河南省周口市沈丘县2015-2016学年高二下期中数学试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年河南省周口市沈丘县高二（下）期中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设 i 是虚数单位，那么复数（ 1 i） i 等于（ ） A 1+i B 1+i C 1 i D 1 i 2已知不等式 |x | 的解集为 M，不等式 4x 0 的解集为 N，则 MN=（ ） A（ 0， 2 B 1， 0） C 2， 4） D 1， 4） 3在 ， E， F 分别为 中点，则有 个命题的大前提为（ ） A三角形的中位线平行于第三边 B三角形的中位线等于第三边的一半 C 中位线 D 已知某回归方程为： =2 3 ，则当解释变量增加 1 个单位时，预报变量平均：（ ） A增加 3 个单位 B增加 个单位 C减少 3 个单位 D减少 个单位 5用反证法证明命题 “设 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A方程 x2+ax+b=0 没有实根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 6已知 a， b 为正实数，函数 y=2b 的图象经过点（ O， 1），则 的最小值为（ ） A 3+2 B 3 2 C 4 D 2 7当 n=3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 2 页（共 15 页） A 30 B 14 C 8 D 6 8已知数列 前 n 项和为 ， Sn=nN*），可归纳猜想出 表达式为（ ） A B C D 9已知 是复数 z 的共轭复数， z+ +z =0，则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 10已知关于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，则实数 a 的最小值为（ ） A B 1 C 2 D 11设 a b c， nN，且 恒成立，则 n 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 12用数学归纳法证明： 1+2+22+2n 1=2n 1（ nN）的过程中，第二步假设当 n=k 时等式成立，则当 n=k+1 时应 得到（ ） A 1+2+22+2k 2+2k+1 1 B 1+2+22+2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设 a， b 是实数，若 =a+i 是虚数单位），则 a+b 的值是 14从 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推广到第 15若关于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解，则实数 a 的取值范围是： 16设 a， bR+，现有下列命题： 第 3 页（共 15 页） 若 ，则 a b 1； 若 ，则 a b 1； 若 ，则 |a b| 1； 若 |1，则 |a b| 1 其中正确命题的序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤） 17选修 4 5：不等式选讲 设 f（ x） =|x+1|+|x 3| （ 1）解不等式 f（ x） 3x+4； （ 2）若不等式 f（ x） m 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 18已知 a 0， b 0，证明 + a+b 19已知复数 z=（ 8m+15） +（ 9m+18） i 在复平面内表示的点为 A，实数 m 取什么值时： （ 1） z 为实数？ （ 2） z 为纯虚数？ （ 3） A 位于第 三象限？ 20某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取 20 名学生，其中 8 名女生中有 3 名报考理科，男生中有 2 名报考文科 （ 1）是根据以上信息，写出 22 列联表； （ 2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？ 参考公式 P（ K2 21某种产品的广告费用支出 与销售额之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）画出散点图，并说明销售额 y 与广告费用支出 x 之间是正相关还是负相关？ （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ，求出回归直线方程 （ 3）据此估计广告费用为 10 时，销售收入 y 的值 22已知关于 x 的方程： 6+i） x+9+（ aR）有实数根 b （ 1）求实数 a， b 的值 第 4 页（共 15 页） （ 2）若复数 z 满足 | a 2|z|=0，求 z 为何值时， |z|有最小值，并求出 |z|的最小值 第 5 页（共 15 页） 2015年河南省周口市沈丘县高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设 i 是虚数单位，那么复数（ 1 i） i 等于（ ） A 1+i B 1+i C 1 i D 1 i 【考点】 复数代数形式的 乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算求解 【解答】 解：（ 1 i） i=i +i 故选： B 2已知不等式 |x | 的解集为 M，不等式 4x 0 的解集为 N，则 MN=（ ） A（ 0， 2 B 1， 0） C 2， 4） D 1， 4） 【考点】 一元二次不等式的解法；交集及其运算 【分析】 化简不等式，求出集合 M、 N，再求 MN 【解答】 解：不等式 |x | 可化为 x ， 解得 1x2， 所以 M= 1， 2； 不等式 4x 0 可化为 x（ x 4） 0， 解得 0 x 4， 所以 N=（ 0， 4）； 则 MN= 1， 2（ 0， 4） =（ 0， 2 故选： A 3在 ， E， F 分别为 中点，则有 个命题的大前提为（ ） A三角形的中位线平行于第三边 B三角形的中位线等于第三边的一半 C 中位线 D 考点】 演绎推理的基本方法 【分析】 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的 “三角形的中位线平行于第三边 ” 【解答】 解：本题的推理过程形式是三段论， 其大前提是一个一般的结论， 即三角形中位线定理， 