写：20（天） 2000（件）11 分析 由最小树的概念知：一个连通图的最小树是经过该图所有顶点且总赋权数最小的一个树形图.应该填写：顶点且总赋权数最小12 分析因为质量为的物体自由下落过程中除受重力作用之外，还受到与下落速度成正比空气阻力的作用，则由牛顿第二定律得,即物体下落过程的数学模型是应该填写：13 分析由距离速度时间得在一秒时间间隔内鱼所移动的距离为1 (距离单位)；而由题设得在一秒时间间隔内鱼所移动的距离为(距离单位),这里是鱼尾每摆动一次鱼所移动的距离与鱼身的长度相等的修正系数.于是鱼尾摆动的次数（次/秒）、鱼身的长度和它的速度的关系式为 .应该填写：（k是常数）14分析所谓数学建模的五步建模法是指按一般顺序建模的五个基本步骤: 问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析15 分析 注意到均衡价格公式而代入计算便得到50. 应该填写：5016 分析 利用运输问题的解法简单运算即知：最优运输方案不唯一；总运费均相等应该填写：最优运输方案不唯一；总运费均相等17 分析 本题属于货币的时间价值内容中的年金的现值问题（分期付款问题），立刻得到计算公式为（每月月底还款） 其中A为每月的还款金额，月息R=0.5625%，还款期数=60，由此便可推得A = 3936.69元。应该填写：3936.69元 18分析 精粗一看，似乎会感到条件不够无法回答，但你只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到预定会合点，又从预定会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到预定会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达预定会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。应该填写：25分析判断题参考答案1解 饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、羊制品及其深加工等. 2 解 （1）更换自来水龙头及其费用、节约下来水费两个因素，两者的比较可用于确定建模目标； （2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量的、定时定量供水的可行性调查；临时申请用水问题等因素3解 撤离时人员的分布状态、人员总数、撤离速度、人们之间相对拥挤程度、人员所在地与安全地点的距离、人员撤离完毕所需要的总时间等.4 解 设为时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为其通解是而就是所求量. 由题设可知故有 和 由此解得 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 5 解 可以转化为运输模型，具体做法如下：首先确定总的供求量. 总产量显然为160吨；总需求量中，地区丁的需求量在保证其他地区最低需求条件下，最多是60吨因此，总需求量按最高需求应为210吨，因而可视问题为供小于求的运输问题 其次，为产销平衡，虚设一个水库D，其产量为50吨 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的地区分别视为两个子区，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设水库供给，从而可设其引水费M（M是一个充分大的正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下： 表2 单位：元/千吨地区引水费水库甲1 甲2 乙 丙 丁1 丁2产 量ABCD(虚)16 16 13 22 17 1714 14 13 19 15 1519 19 20 23 M MM 0 M 0 M 050605050销 量30 20 70 30 10 506解 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.于是令为从2000年起计算的年后患者的人数，可得到递推关系模型：得递推公式由可以算出2005年时的患者数人.由递推公式容易看出，故结论正确.7 解 穿高跟鞋后新的比值应为 令 ， 由此可知 8解 以地球中心为原点，向上方向为纵轴建立直角坐标系从地球表面算起，设应站高度为，那么根据题设，该点到地球表面的切线长应为 则依据题意，并利用勾股定理有，解得. 也可以利用切割线定理求出9 解若视该路线图中各街路交点为顶点，相连接街路为边，邮路就成为一个赋权无向图。从而只要该图能一笔画出，则其总长就是最短的。本例要求从D返回到D，但奇点个数有8个，邮递员肯定是要重复走某些街路的。选择在奇点处加边使所有点均为偶点，同时所加边的权和最小。容易计算加边的方案最好。（1）邮递员要走2+3+2+2+4+3+1+3+2+3+3+3+3+2+1+3+4+3+2+3=52km路程；（2）建议邮递员行走的一条路线为（不是唯一的）。( 如果改为邮递员从邮局出发走遍所有街路后再返回邮局，如何分析解答? )10 解 稍加考虑并注意生活常识便知，问题与盘子、水和温度这三个实体直接相关，从而可以给出以下因素：洗涤剂水的温度、周围环境的温度、盘子的温度、洗涤剂水的量、盘子尺寸的大小、每次放入水中的盘子数、水的初始温度、终了温度、水是否流动、空气是否有对流11 解 根号下表达式较繁，可以在假设很大情形下，略去第一项，从而得到y =exp(x).又若便可以写成更为简洁的形式；如果（很小，则可以略去原式第二项而写成 12 解 可以转化为运输模型，具体做法如下： 首先确定总的产销量. 总产量显然为12000件；总需求量中，客户3的需求量在保证已承诺给客户1和2的供给量7000件条件下，最多是5000件，而客户4则最多可得4000件因此，总需求量按最高需求应为16000件，因而可视问题为供小于求的运输问题 其次，为产销平衡，虚设一个工厂4，其产量为4000件 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的客户分别视为两个客户，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设工厂供给，从而可设其利润值是-M（M是一个充分大的正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下： 表2 单位：元/件 客户利润工厂1 2 3 3 4供给量123 465 63 62 62 6468 67 65 65 6263 60 59 59 60 -M -M -M 0 03000500040004000 需 求 量 4000 3000 1000 4000 4000 13 解（1）因为可行域的右上方无界，故将出现目标函数趋于无穷大的情形，结果是问题具有无界解； （2）将最优解代入约束条件可知第二个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式。