2015年高考全国卷1理科数学(解析版).doc

注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷1至3页 第 卷3至5页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设复数z满足 i 则 z A 1 B C D 2 答案 A 考点 1 复数的运算 2 复数的模 2 sin20 cos10 con160 sin10 A B C D 答案 D 解析 试题分析 原式 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 故选D 考点 诱导公式 两角和与差的正余弦公式 3 设命题P nN 则P为 A nN B nN C nN D nN 答案 C 解析 试题分析 故选C 考点 特称命题的否定 4 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648 B 0 432 C 0 36 D 0 312 答案 A 解析 试题分析 根据独立重复试验公式得 该同学通过测试的概率为 0 648 故选A 考点 独立重复试验 互斥事件和概率公式 5 已知M x0 y0 是双曲线C 上的一点 F1 F2是C上的两个焦点 若 0 则y0的取值范围是 A B C D 答案 A 考点 向量数量积 双曲线的标准方程 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧度为8尺 米堆的高为5尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知1斛米的体积约为1 62立方尺 圆周率约为3 估算出堆放斛的米约有 A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛 答案 B 考点 圆锥的体积公式 7 设D为 ABC所在平面内一点 则 A B C D 答案 A 解析 试题分析 由题知 故选A 考点 平面向量运算 8 函数 的部分图像如图所示 则的单调递减区间为 A k 14 k 34 k z b 2k 14 2k 34 k z C k 14 k 34 k z D 2k 14 2k 34 k z 答案 D 解析 试题分析 由五点作图知 解得 所以 令 解得 故单调减区间为 故选D 考点 三角函数图像与性质 9 执行右面的程序框图 如果输入的t 0 01 则输出的n A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 试题分析 执行第1次 t 0 01 S 1 n 0 m 0 5 S S m 0 5 0 25 n 1 S 0 5 t 0 01 是 循环 执行第2次 S S m 0 25 0 125 n 2 S 0 25 t 0 01 是 循环 执行第3次 S S m 0 125 0 0625 n 3 S 0 125 t 0 01 是 循环 执行第4次 S S m 0 0625 0 03125 n 4 S 0 0625 t 0 01 是 循环 执行第5次 S S m 0 03125 0 015625 n 5 S 0 03125 t 0 01 是 循环 执行第6次 S S m 0 015625 0 0078125 n 6 S 0 015625 t 0 01 是 循环 执行第7次 S S m 0 0078125 0 00390625 n 7 S 0 0078125 t 0 01 否 输出n 7 故选C 考点 程序框图 10 的展开式中 的系数为 A 10 B 20 C 30 D 60 答案 C 解析 试题分析 在的5个因式中 2个取因式中剩余的3个因式中1个取 其余因式取y 故的系数为 30 故选 C 考点 排列组合 二项式定理 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为16 20 则r A 1 B 2 C 4 D 8 答案 B 考点 简单几何体的三视图 球的表面积公式 圆柱的测面积公式 12 设函数 其中a1 若存在唯一的整数x0 使得0 则的取值范围是 A 32e 1 B 32e 34 C 32e 34 D 32e 1 答案 D 解析 试题分析 设 由题知存在唯一的整数 使得在直线的下方 因为 所以当时 0 当时 0 所以当时 当时 1 直线恒过 1 0 斜率且 故 且 解得 1 故选D 考点 导数的综合应用 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题未选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共3小题 每小题5分 13 若函数f x xln x 为偶函数 则a 答案 1 考点 函数的奇偶性 14 一个圆经过椭圆的三个顶点 且圆心在x轴上 则该圆的标准方程为 答案 解析 试题分析 设圆心为 0 则半径为 则 解得 故圆的方程为 考点 椭圆的几何性质 圆的标准方程 15 若x y满足约束条件 则的最大值为 答案 3 解析 试题分析 作出可行域如图中阴影部分所示 由斜率的意义知 是可行域内一点与原点连线的斜率 由图可知 点A 1 3 与原点连线的斜率最大 故的最大值为3 考点 线性规划解法 16 在平面四边形ABCD中 A B C 75 BC 2 则AB的取值范围是 答案 解析 试题分析 如图所示 延长BA CD交于E 平移AD 当A与D重合与E点时 AB最长 在 BCE中 B C 75 E 30 BC 2 由正弦定理可得 即 解得 平移AD 当D与C重合时 AB最短 此时与AB交于F 在 BCF中 B BFC 75 FCB 30 由正弦定理知 即 解得BF 所以AB的取值范围为 考点 正余弦定理 数形结合思想 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 为数列 的前n项和 已知 0 求 的通项公式 设bn 1anan 1 求数列 bn 的前n项和 答案 解析 试题分析 先用数列第n项与前n项和的关系求出数列 的递推公式 可以判断数列 是等差数列 利用等差数列的通项公式即可写出数列 的通项公式 根据 数列 的通项公式 再用拆项消去法求其前n项和 试题解析 当时 因为 所以 