故选： A 第 6 页（共 15 页） 4已知某回归方程为： =2 3 ，则当解释变量增加 1 个单位时，预报变量平均：（ ） A增加 3 个单位 B增加 个单位 C减少 3 个单位 D减少 个单位 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归方程中解释变量的系数 3 进行判断 【解答】 解：自变量 为解释变量， 为预报变量 =2 3 ， 当解释变量 增加 1 个单位时，预报变量 减少 3 个单位 故选 C 5用反证法证明命题 “设 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A方程 x2+ax+b=0 没有实根 B方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 直接利用命题的否定写出假设即可 【解答】 解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 用反证法证明命题 “设 a， b 为实数，则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要做的假设是方程 x2+ax+b=0 没有实根 故选： A 6已知 a， b 为正实数，函数 y=2b 的图象经过点（ O， 1），则 的最小值为（ ） A 3+2 B 3 2 C 4 D 2 【考点】 基本不等式；指数函数的单调性与特殊点 【分析】 将点（ O， 1）的坐标代入 y=2b，得到 a， b 的关系式，再应用基本不等式即可 【解答】 解： 函数 y=2b 的图象经过点（ O， 1）， 1=2ae0+b，即 2a+b=1（ a 0， b 0） =（ ） 1=（ ） （ 2a+b） =（ 2+1+ + ） 3+2 （当且仅当 b= a= 1 时取到 “=”） 故选 A 7当 n=3 时，执行如图所示的程 序框图，输出的 S 值为（ ） 第 7 页（共 15 页） A 30 B 14 C 8 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， K 的值，当 K=4 时，不满足条件 kn，退出循环，输出 S 的值为 14 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 n=3， K=1， S=0 满足条件 kn， S=2， K=2 满足条件 kn， S=6， K=3 满足条件 kn， S=14， K=4 不满足条件 kn，退出循环，输出 S 的值为 14 故选： B 8已知数列 前 n 项和为 ， Sn=nN*），可归纳猜想出 表达式为（ ） A B C D 【考点】 数列的求和；归纳推理 【分析】 数列 ，前 n 项和为 ， Sn=nN*），可得 得 值，从而得 理可得 可以猜想： ，本题不需要证明 【解答】 解：在数列 ，前 n 项和为 ， Sn=nN*）， s1= ； + ， = ； + + ， = ； + + +6 ， = ； 于是猜想： 故选 A 第 8 页（共 15 页） 9已知 是复数 z 的共轭复数， z+ +z =0，则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【考点】 轨迹方程 【分析】 设出复数 z 的代数形式，代入 z+ +z =0，整理后即可得到答案 【解答】 解：设 z=x+x， yR）， 则 ， 代入 z+ +z =0，得： ， 即 x2+x=0 整理得：（ x+1） 2+ 复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是圆 故选： A 10已知关于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，则实数 a 的最小值为（ ） A B 1 C 2 D 【考点】 函数恒成立问题；基本不等式 【分析】 关于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立，即求（ 2x+ ） ，将不等式 2x+ 配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得 a 的最小值 【解答】 解： 关于 x 的不等式 2x+ 7 在 x（ a， +）上恒成立， （ 2x+ ） ， x a， y=2x+ =2（ x a） + +2a +2a=4+2a，当且仅当，即 x=a+1 时取等号， （ 2x+ ） +2a， 4+2a7，解得， a ， 实数 a 的最小值为 故选 A 11设 a b c， nN，且 恒成立，则 n 的最大值是（ ） 第 9 页（共 15 页） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 不等式的证明 【分析】 分离参数 n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值 【解答】 解： + 恒成立， + 恒成立 + 的最小值 + = + =2+ + 4 得 ， n2， 故选： A 12用数学归纳法证明： 1+2+22+2n 1=2n 1（ nN）的过程中，第二步假设当 n=k 时等式成立，则当 n=k+1 时应得到（ ） A 1+2+22+2k 2+2k+1 1 B 1+2+22+2k+2k+1=2k 1+2k+1 C 1+2+22+2k 1+2k+1=2k+1 1 D 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 【考点】 数学归纳法 【分析】 只要将 n=k+1 代入式子： 1+2+22+2n 1=2n 1 中即可，注意左边中最后一项是 2k 【解答】 解： 将式子： 1+2+22+2n 1=2n 1 中 n 用 k+1 替换得： 当 n=k+1 时，有 1+2+22+2k 1+2k=2k 1+2k 故选 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设 a， b 是实数，若 =a+i 是虚数单位），则 a+b 的值是 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简后再由复数相等的条件 求得 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： = =a+ a=1， b=1， 则 a+b=2 故答案为： 2 14从 1=1， 1 4=（ 1+2）， 1 4+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，推广到第 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 