重庆市北碚区2019-2020学年高二上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题 Word版含答案

绝密启用前北碚区2019-2020学年(上)期末学生学业质量调研抽测高二数学试卷（分数：150分 时间：120分钟）注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于D，E两点已知|AB|=42，|DE|=25，则抛物线C的焦点到准线的距离为 A. 2B. 4C. 6D. 82. 在ABC中，已知三个内角为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC=6：5：4，则sinB=( A. 74B. 34C. 5716D. 9163. 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C24. 若直线被圆x2+y2+2x4y+1=0截得弦长为4，则4a+1b的最小值是 A. 9B. 4C. 12D. 145. 已知P是椭圆x24+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y25=0的距离的最小值为 A. 102B. 52C. 105D. 256. 设函数，则使得2f(x)f(x+2)成立的x的取值范围是A. B. C. D. 7. 若函数f(x)=x13sin2x+asinx在(,+)单调递增，则a的取值范围是()A. 1,1B. 1,13C. 13,13D. 1,138. 设集合A=1,1，集合B=x|ax=1,aR，则使得BA的a的所有取值构成的集合是()A. 0,1B. 0,-1C. 1,-1D. -1,0,19. 若函数f(x)=13x3(1+b2)x2+2bx在区间上不是单调函数，则函数f(x)在上的极小值为 A. 2b43B. 32b23C. 0D. b216b310. ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=12，bsinA=asinB2，则SABC的最大值为()A. 38B. 316C. 324D. 34811. 设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP+OF2)F2P=0(O为坐标原点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为A. 2+12B. 2+1C. 3+12D. 3+112. 定义在R上的偶函数f(x)，其导函数f(x)，当x0时，恒有x2f(x)+f(x)0，若g(x)=x2f(x)，则不等式g(x)g(12x)的解集为 A. (13,1)B. C. (13,+)D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=cosx|lgx|零点的个数为_14. 设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为_15. 已知动圆E与圆A:(x+4)2+y2=2外切，与圆B:(x4)2+y2=2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为_16. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P/平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行求A；若a=7，b=2，求ABC的面积18. 设全集U=R，集合A=x|1x4，B=x|2ax0)，如图：|AB|=42，|AM|=22，|DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2，xA=(22)22p=4p，|OA|=|OD|，16p2+8=p24+5，解得：p=4抛物线C的焦点到准线的距离为4故选B2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用正弦定理得a，b，c的关系，然后由余弦定理即可得出【解答】解：sinA：sinB：sinC=6：5：4，由正弦定理有a：b：c=6：5：4，不妨取a=6，b=5，c=4，则cosB=62+4252264=916，B(0,)，则sinB=1cos2B=5716故选C3.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到函数y=cos2(x+12)=cos(2x+6)=sin(2x+23)的图象，即曲线C2，故选D4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系及基本不等式的应用问题，是中档题求出圆心和半径，可得直线过圆心，即a+b=1，再利用基本不等式乘法求得4a+1b的最小值【解答】解：圆x2+y2+2x4y+1=0，即圆(x+1)2+(y2)2=4，它表示以(1,2)为圆心、半径为2的圆，弦长等于直径，直线2axby+2=0经过圆心，故有2a2b+2=0，即a+b=1，再由a0，b0，可得：4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9，当且仅当4ba=ab，即a=23，b=13时取等号，4a+1b的最小值是9故选A5.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题设与直线x+y25=0平行的直线方程是x+y+c=0，与椭圆方程联立并消元，令=0可得c的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l距离的最小值【解答】解：设与直线x+y25=0平行的直线方程是x+y+c=0，与椭圆方程联立x24+y2=1x+y+c=0,消元可得5x2+8cx+4c24=0，令=64c220(4c24)=0，可得c=5，故与直线x+y25=0平行的直线方程是x+y5=0，x+y+5=0与x+y25=0之间的距离为5+252=3102，x+y5=0与x+y25=0之间的距离为5+252=102，椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l距离的最小值是102故选A6.