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人教版B版高中数学选修45(B版）数学归纳法应用举例 数学归纳法应用举例例11用数学归纳法证明2222 (1) (21)1236n n nn?证明 （11）当n n=1时，左边=1，右边=1，等式成立； （22）假设当n n=k k时，等式成立，即2222 (1) (21)1236k k kk?那么222222 (1) (21)123 (1) (1)6k k kk k k?22 (1) (21)6 (1) (1) (276)66 (1)( (2) (23) (1) (1)12 (1)166k k k k k k kk k k k k k?这就是说，当n n=k k+1时，等式也成立，由 （11）和 （22）可以断定，等式对任何n nN N+都成立。 例22证明平面上n n个圆最多把平面分成n n22n n+2个区域。 证明 （11）一个圆将平面分成22个区域，而当n n=1时，n n22n n+2=2，因此结论当n n=1时成立； （22）假设当n n=k k时，结论成立，即k k个圆最多把平面分成k k22k k+2个区域。 在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k k个圆都交于两点，于是新增22k k个交点，这这22k k个交点将新圆分成22k k段弧，这22k k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增22k k个区域，这样k k+1个圆最多把平面分成(k k22k k+2)+2k k=(k k+1)22(k k+1)+2个区域，这就是说，当n n=k k+1时，结论也正确，由 （11）和 （22）可以断定，结论对任何n nN N+都正确。 例33求证当n n5时，22n nn n22，证明 （11）当n n=5时，2255=32，5522=25，因此2255522，即n n=5时，结论正确； （22）假设当n n=k k(k k5)时，这个命题是正确的，那么由22k kk k22得122222k kk?222521 (1)k k k k k?这就是说，当n n=k k+1时，命题也是正确的.由 （11）和 （22）可以断定，这个命题对于所有大于或等于55的正整数n n都正确。 例44求证凸n n边形的对角线的条数为 (3)(), (4)2n nfn n?证明 （11）当n n=4时，四边形的对角线有22条，f f (4)=2，所以对于n n=2，命题成立. （22）设凸k k边形的对角线的条数为 (3)(), (4)2k kfk k?当n n=kk+1时，kk+1边形比kk边形多了一个顶点,例55求证当n n为正奇数时77n n+1能被88整除.证明 (1)n n=1时，7711+1=8能被88整除； (2)假设n n=k(kk为正奇数)时77kk+1能被88整除(设77kk+1=8M M，M MN N)则当n n=kk+2时，77kk+2+1=7227kk+7227722+1=722(7kk+1)48=4988m m886=8
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