【考点】 归纳推理 第 10 页（共 15 页） 【分析】 本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为 ，由 1=1， 1 4=（ 1+2）， 14+9=1+2+3， 1 4+9 16=（ 1+2+3+4）， ，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案 【解答】 解： 1=1=（ 1） 1+11 1 4=（ 1+2） =（ 1） 2+1（ 1+2） 1 4+9=1+2+3=（ 1） 3+1（ 1+2+3） 1 4+9 16=（ 1+2+3+4） =（ 1） 4+1（ 1+2+3+4） 所以猜想： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 故答案为： 1 4+9 16+（ 1） n+1 1） n+1（ 1+2+3+n） 15若关于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解，则实数 a 的取值范围是： （ 0， 2 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】 根据绝对值的几何意义，我们易分析出 |x+3| |x+2|表示数轴上的 x 到 2 和 3 的距离之和，求出 |x+3| |x+2|的最小值后，即可得到实数 a 的取值范围 【解答】 解：于 x 的不等式 |x+3| |x+2|解， |x+3| |x+2|表示数轴上的 x 到 3 和 2 的距离之差，其最小值等 于 1，最大值是 1， 由题意 ， 0 a2 故答案为：（ 0， 2 16设 a， bR+，现有下列命题： 若 ，则 a b 1； 若 ，则 a b 1； 若 ，则 |a b| 1； 若 |1，则 |a b| 1 其中正确命题的序号为 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用不等式的基本性质即可判断出 【解答】 解：由于 a， bR+，可得： ， 0 a b a+b， a b= 1； 若 ，则 0 b a，取 a=10，则 b= ，于是 a b= ，因此不正确； 若 ，则 |a b|= = ，因此不正确； 若 |1，而 |a b| a+b，则 |a b|= 1，因此正确 综上可知：只有 正确 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17选修 4 5：不等式选讲 设 f（ x） =|x+1|+|x 3| 第 11 页（共 15 页） （ 1）解不等式 f（ x） 3x+4； （ 2）若不等式 f（ x） m 的解集为 R，求实数 m 的 取值范围 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 （ 1）转化函数的表达式为分段函数的形式，结合 x 的范围，分别求解不等式的解集，然后求出并集即可 （ 2）利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值，即可求出 m 的范围 【解答】 选修 4 5：不等式选讲 解：（ 1）因为 f（ x） =|x+1|+|x 3| 所以 ， 所以原不等式 f（ x） 3x+4； 等价于 或 或 ， 解得 无解， 0x3， x 3， 因此不等式的解集为： x|x0 （ 2）由于不等式 f（ x） m 的解集为 R，所以 f（ x） m， 又 f（ x） =|x+1|+|x 3|x+1+3 x|=4，即 f（ x） ， 所以 m4，即 m 的取值范围为（ ， 4 18已知 a 0， b 0，证明 + a+b 【考点】 不 等式的证明 【分析】 首先分析题目是求证不等式 ，可以考虑到把它们都移到一边去，然后提取公因子再根据取值范围 a 0， b 0，证明不等式成立 【解答】 证明：要证 ；因为 a 0， b 0，所以 0， 即证： b3+a3以 b3+a b） +b a） =（ a b）（ =（ a b） 2（ a+b） 0 当且仅当 a=b 时候等号成立，所以原不等式成立， 故得 证 19已知复数 z=（ 8m+15） +（ 9m+18） i 在复平面内表示的点为 A，实数 m 取什么值时： （ 1） z 为实数？ （ 2） z 为纯虚数？ （ 3） A 位于第三象限？ 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的几何意义、及复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出 【解答】 解：（ 1） z 为实数， 9m+18=0，解得 m=3 或 6 第 12 页（共 15 页） 当 m=3 或 6 时， z=0， 3 为实数 （ 2） z 为纯虚数， ，解得 m=5 当 m=5 时， z= 2i 为纯虚数 （ 3） z 在复平面内表示的点 A 在第三象限， 解得 3 m 5 当 3 m 5 时， A 位于第三象限 20某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取 20 名学生，其中 8 名女生中有 3 名报考理科，男生中有 2 名报考文科 （ 1）是根据以上信息，写出 22 列联表； （ 2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？ 参考公式 P（ K2 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据抽取 20 名学生，其中 8 名女生中有 3 名报考理科，男生中有 2 名报考文科，即可得到列联表； （ 2）根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，得到有 95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关 【解答】 解：（ 1） 22 列联表 男生 女生 总计 报考理科 10 3 13 报考文科 2 5 7 总计 12 8 20 （ 2）假设 考文理科与性别无关 则 估计值 因为 p（ = 所以我们有 95%把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关 21某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （ 1）画出散点图，并说明销售额 y 与广告费用支出 x 之间是正相关还是负相关？ 第 13 页（共 15 页） （ 2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x