高中数学典型题的典型意义研究.doc

数学典型题的典型意义研究范言清我们在研究高考及其模拟题时会发现：立体几何问题是高考必出题。立体几何所含的知识点很多，从平行到垂直，从线线到线面、到面面；公理定理，考查的知识一大堆，当然这些知识点应该是我们必须熟记的，但仍有很多同学会说，定理，公式，我都会，我就是不会用它们做题，我们也因此希望能透过知识点找到深一层次的解题通法。或者说研究各题的思想方法找到它们的共同之处，养成一种思维习惯，从而学会解题。以下两题为例，我们做一研究。1、（2006年高考冲刺模拟试卷（九）第20题）如图正方体在ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、B1C1、AA1的中点，（1）求证：EF平面GBD；（2）求异面直线AD1与EF所成的角。解法一：（1）取BC的中点H，连EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，BDEH，由三垂线定理，得EFBD （4分）又EF在平面AB1上的射影是B1E，由BB1EABG，得B1EBG，由三垂线定理得EFBG，BGBDB，EF平面GBD （8分）（2）取C1D1的中点M，连EM，易得EMAD1，FEM就是异面直线AD1与EF所成的角，（11分）MFBD，EFMF在RtFEM中，由EMa，（为正方体的棱长），EFa，得FEM30，即异面直线AD1与EF成的角为30(14分)解法二：（向量法）（1）以D1A1为轴，D1C1为轴，D1D为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B (2,2,2)，E(2,1,2)，F(1,2,0)，G(2,0,1)，D (0,0,2) (4分)=(2,2,0)（-1, 1,-2）=0，= (0,-2,-1) （-1, 1,-2）=0，又BGBDB，EF平面GBD （8分）（2）（-2,0,-2），（1, 1,2）Cos。即异面直线AD1与EF所成的角为30。（14分）典型信息：1、类型：正方体中,线面垂直，线线成角问2、典型方法思想：通过对已知条件的观察分析，结合图形根据线面垂直定理把线面垂直问题转化为线线垂直问题，根据异面直线所成角的定义把异面直线所成角问题，转化为平面直线夹角问题。空间问题化为平面问题的转化思想，数形结合思想。3、应用工具：线面垂直定理，三垂线定理，异面直线所成角定义。4、科别：立体几何5、级次：高中数学第二册下第九章6、出处：2006年高考冲刺模拟试卷（九）第20题上例是立体几何中一道典型题，下面我们从几个方面来研究一下这个问题的典型性。一、条件的典型性本题是构建在正方体中的一道题，条件具备典型性。正方体是立体几何中包含点线面、线线垂直、线面垂直等各基本定理的特殊几何体，其中各边的中点位置也非常特殊，可以构建出更多的线面垂直、线线垂直、面面垂直、及平行，这些都成为我们解题中所必不可少的隐含条件，如上面由中点我们可以构造中位线，构造线面垂直，三垂线定理，所以由正方体这一典型几何体的典型性质，我们可以看出这道题的条件的典型性。把握该题中条件的典型性，我们可以把该题的条件进行变式。正方体表面共有6个面，其中3组平行面，每相邻两个平面互相垂直，每三个两两相邻的平面交于一个顶点且互相垂直。每一组相对棱构成一个对角面，四个侧棱构成的两个对角面互相垂直，四个水平正棱构成两个对角面互相垂直。剩余四个平行棱构成两对角面互相垂直，这里共有三对互相垂直的对角面，每一组对面的对角线中互异的一组构成一个正四面体，共有六个正四面体，这些都可以成为题中的条件。再如，我们取上底中心，和下底正方形，可组成正四棱锥，或取上底一顶点和下底也可组成四棱锥，且侧棱与底面垂直，这些做条件都非常典型，也是高考模拟题中常见题型。二、问题的典型性。确定了条件的典型性，例题中问题的提出同样具有典型性，题中充分蕴含了线面垂直条件，提出线面垂直问题，就显得非常自然，教材中第九章的第一个单元，介绍立体几何中包括点线面在内的最基本定理、公理，“线面垂直”，“异面直线”，“异面直线所成的角”，问题都是教材中典型问题，所以本题的问题提出具有典型性。