湖北省黄冈市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1设集合 M=x|x2=x， N=x|，则 M N=（ ） A 0， 1 B（ 0， 1 C 0， 1） D（ ， 1 2下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ） A y= y= y= y= 3下列各组向量中可以作为基底的是（ ） A =（ 0， 0）， =（ 1， 2） B =（ 1， 2）， =（ 3， 4） C =（ 3， 5）， =（ 6， 10） D =（ 2， 3）， =（ 2， 3） 4要得到函数 y=4x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 单位 B向右平移 单位 C向左平移 单位 D向右平移 单位 5在等腰 ， ， C，则 =（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 6如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为 “幸运点 ”，在下列的五个点 M（ 1， 1）， N（ 1， 2）， P（ 2， 1）， Q（ 2， 2）， G（ 2， ）中， “幸运点 ”有多少个（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 7已知函数 f（ x） =x（ ex+x）（ xR），若函数 f（ x）是偶函数，记 a=m，若函数 f（ x）为奇函数，记 a=n，则 m+2n 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 1 8若 ， ，且 的终边不落在坐标轴上，则 ） A B 或 0 C 0 D以上答案都不对 9已知函数 f（ x） =x+）（ A， 均为正的常数， 为锐角）的最小正周期为 ，当 x=时，函数 f（ x）取得最小值 ，记 a=f（ 0）， b=f（ ）， c=f（ ），则有（ ） A a=b c B a b c C b a c D c a b 10如图，函数 f（ x）的图象为折线 不等式 f（ x） x+1）的解集是（ ） A x| 1 x0 B x| 1x1 C x| 1 x1 D x| 1 x2 11设定义在区间（ b， b）上的函数 f（ x） =奇函数（ a， bR，且 a 2），则 取值范围是（ ） A（ 1， B（ 0， C（ 1， ） D（ 0， ） 12对于定义域为 R 的函数 g（ x），若存在正常数 T，使得 x）是以 T 为周期的函数，则称 g（ x）为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（ ） h（ x） =2016x h（ x） =|x| h（ x） =x+ A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13已知角 的终边过点（ 1， ），则 14若函数 f（ x） = 的定义域为 0， 2，则函数 g（ x） = 的定义域为 15 已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定义域和值域都是 1， 0，则 a+b= 16已知 a= 2a+2 a= 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 17已知方程 x2+q=0 的两个不相等实根为 ， 集合 A=， ， B=2， 4， 5， 6， C=1， 2，3， 4， AC=A， AB=，求 p， q 的值？ 18在平面直角坐标系 ，已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ） （ 1）若 ，求 值； （ 2）若 与 的夹角为 ，求 值 19李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费 2 元，月用电不超过 30 度每度 ，超过 30 度时， 方案二：不收管理费，每度 （ 1）求方案一收费 L（ x）元与用电量 x（度）间的函数关系； （ 2）李刚家九月份按方案一交费 35 元，问李刚家该月用电多少度？ （ 3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？ 20如图，半径为 4m 的水轮绕着圆心 O 逆时针做匀速圆周运动，每分 钟转动 4 圈，水轮圆心 O 距离水面 2m，如果当水轮上点 P 从离开水面的时刻（ 始计算时间 （ 1）将点 P 距离水面的高度 y（ m）与时间 t（ s）满足的函数关系； （ 2）求点 P 第一次到达最高点需要的时间 21若在定义域内存在实数 得 f（ ） =f（ +f（ 1）成立，则称函数 f（ x）是 “可拆函数 ” （ 1）函数 f（ x） = 是否是 “可拆函数 ”？请说明理由； （ 2）若函数 f（ x） =2x+b+2可拆函数 ”，求实数 b 的取值范围： （ 3）证明： f（ x） = “可拆函数 ” 22已知 集合 Mh（ x） |h（ x）的定义域为 R，且对任意 x 都有 h（ x） = h（ x） 设函数 f（ x）= （ a， b 为常数） （ 1）当 a=b=1 时，判断是否有 f（ x） M，说明理由； （ 2）若函数 f（ x） M，且对任意的 x 都有 f（ x） 的取值范围 2015年湖北省黄冈市高一（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5分，满分 60分） 1设集合 M=x|x2=x， N=x|，则 M N=（ ） A 0， 1 B（ 0， 1 C 0， 1） D（ ， 1 【考点】 并集及其运算 【专题】 集合 【分析】 求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案 【解答】 解：由 M=x|x2=x=0， 1， N=x|=（ 0， 1， 得 M N=0， 1 （ 0， 1=0， 1 故选： A 【点评】 本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题 2下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ） A y= y= y= y= 