这说明，铁和钙的摄入量达标，而蛋白质的摄入量超最低标准18个单位。 14 解设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路，马路的宽度是要考虑的。黄灯亮的时间长度应保证距路口不足制动距离的车辆能通过马路。因而黄灯亮的时间长度应该考虑的相关因素有：（）司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间即司机的反应灵敏程度；（）刹车制动后车辆驶过的路程；（）此街道的行驶速度；（）马路的宽度；（）不同的路面状况；（）不同的车重；（）天气情况。(至少列出三种，少一种扣三分)15 解1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益； 2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等；3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料；4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型16 解（1）车流的密度；（2）车的行驶速度； （3）道路的宽度； （4）行人穿越马路的速度；（5）设置斑马线地点的两侧视野等。 （注意：最少写出3个因素。每少写对一个因素扣3分）计算题参考答案1 解 本题属于产销平衡的运输问题模型。 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表2，表2运价 销地产地 B1 B2 B3 B4产量15A1A2A3 3 5 2 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25销量 10 20 15 15 （2）使用闭回路法可得负检验数为= -1，故令进基 （3）使用闭回路法进行调整知出基，便得新的运输方案如表3 表3运价 销地产地 B1 B2 B3 B4产量A1A2A3 3 5 2 9 15 4 7 5 12 6 9 10 11 20 15 25销量 10 20 15 152 牛顿冷却定律指出,当系统与环境的温度差(不超过1015)不大时,系统温度的变化率与系统温度和环境温度之差成正比,其数学表达式为，其中为系统温度，为环境温度，为客观时间，为散热系数，散热系数只与系统本身有关解一个正常人在一般的温度环境下，受大脑神经中枢的调节，其体温能维持在37 ，但死亡后其体温调节功能立即丧失，于是逐渐冷却。（）以20:30作为时间坐标的起始点，记为，而在时刻，被害者的体温为，根据牛顿冷却定律，在时间段内，有分离变量并积分得由可确定，又由得可确定于是当时,由上式可解得时时分；于是被害人的死亡时间约为时分时分时分即被害人的死亡时间约为在18:04，因此不能从时间上排除郑某的作案嫌疑。（）已知,代入,解得时时分；于是被害人的死亡时间约为时分时分时分即被害人的死亡时间约为17:05，因此能从时间上排除郑某的作案可能性。3解本题是选自文字教材的练习题，由于其求解大家都比较熟悉，这里不再赘述而只是做简单的提示和必要的说明。本题属于决策树模型，且为两阶段决策模型。其一般做法是：先从左至右画出决策树，并将题目中有关数据标于决策树上，然后利用期望值法从右至左计算各个状态节点和决策节点的期望值，依据期望值的大小进行遴选和剪枝，从而最后给出决策结果。注意它是文字教材上的习题，这里仅作关键性说明。 首先，建立决策树模型如图.ACBDB高水位 0.25高水位 0.25洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000 图 其次，使用期望值法计算过程见图.ACBDB高水位 0.25高水位 0.25洪水 0.02洪水 0.02筑堤不筑堤搬走不搬走-1800-500-60500-10000-60000-1800-1335-1335-3700 图 最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元。4 解以开始下雪时刻为时间坐标的原点，4:00对应时刻是；由于下雪速度是均匀的，所以在时刻时积雪厚度为 ；设路面宽度为 ,铲雪车的工作效率为 .设在时间段所铲雪的体积为，则其推进的距离为由题设，可得 及 即 及 于是 2 即4:00对应的时刻是37.08分=37分4.8秒.故这场雪大约是从3点22分55秒开始下的5 解 由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图5-2）： 图5-2 v1v2v3v4v6v5v8v7v943243425故得架设路线为:总架线长度为27km，故总架设费用为 （万元）6解 本题属于图模型中较为简单的最短路问题。为使用图方法求解，首先要建立其图模型，然后才能使用相应的解法求解之；求解方法则是Dijkstra的双标号法；获得固定标号之后再进行逆向搜索即可得到从厂家A到目的地的最佳运输路线；最后要给出其最小费用值。24AB2B3B1D2D1C2C3C1E333247445146333461首先建立图模型如图6-1。图6-1 其次，利用双标号法求最短路线过程如图6-2.32324744514633461433AB2B3B1D2D1C2C3C1E11196 010 图6-2 最后，利用逆向搜索法可得最优运输方案为 方案1 方案2 方案3 （ 注意：少给一个方案扣2分。）7 解 本题属于简单的线性规划模型问题. 根据题设，设购买两种食品分别为（kg），则有总花费数额函数，自然我们希望求出这样的取值，使得函数取最小值。可以写为.又根据营养最低要求，应有蛋白质需求条件： 钙的需求条件： 400， 热量的需求条件： 非负性条件： 将上述条件合在一起，即可获得本问题的线性规划模型如下：102342134x2x1图-3 利用图解法易于得到其最优解为即食品A购买(kg)，B购买(kg)，最低花费102342134x2x1图-4元（见图-3）。由此可回答所提问题：（1）最优解与最优目标值如上所述，最优方案无选择余地，因为最优解点是在后两个约束条件直线的交点上，而不是在可行域的某条边界线段上。（2）钙和热量需求得到满足（最低量），蛋白质需求超最低标准个单位。以上结论是将最优解代入各个约束条件得到的。若限制蛋白质摄入量不超过100单位，则第一个约束条件应修改为 在原来的求解图上加上条件则可见可行域不存在（见图-4），故无解。 蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅莈蚇肈莃莈螀袁艿莇袂肆膅莆薂衿肁蒅蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆肃节蒃蚈袅膈蒂螁膁肄蒁袃羄莂蒀薃螇芈葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蒇羀羆薇蕿螃莅薆螁罿芁薅袄袁膇薄薃肇肃薃蚆袀莂薂螈肅芈蚁袀袈膄蚁薀肄肀芇蚂袆羆芆袅膂莄芅薄羅芀芄蚇膀膆芄蝿羃肂芃袁螆莁莂薁羁芇莁蚃螄膃莀螅羀聿荿薅螂肅