3 当时 即 因为 所以 2 所以数列 是首项为3 公差为2的等差数列 所以 由 知 所以数列 前n项和为 考点 数列前n项和与第n项的关系 等差数列定义与通项公式 拆项消去法 18 如图 四边形ABCD为菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 证明 平面AEC 平面AFC 2 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 答案 见解析 EG FG AC FG G EG 平面AFC EG面AEC 平面AFC 平面AEC 6分 如图 以G为坐标原点 分别以的方向为轴 y轴正方向 为单位长度 建立空间直角坐标系G xyz 由 可得A 0 0 E 1 0 F 1 0 C 0 0 1 1 10分 故 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 12分 考点 空间垂直判定与性质 异面直线所成角的计算 空间想象能力 推理论证能力 19 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的年宣传费x1和年销售量y1 i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 46 6 56 3 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中w1 1 根据散点图判断 y a bx与y c d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方程 已知这种产品的年利率z与x y的关系为z 0 2y x 根据 的结果回答下列问题 i 年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 ii 年宣传费x为何值时 年利率的预报值最大 附 对于一组数据 其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 答案 适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型 46 24 关于的回归方程为 6分 考点 非线性拟合 线性回归方程求法 利用回归方程进行预报预测 应用意识 20 本小题满分12分 在直角坐标系xoy中 曲线C y 与直线 0 交与M N两点 当k 0时 分别求C在点M和N处的切线方程 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有 OPM OPN 说明理由 答案 或 存在 解析 试题分析 先求出M N的坐标 再利用导数求出M N 先作出判定 再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程 设出M N的坐标和P点坐标 利用设而不求思想 将直线PM PN的斜率之和用表示出来 利用直线PM PN的斜率为0 即可求出关系 从而找出适合条件的P点坐标 试题解析 由题设可得 或 故在 处的到数值为 C在处的切线方程为 即 故在 处的到数值为 C在处的切线方程为 即 故所求切线方程为或 5分 存在符合题意的点 证明如下 设P 0 b 为复合题意得点 直线PM PN的斜率分别为 将代入C得方程整理得 当时 有 0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以符合题意 12分 考点 抛物线的切线 直线与抛物线位置关系 探索新问题 运算求解能力 21 本小题满分12分 已知函数f x 当a为何值时 x轴为曲线 的切线 用 表示m n中的最小值 设函数 讨论h x 零点的个数 答案 当或时 由一个零点 当或时 有两个零点 当时 有三个零点 解析 试题分析 先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组 解出切点坐标与对应的值 根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数 若零点不容易求解 则对再分类讨论 试题解析 设曲线与轴相切于点 则 即 解得 因此 当时 轴是曲线的切线 5分 当时 从而 在 1 无零点 当 1时 若 则 故 1是的零点 若 则 故 1不是的零点 当时 所以只需考虑在 0 1 的零点个数 若或 则在 0 1 无零点 故在 0 1 单调 而 所以当时 在 0 1 有一个零点 当0时 在 0 1 无零点 若 则在 0 单调递减 在 1 单调递增 故当 时 取的最小值 最小值为 若 0 即 0 在 0 1 无零点 若 0 即 则在 0 1 有唯一零点 若 0 即 由于 所以当时 在 0 1 有两个零点 当时 在 0 1 有一个零点 10分 综上 当或时 由一个零点 当或时 有两个零点 当时 有三个零点 12分 考点 利用导数研究曲线的切线 对新概念的理解 分段函数的零点 分类整合思想 请考生在 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做第一个题目计分 做答时 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 本题满分10分 选修4 1 几何证明选讲 如图 AB是O的直径 AC是O的切线 BC交O于E I 若D为AC的中点 证明 DE是O的切线 若 求 ACB的大小 答案 见解析 60 考点 圆的切线判定与性质 圆周角定理 直角三角形射影定理 23 本小题满分10分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 直线 2 圆 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 I 求 的极坐标方程 II 若直线的极坐标方程为 设与的交点为 求的面积 答案 解析 试题分析 用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 的极坐标方程 将将代入即可求出 MN 利用三角形面积公式即可求出的面积 试题解析 因为 的极坐标方程为 的极坐标方程为 5分 将代入 得 解得 MN 因