【考点】 函数奇偶性的判断 ；函数零点的判定定理 【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性和函数零点的定义和性质进行判断即可 【解答】 解： y=偶函数，不满足条件 y=是奇函数又存在零点，满足条件 y=定义域为（ 0， +），为非奇非偶函数，不满足条件 y= 是奇函数，但没有零点，不满足条件 故选： B 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和函数零点的性质，比较基 础 3下列各组向量中可以作为基底的是（ ） A =（ 0， 0）， =（ 1， 2） B =（ 1， 2）， =（ 3， 4） C =（ 3， 5）， =（ 6， 10） D =（ 2， 3）， =（ 2， 3） 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 计算题；函数思想；平面向量及应用 【分析】 判断向量是否共线，即可推出结果 【解答】 解：由题意可知 =（ 1， 2）， =（ 3， 4）不共线，可以作为基底 故选： B 【点评】 本题考查共面向量基本定理的应用，是基础题 4要得到函数 y=4x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 单位 B 向右平移 单位 C向左平移 单位 D向右平移 单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 直接利用三角函数的平移原则推出结果即可 【解答】 解：因为函数 y=4x ） =（ x ） ， 要得到函数 y=4x ）的图象，只需将函数 y=图象向右平移 单位 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中 x 的系数是易错点 5在等腰 ， ， C，则 =（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 直接利用已知条件求解即可 【解答】 解：在等腰 ， ， C，则 = |=8 故选： D 【点评】 本题考查向量数量积的求法，基本知识的考查 来源 :6如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为 “幸运点 ”，在下列的五个点 M（ 1， 1）， N（ 1， 2）， P（ 2， 1）， Q（ 2， 2）， G（ 2， ）中， “幸运点 ”有多少个（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数的性质，易得 M， N 不是幸运点，利用指数函数的性质，易得 N， P 不是幸运点，利用 “幸运点 ”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到 Q（ 2， 2）， G（ 2， 个点是幸运点，从而得到答案 【解答】 解：当 x=1 时，对数函数 y=a 0， a1）恒过（ 1， 0）点， 故 M（ 1， 1）， N（ 1， 2），一定不是幸运点， 当 y=1 时，指数函数 y=a 0， a1）恒过（ 0， 1）点， 故 P（ 2， 1）也一定不是幸运点， 而 Q（ 2， 2）是函数 y= x与 y= 的交点； G（ 2， ）是函数 y= x与 y=交点； 故幸运点有 2 个， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，利用指数函数和对数的性质，排除掉不满足 “幸运点 ”定义的 M， N， P 点是解答本题的关键 7已知函数 f（ x） =x（ ex+x）（ xR），若函数 f（ x）是偶函数，记 a=m，若函数 f（ x）为奇函数，记 a=n，则 m+2n 的值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 1 【考点】 函数奇偶性 的性质 【专题】 计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用函数 f（ x） =x（ ex+x）是偶函数，得到 g（ x） =ex+后利用 g（ 0）=0，可以解得 m函数 f（ x） =x（ ex+x）是奇函数，所以 g（ x） =ex+得 n，即可得出结论 【解答】 解：设 g（ x） =ex+x，因为函数 f（ x） =x（ ex+x）是偶函数，所以 g（ x） =ex+ 又因为函数 f（ x）的定义域为 R，所以 g（ 0） =0， 即 g（ 0） =1+a=0，解得 a= 1，所以 m= 1 因为函数 f（ x） =x（ ex+x）是奇函数，所以 g（ x） =ex+所以（ e x+=ex+1 a）（ e x =0 对任意的 x 都成立 所以 a=1，所以 n=1， 所以 m+2n=1 故选： B 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数 f（ x）过原点，则必有 f（ 0） =0，要灵活使用奇函数的这一性质 8若 ， ，且 的终边不落在坐标轴上，则 ） A B 或 0 C 0 D以上答案都不对 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由 = =1，求出 k，由此有求出 【解答】 解： ， ，且 的终边不落在坐标轴上， = =1， 解得 k= 7 或 k=1（舍）， = = ， = = ， = 故选： A 【点评】 本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用 9 已知函数 f（ x） =x+）（ A， 均为正的常数， 为锐角）的最小正周期为 ，当 x=时，函数 f（ x）取得最小值，记 a=f（ 0）， b=f（ ）， c=f（ ），则有（ ） A a=b c B a b c C b a c D c a b 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据周期和对称轴作出 f（ x）的大致图象，根据函数的单调性和对称性判断大小 【解答】 解： f（ x）的周期为 ， =2， A 0，当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值， +） = 1， += +2 即 = +2 是锐角， = f（ x） =2x+ ） 令 