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题由题意，2f(x)f(x+2)可化为：2log2(3x1)log2(3x+5)，根据对数函数的性质，可得3x123x+53x103x+50，即可求出结果【解答】解：函数f(x)=log2(3x1)，则不等式2f(x)f(x+2)可化为2log2(3x1)log2(3x+5)，可得3x123x+53x103x+50，解得x43，即使得2f(x)f(x+2)成立的x的取值范围是(43,+)故选B7.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和换元法，属于中档题求出f(x)的导数，由题意可得恒成立，设t=cosx(1t1)，即有54t2+3at0恒成立【解答】解：函数f(x)=x13sin2x+asinx的导数为：，由题意可得恒成立，即为123cos2x+acosx0，即有5343cos2x+acosx0，设t=cosx(1t1)，即有54t2+3at0(1t1)，5412+3a105412+3a10,a的取值范围是13,13.故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件利用BA，求出a的取值，注意要分类讨论【解答】解：BA，当B是时，可知a=0显然成立；当B=1时，可得a=1，符合题意；当B=1时，可得a=1，符合题意；当B=1,1时，a无解；故满足条件的a的取值集合为1,1,0故选：D9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题，求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到f(2)是函数的极小值即可【解答】解：f(x)=(xb)(x2)，函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3b0，解得：x2或xb，由f(x)0，解得：bx2，f(x)极小值=f(2)=2b43，故选A10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题由正弦定理化简已知等式可求cosB2=12，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求ac112，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】解：由正弦定理知：sinBsinA=sinAsinB2，即2sinB2cosB2sinA=sinAsinB2，故cosB2=12，所以B=23，又b=12，由余弦定理得b2=a2+c22accosB=a2+c2+ac3ac，ac112，故SABC=12acsinB348，故选：D11.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，属于中档题，利用向量确定PF1PF2是关键取PF2的中点A，利用OP+OF2=2OA，可得OAF2P，从而可得PF1PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论【解答】解：取PF2的中点A，则OP+OF2=2OA，(OP+OF2)F2P=0，2OAF2P=0，OAF2P，O是F1F2的中点，A是PF2的中点，OA/PF1，PF1PF2，|PF1|=3|PF2|，2a=|PF1|PF2|=(31)|PF2|，|PF1|2+|PF2|2=4c2，c=|PF2|，e=ca=231=3+1故选：D12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于较难题根据函数f(x)为偶函数，则g(x)也为偶函数，利用导数可以判断g(x)在0,+)为减函数，则不等式g(x)|12x|求解即可【解答】解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(x)，x0时，恒有，x2f(x)+2xf(x)0，g(x)=x2f(x)，g(x)在0,+)为减函数，f(x)为偶函数，g(x)为偶函数，g(x)g(12x)，即g(|x|)|12x|，x21+4x24x，即(x1)(3x1)0，解得13x1则不等式g(x)0时，y1=cosx和y2=|lgx|的图象有4个交点，由此可得函数f(x)=cosx|lgx|零点的个数【解答】解：在同一直角坐标系中画出函数y1=cosx，y2=|lgx|的图象，如图所示：函数f(x)=cosx|lgx|的零点，即方程cosx=|lgx|的实数根，结合图可知当x0时，函数y1=cosx和y2=|lgx|的图象的交点个数为4，即f(x)=cosx|lgx|的零点有4个故答案为414.【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题求出数列的公比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，设公比为q，可得a2+a4=qa1+a3=5，解得q=12，a1+q2a1=10，解得a1=8，则a1a2an=a1nq1+2+3+n1=8n(12)n(n1)2=23nn2n2=27nn22，当n=3或n=4时，a1a2an取得最大值：2122=26=64，故答案为6415.【答案】x22y214=1x2【解析】【分析】本题考查两圆的位置关系、双曲线的定义以及标准方程，属于一般题设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合双曲线的定义即可解决问题【解析】解：由圆A:(x+4)2+y2=2，圆心A(4,0)，半径为2，圆B:(x4)2+y2=2，圆心B(4,0)，半径为2，设动圆圆心M的坐标为(x,y)，半径为r，则|MA|=r+2，|MB|=r2，|MA|MB|=r+2r+2=22|AB|=8，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且2a=22，a=2，c=4，b2=c2a2=14，双曲线的方程为：x22y214=1x2故答案为：x22y214=1x216.