湖南名校高三数学联考

2006年湖南名校高三数学联考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若命题P：xAB,则P是 ( ) A、xAB B、xA或xBC、xA且xB D、xAB2两名教师与五名学生排成一排照相，则恰有三名学生排在两名教师之间的概率为A、 B、 C、 D、3tan1,sin2,cot3的大小顺序是 ( )A、sin2tan1cot3 B、cot3sin2tan1C、cot3tan1sin2 D、tan1cot3sin2 4 平面直角坐标系中, O为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3), 若点C满足=, 其中、R且+=1, 则点C的轨迹方程为 ( )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 5已知函数f(x)=a-a+6的反函数f(x)的图象经过点（5，2），且在区间（，+）上恒有f(x)0，则实数a的值是 ( )A、2 B、 C、2或 D、不存在6七个人坐成一排，现在要调换三个人的位置，其余四个人的位置不动，不同的调换方法种数为 ( ) A、70 B、170 C、210 D、567现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B底面积均为，高分别为，C、D的底面积均为，高分别为（其中b）.现规定一种游戏规则：每人一次同时从四个容器中取两个，盛水多者为胜.某人说他一定能胜，但他要先拿，则他拿的两个容器一定是 ( ) A、AD B、AC C、BC D、BD8有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积最大值为 ( ) A、a B、2a C、3a D、4a9把直线x-2y+m=0向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，与圆C:x2+y2+2x-4y=0相切，则实数m的值是 （ ）A. 13或3B.13或-3 C.13或3 D.-13或-310一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是 ( )AP(3)=3 BP(5)=1 CP(101)=21 D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中的横线上.11、若A是ABC的一个内角，且sinA+cosA=,则= .12、已知（a+）展开式中a的系数是210，则常数b的值为 .13、以两条直线x+y-3=0与2x+y4=0的交点为圆心，且截直线3x+4y+4=0所得弦长为8的圆的方程是 .14、已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于 .15、设是函数的一个减区间，则实数a的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）等比数列a同时满足下列三个条件：aa三个数4a依次成等差数列.（1）试求数列a的通项公式；（2）记，求数列b的前n项和T;17(本小题满分12分)已知（1）求的值； （2）求的最小值18、（本小题满分14分）有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球，若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率. 19、（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为的重心（1）求证：；（2）若二面角CABD的大小为，求点C1到平面A1B1D的距离；（3）若点C在上的射影正好为M，试判断点C1在的射影是否 为N？并说明理由20.（本小题满分4分）设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a1）（1）求导数f/（x），并证明f（x）有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f（x1）+f（x2）0成立，求a的取值范围.21、（本小题满分14分）已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0（1） 若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程。（2） 从圆C外一点P（x,y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标。参考答案一、C D B D B A A B C D 二、11 12. 13. 14. 15.三、16解：（1）由 得或a()当a时,4a+a=16,4a=16,所以4a,2a,a成等差数列.当a()时，4a，舍去.所以数列a的通项公式为a（2）因为b所以T ,-得：所以T17解：原式= 5分（2） 8分令（当且仅当t=1即时取等号）的最小值为 12分18记事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A的球，事件B：从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，事件C：从第二个盒子中取得一个红球，事件D：从第三个盒子中取得一个红球.则试验成功的事件为,由,及互斥，A与C相互独立，B与D也相互独立，得答：本次试验成功的概率为 14分19解：（1）连结并延长，分别交于，连结，分别为的重心，则分别为的中点在直三棱柱中，（2）连结即为二面角的平面角在中，PQ 连结同上可知，设PQCC1DNM（3） .（另解）9(B)空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。（1） 设，依题意有： 因为M、N分别为的重心所以 5分（2） 因为平面ABC的法向量， 设平面ABD的法 向量 令，设二面角CABD为，则由因此 设平面A1B1D的法向量为，则设C1到平面A1B1D的距离为，则 .10分（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则 即（舍） 因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。.14分20解：(1)f/(x)=3x2-2(1+a)x+a令f/(x)=0得方程3x2-2(1+a)x+a=0因=4(a2-a+1)4a0故方程有个不同实根x1,x2.不妨设X1x2由f/(x)=3(x-x1)(x-x2)可知f/(x)符号如下:当x0, 当x1xx2f/(x)x2,f/(x)0因此x1是极大值点,x2是极小值点. 7分(2)因f(x)+f(x)0,故得不等式x13+x23-(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2) 0即(x1+x2)【(x1+x2)2-3x1x2】-(1+a)【(x1x2)-2x1x2】+a(x1+x2) 0又 由(1)x1+x2=(1+a),x1x2=代入上式,两边除1+a,并化简可得:2a2-5a+20解之得:a2或a(舍去)当a2时,不等式f(x1)+f(x2) 0成立 .14分21解：圆C: ，圆心为C（1，2），半径为.(1) 若切线过原点，其方程可设为 ，于是有，解之得，此时切线方程为若切线不过原点