A=1，作出 f（ x）在一个周期内的大致函数图象， 由图象可知 f（ x）在 0， 上单调递增， f（ 0） f（ ）， f（ x）关于 x= 对称， f（ 0） =f（ ）， f（ 0） =f（ ） f（ ） 故选： A 【点评】 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题 10如图，函数 f（ x）的图象为折线 不等式 f（ x） x+1）的解集是（ ） A x| 1 x0 B x| 1x1 C x| 1 x1 D x| 1 x2 【考点】 指、对数不等式的解法 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 在已知坐标系内作出 y=x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集 【解答】 解：由已知 f（ x）的图象，在此坐标系内作出 y=x+1）的图象，如图满足不等式 f（ x） x+1）的 x 范围是 1 x1；所以不等式 f（ x） x+1）的解集是 x| 1 x1； 故选 C 【点评】 本题考查了数形结合求不等式的解集； 用到了图象的平移 11设定义在区间（ b， b）上的函数 f（ x） =奇函数（ a， bR，且 a 2），则 取值范围是（ ） A（ 1， B（ 0， C（ 1， ） D（ 0， ） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 由题意和奇函数的定义 f（ x） = f（ x）求出 a 的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出 b 的范围进而求出 范围 【解答】 解： 定义在区间（ b， b）内的函数 f（ x） =奇函数， f（ x） = f（ x），即 则有 = ， 即 1 4得 a=2， 又 a 2， a=2；则函数 f（ x） = 要使函数有意义，则 0，即（ 1+2x）（ 1 2x） 0 解得： x ，即函数 f（ x）的定义域为：（ ， ）， （ b， b） （ ， ）， 0 b b（ 1， ， 故选： A 【点评】 本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出 b 的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力 12 对于定义域为 R 的函数 g（ x），若存在正常数 T，使得 x）是以 T 为周期的函数，则称 g（ x）为余弦周期函数 ，则下列函数中余弦周期函数有多少个？（ ） h（ x） =2016x h（ x） =|x|来源 :Z&xx&h（ x） =x+ A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题；新定义；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据余弦周期函数的定义，判断 x+T）是 否等于 x）即可； 【解答】 解： h（ x） =2016x 的定义域为 R； x+） =016（ x+） =2016x+2016） =2016x） =x）， h（ x）是以 为周期的余弦周期函数； h（ x） =|x|的定义域为 R； x+2） =|x+2|） =|x|） =x）， h（ x）是以 2为周期的余弦周期函数； h（ x） =x+定义域为 R； x+6） =x+6+ =x+ =x）， h（ x）是以 6为 周期的余弦周期函数； 故选： D 【点评】 考查对余弦周期函数定义的理解，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13已知角 的终边过点（ 1， ），则 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由三角函数的定义， ，求出值即可 【解答】 解： 角 的终边经过点 P（ 1， ）， = 故答案为： 【点评】 本题考查三角函数的定义 ，利用公式求值题 14若函 数 f（ x） = 的定义域为 0， 2，则函数 g（ x） = 的定义域为 0， 1） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 首先根据函数 f（ x）的定义域为 0， 2，得到函数 g（ x）的分子对应的函数 y=f（ 2x）的定义域为 2x0， 2，解之得 0x1，再结合分式的分母不等于 0，列出不等式组，解之可得函数 g（ x）的定义域 【解答】 解： 函数 f（ x）的定义域为 0， 2， 函数 y=f（ 2x）的定义域为 2x0， 2，解得 0x1， 因此函数 g（ x） = 的定义域满足： ，可得 0x 1 函数 g（ x） = 的定义域为： 0， 1） 故答案为： 0， 1） 【点评】 本题给出一个函数的定义域，求与它有关联的另一个函数的定义域，着重考查了函数的定义域及其求法，属于基础题 15已知函数 f（ x） =ax+b（ a 0， a1）的定义域和值域都是 1， 0，则 a+b= 【考点】 函数的值域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组， 【解答】 解：当 a 1 时，函数 f（ x） =ax+b 在定义域上是增函数， 所以 ，解得 b= 1， =0 不符合题意舍去； 当 0 a 1 时，函数 f（ x） =ax+b 在定义域上是减函数， 所以 解得 b= 2， a= 综上 a+b= ， 故答案为； 【点评】 本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题 16已知 a= 2a+2 a= 【考点】 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题；规律型；函数的性质及应用 【分析】 化简已知条件，利用对数运算法则化简求解即可 【解答】 解： a= 2a+2 a= = 故答案为： 【点评】 本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力 三、解答题（共 6小题，满分 70分） 17已知方程 x2+px+q=0 的两个不相等实根为 ， 集合 A=， ， B=2， 4， 5， 6， C=1， 2，3， 4， AC=A， AB=，求 p， q 的值？ 