除此之外，我们所学过的立体几何中的有关定理定义都属于典型问题，如线面平行、面面平行、面面垂直。变式：（1）求证：平面EGF平面GBD。（2）求二面角ABDG的度数。（3）求AC与平面GB1D1所成的角。（4）连结A1B1和A1D1的中点MN，求证MN平面GBD。（5）取B1B四等分点P，D1D四等分点Q，连结M、P、Q、N，求证：平面MPQN平面GBD。把正方体上底正方形缩小，几何体变为棱台，又会构造出一些新的问题。对于例题中作为已知条件的正方体，它的典型性，我们已经非常清楚了，如果我们把正方体稍加变化，取上底点A1和下底正方形ABCD，连结A1B、A1C、A1D可构成新的几何体，同时它也包含了原来正方体的部分特征，这样我们就构造了一个新的问题，如2007年高考文科题第20题，就是这样一道题。2、（2007年高考题文20题）如图在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点。（1）证明：EF平面SAD，（2）设SD2DC，求二面角A-EF-D的大小。（1）证明：取SD中点G连结FG、AG，则FGCDAB且FGCDAB，FGAE，且FGAE，即AEFG为平行四边形。EFAG，又A在平面ASD内，EF不在ASD内，EFASD。（2）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E(1,0),F(0,0)。取E、F中点M（,）, =（-,-,-）,=(-1,0,1)。=(-,-,-)(-1,0,1)0，。(0,-,0), = (0,-,0)(-1,0,1)0, 等于二面角A-EF-D的平面角。cos,二面角AEFD的大小为arccos典型信息：1、类型：线面平行、二面角问题2、典型方法思想：通过对已知条件的观察，结合图形，根据线面平行定理，把线面平行问题转化为线线平行问题，根据空间向量基本定理建立空间直角体系，把求二面角问题转化为求向量夹角问题。转化思想、数形结合思想。3、应用工具：线面平行定理，向量法求二面角公式。4、科别：立体几何5、级次：高中数学第二册下第九章6、出处：2007年高考文科第20题上题中ABCD正方体下底，S为上底顶点，SD为侧棱，SC、SA为侧面对角线，SB为体对角线，整个四棱锥图可看做正方体中的一部分，从这个角度出发，这个问题就不难理解了。三、解法的典型性由于正方体具有一系列的典型特征所有有关正方体的问题在其解法上具有一定的典型性。如第一题中的（1）题要证明EFGBD，需把它转化为证明线线垂直，而线线垂直则要用到三垂线定理，因此准确找到三线一面在解题中起到关键性作用。第（2）题是求异面直线所成角，根据异面直线所成角的定义，我们可以把求异面直线问题转化为求平面内两条直线所成角问题，再构造三角形求角。第2题第（1）题是求线面平行问题，我们则要根据定理把线面平行问题转化为平面内线线平行问题，第（2）题求二面角问题，我们则要根据二面角的平面角定义，去找到平面角，利用三角形去求解，或直接建立空间直角体系利用坐标去求解。以上这几道题从解法上看，都具有典型性。从解题过程中看都包含着几种基本思想。（一）转化思想，（二）数形结合思想。（一）如我们在证明EF平面GBD时，要在GBD内找到两条相交直线BD和BG分别与EF垂直，而证明这两个垂直时，我们都用到了三垂线定理，而三垂线定理则是联系平面内两直线垂直，与异面直线垂直的一个重要定理。因此说整个问题的证明过程中都用到了转化思想。（1）线面垂直问题，转化为异面直线垂直问题，转化为平面直线垂直问题，或者说是空间问题转化为平面问题。其他几个问题也都类似的用到了转化思想。（2）异面直线AD1与EF所成角，转化为平面直线所成角问题，转化为直角三角形内求锐角问题。线面平行问题转化为线线平行问题。求二面角问题，转化为求平面内角的问题，转化为向量角问题。不管用的是什么工具，哪一个知识点，转化思想 在这里得到了充分的体