【答案】324,52.【解析】【分析】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属难题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN/平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，M、N、E、F为所在棱的中点，MN/BC1，EF/BC1，MN/EF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN/平面AEF；AA1/NE，AA1=NE，四边形AENA1为平行四边形，A1N/AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，A1N/平面AEF，又A1NMN=N，平面A1MN/平面AEF，P是侧面BCC1B1内一点，且A1P/平面AEF，则P必在线段MN上，在RtA1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，同理，在RtA1B1N中，求得A1N=52，A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1PMN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=A1M2OM2=(52)2(24)2=324，A1M=A1N=52，所以线段A1P长度的取值范围是324,52.故答案为324,52.17.【答案】解：因为向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行，所以asinB3bcosA=0，由正弦定理可知：sinAsinB3sinBcosA=0因为sinB0，所以tanA=3.因为A为ABC的内角，所以A=3)a=7，b=2，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3(负值舍去，所以ABC的面积为12bcsinA=332【解析】本题考查平面向量、余弦定理以及正弦定理的应用，三角形面积的求法，考查计算能力利用向量的平行，列出等量关系式，通过正弦定理求解A；利用A，以及a=7，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解ABC的面积18.【答案】解：(1)集合A=x|1x4，UA=x|x1或x4，a=2时，B=4x5，所以BA=1,4)，BUA=x|4x1或4x5;(2)若AB=A则BA，分以下两种情形：B=时，则有2a3a，a1，B时，所以2a3a2a13a4，解得12a0，t1+t2=53,t1t2=18，故|MA|MB|=t1t2=18【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程及直线的参数方程，属于中档题(1)曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；(2)把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程即可求解20.【答案】解：(1)椭圆C的焦点为F1(22,0)和F2(22,0)，长轴长为6，椭圆的焦点在x轴上，c=22，a=3，b=1，椭圆C的标准方程x29+y2=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB线段的中点为M(x0,y0)，由x2+9y2=9y=x+2，消去y，得10x2+36x+27=0，0，x1+x2=185，x1x2=2710，x0=95y0=x0+2=295=15，弦AB的中点坐标为(95,15)，|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2(x1+x2)24x1x2=2(185)242710=635【解析】本题主要考查椭圆方程的求法，考查弦AB的中点坐标及弦长解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题(1)由椭圆C的焦点为F1(22,0)和F2(22,0)，长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB线段的中点为M(x0,y0)，由x2+9y2=9y=x+2，得10x2+36x+27=0，故x1+x2=185，x1x2=2710，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长21.【答案】证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF/AC，且EFBD，将DEF沿EF折到DEF的位置，则DHEF，EF/AC，ACHD；若AB=5，AC=6，则AO=3，BO=OD=4，AE=54，AD=AB=5，DE=554=154，EF/AC，DEAD=EHAO=DHOD=1545=34，EH=94，EF=2EH=92，DH=3，OH=43=1，HD=DH=3，OD=22，满足HD2=OD2+OH2，则OHD为直角三角形，且ODOH，又ODAC，ACOH=O，即OD底面ABCD，即OD是五棱锥DABCFE的高底面五边形的面积S=12ACOB+(EF+AC)OH2=1264+(92+6)12=12+214=694，则五棱锥DABCFE体积V=13SOD=1369422=2322【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键本题的难点在于证明OD是