【考点】 子集与交集、并集运算的转换；一元二次方程的根的分布与系数的关系 【专题】 计算题 【分析】 先根据 AC=A 知 AC，然后根据 A=， ，可知 C， C，而 AB=，则 B， B，显然 A 即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3，不仿设 =1， =3，最后利用应用韦达定理可得 p与 q 【解答】 解：由 AC=A 知 AC；又 A=， ，则 C， C 而 AB=，故 B， B 显然 A 即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3 不仿设 =1， =3 对于方程 x2+px+q=0 的两根 ， 应用韦达定理可得 p= 4， q=3 【点评】 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，以及一元二 次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题之列 18在平面直角坐标系 ，已知向量 =（ ， ）， =（ x（ 0， ） （ 1）若 ，求 值； （ 2）若 与 的夹角为 ，求 值 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；三角函数的求值；平面向量及应用 【分析】 （ 1）根据向量垂直的性质得到坐标的关系等式，求出 （ 2）利用数量积公式得到 x 的三角函数等式，结合平方关系求出 【解答】 解：（ 1）因 ，所以 （ 2 分） 所以 （ 5 分） （ 2）因为 与 的夹角为 ， ，所以 （ 7 分） 设 a 由 2+2得 （ 10 分） 因 x 是锐角，所以 a 为正值，所以 a= （ 12 分） 【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的性质和三角函数的化简求值；属于基础题 19李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费 2 元，月用电不超过 30 度每度 ，超过 30 度时， 方案二：不收管理费，每度 （ 1）求方案一收费 L（ x）元与用电量 x（度）间的函数关系； （ 2）李刚家九月份按方案一交费 35 元，问李刚家该月用电多少度？ （ 3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）分 0x30、 x 30 两种情况讨论即可； （ 2）通过分别令 0x30、 x 30 时 L（ x） =35 计算即得结论； （ 3）通过分别令 0x30、 x 30 时 L（ x） 算即得结论 【解答】 解：（ 1）当 0x30 时， L（ x） =2+ 当 x 30 时， L（ x） =2+30 x 30） 1， （注： x 也可不取 0）； （ 2）当 0x30 时，由 L（ x） =2+5 得 x=66，舍去； 当 x 30 时，由 L（ x） =1=35 得 x=60， 李刚家该月用电 60 度； （ 3）设按第二方案收费为 F（ x）元，则 F（ x） = 当 0x30 时，由 L（ x） F（ x）， 得： 2+得： x 25， 25 x30； 当 x 30 时，由 L（ x） F（ x）， 得： 1 得： x 50， 30 x 50； 综上， 25 x 50 故李 刚家月用电量在 25 度到 50 度范围内（不含 25 度、 50 度）时，选择方案一比方案二更好 【点评】 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题 20如图，半径为 4m 的水轮绕着圆心 O 逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动 4 圈，水轮圆心 O 距离水面 2m，如果当水轮上点 P 从离开水面的时刻（ 始计算时间 （ 1）将点 P 距离水面的高度 y（ m）与时间 t（ s）满足的函数关系； （ 2）求点 P 第一次到达最高点需要的时间 【考点】 在实际问题中建立三角函数模型 【专题】 计算题；函数思 想；数学模型法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）设点 P 到水面的距离 y（ m）与时间 t（ s）满足函数关系，利用周期求得 ，当 t=0 时， y=0，进而求得 的值，则函数的表达式可得 （ 2）根据正弦函数的图象和性质可得 t=5+15k（ kZ）即当 k=0 时，即 t=5（ s）时，点 P 第一次达到最高点 【解答】 解：（ 1）以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系 由于水轮绕着圆心 O 做匀速圆周运动，可设点 P 到水面的距离 y（ m）与时间 t（ s）满足函数关系， 水轮每分钟旋转 4 圈， 水轮半径为 4 m， A=4 当 t=0 时， y=0 （ 2）由于最高点距离水面的距离为 6， t=5+15k（ kZ） 当 k=0 时，即 t=5（ s）时，点 P 第一次达到最高点 【点评】 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题，考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式 21若在定义域内存在实数 得 f（ ） =f（ +f（ 1）成立，则称函数 f（ x）是 “可拆函数 ” （ 1）函数 f（ x） = 是否是 “可拆函数 ”？请说明理由； （ 2）若函数 f（ x） =2x+b+2可拆函数 ”，求实数 b 的取值范围： （ 3）证明： f（ x） = “可拆函数 ” 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 计算题；证明题；阅读型；函数的性质及应用；三角函数的求值 【分析】 （ 1）当 k=0 时，易知是 “可拆函数 ”；当 k0 时，方程可化为 x2+x+1=0，从而判断； （ 2）若函数 f（ x） =2x+b+2可拆函数 ”，化简可得 b=2x 2 有解，从而解得； （ 3）由题意知判断方程 x+1） =否有解即可 【解答】 解：（ 1）当 k=0 时， f（ x） =0，是 “可拆函数 ”； 当 k0 时， f（ x+1） = ， f（ 1） =k， 故 = +k， 即 x2+x+1=