XX211圆锥曲线知识点归纳

XX211圆锥曲线知识点归纳 xx-2-111圆锥曲线知识点归纳椭圆的定义、性质及标准方程1.椭圆的定义第一定义平面内与两个定点12F F、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 第二定义动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(?e e，则动点M的轨迹叫做椭圆。 定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。 说明若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12F F。 若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。 2.椭圆的标准方程、图形及几何性质标准方程)0(12222?b abyax中心在原点，焦点在x轴上)0(12222?b abxay中心在原点，焦点在y轴上图形范围x ay b?，x by a?，顶点?12120000A aA aB b B b?，、，、，?12120000A aA aB b B b?，、，、，对称轴x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上x轴、y轴；长轴长2a，短轴长2b；焦点在长轴上焦点?1200F cF c?，、，?1200F cF c?，、，焦距)0(221?c cF F)0(221?c cF F离心率)10(?eace)10(?eace准线2axc?2ayc?参数方程与普通方程22221x yab?的参数方程为?cossinx ayb?为参数22221y xab?的参数方程为?cossiny axb?为参数3.2焦半径公式椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式椭圆焦点在x轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，?00P xy，是椭圆上任一点，则10PF aex?，20PF aex?。 推导过程由第二定义得11PFed?（1d为点P到左准线的距离），则211000aPF ede xex aa exc?；同理得20PF aex?。 简记为左“”右“”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 若焦点在y轴上，则为22221y xab?。 有时为了运算方便，设),0(122n mm nymx?。 判定直线与椭圆位置关系的非常规方法定理1:设1F、2F分别是椭圆1:2222?byaxC?0?b a的左、右焦点，点P是直角坐标平面中的任意一点，则 （1）?a PF PF221点P在椭圆上. （2）?a PFPF221点P在椭圆外. （3）?a PFPF221点P在椭圆内.证明: (1)由椭圆的定义直接可得这个结论. (2)1)当点P在椭圆外时:如图,连结1PF交椭圆于点M,则2121PF MFPM PFPF?a MFMF221?即a PFPF221?成立.即:点P在椭圆外?a PFPF221? (3)1)当点P在椭圆内时:如图,连结P F1并延长交椭圆于点M,则32121PF MPMF PFPF? (2)2)当a PFPF221?时:若点P在椭圆上,则有a PFPF221?得矛盾若点P在椭圆内,则有a PFPF221?得矛盾点P在椭圆外.即?a PFPF221点P在椭圆外. (3)2)同理可得?a PFPF221点P在椭圆内.定理2设直线l上的动点P到椭圆1:2222?byaxC?0?b a两焦点1F、2F的距离和的最小值为m,则 （1）?a m2直线l和椭圆C相切； （2）?a m2直线l和椭圆C相离； （1）?a m2直线l和椭圆C相交；证明: (1)直线l和椭圆C相切?直线l和椭圆C有且仅有一个公共点?直线l上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外?21PFPF?的最小值为a2?a m2? (2)直线l和椭圆C相离?直线l上的所有点都在椭圆C的外部?a PFPF221?恒成立?a m2? (3)直线l和椭圆C相交4?直线l上至少存在一点P在椭圆C的内部?直线l上至少存在一点P使a PFPF221?成立?a m2?注:容易验证对于焦点在y轴上的椭圆,上述结论也成立.定理3已知直线)0(0:22?B AC ByAx l椭圆1byax:C2222?R b a,，则 （1）和椭圆相交直线l c Bb A a?022222； （2）和椭圆相切直线l c Bb A a?022222； （3）和椭圆相离直线l cBbA a?022222。 证明作坐标变换?by yaxx则在新坐标系y ox中椭圆C变成曲线C的方程为122?y x（已化为单位圆），直线l变成直线l的方程为0?c bByaAx，易见坐标变换前后直线和曲线的位置关系（公共点的个数）保持不变；在y ox中，由于圆心o到直线l的距离2222|BbA acd?l直线和椭圆C相交?l和单位圆o相交?1d?22222cBbAa022222?cBbAa同理l直线?0和椭圆C相切/l直线?0和椭圆C相离例1已知:椭圆C以两坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，且与两直线010405?y xy x和均相切，求椭圆C的方程。 解设椭圆的方程为12222?byax椭圆和直线05?y x相切由定理3可知25221?b a又椭圆和直线50104?y x相切10016222?ba由?10016252222b aba解得?52022ba椭圆的方程为152022?y x双曲线的定义、方程和性质知识要点1定义 （1）第一定义平面内到两定点F 1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明|PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|时无轨迹。 设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 2双曲线的方程及几何性质标准方程)0b,0a(1byax2222?)0b,0a(1bxay2222?图形焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）对称轴实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2离心率|2MDMFace?|2MDMFace?准线方程cax:l,cax:l2221?准线间距离为ca22cay:l,cay:l2221?准线间距离为ca22渐近线方程0,0?byaxbyax0,0?aybxaybx3几个概念 （1）等轴双曲线实、虚轴相等的双曲线。 等轴双曲线的渐近线为y=x，离心率为2。 （62）共轴双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例12222?byax的共轴双曲线是12222?byax。 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。 但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 抛物线标准方程与几何性质 一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。 注定义可归结为“一动三定”一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1）定义中的隐含条件焦点F不在准线l上。 若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线圆锥曲线的统一定义平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当10?e时，表示椭圆；当1?e时，表示双曲线；当1?e时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程1抛物线标准方程建系特点以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。 2四种标准方程的联系与区别由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。 抛物线标准方程的四种形式为?022?p pxy，?022?p py x，其中参数p的几何意义焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；2p等于焦点到抛物线顶点的距离。 标准方程的特点方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x，若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y，当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。 三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.待定系数法因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。 注当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为ax y?2或ay x?2，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。 四、抛物线的简单几何性质7方程设抛物线?022?p pxy性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径?0,2pF0?x关于x轴对称原点1?e2px?p2注焦点的非零坐标是一次项系数的41；对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题1直线与抛物线的位置关系的判断直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如02?c bxax（*）的式子当0?a时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合；当0?a时，若0?（*）式方程有两组不同的实数解?直线与抛物线相交；若=0?（*）式方程有两组相同的实数解?直线与抛物线相切；若0?（*）式方程无实数解?直线与抛物线相离.2直线与抛物线相交的弦长问题弦长公式设直线交抛物线于?2211,y xB yx A，则B AABx xk AB?21或B AyykAB?211.若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理抛物线?022?p pxy上一点?00,yx M的焦半径长是20px MF?，抛物线?022?p pyx上一点?00,yx M的焦半径长是20py MF? 六、抛物线焦点弦的几个常用结论设AB为过抛物线?022?p pxy焦点的弦，设?2211,yxB yx A，直线AB的倾斜角为?，则221221,4p yypx x?；?2sin2pAB?p xx?21；以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形