全等三角形与旋转问题.doc

1 第五讲第五讲 全等三角形与旋转问题全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形把图形绕平面上的一个定点绕平面上的一个定点旋转一个角度旋转一个角度 得到图形 得到图形 这样的由图形 这样的由图形到到变换叫做旋转变变换叫做旋转变GO G G G 换 点换 点叫做旋转中心 叫做旋转中心 叫做旋转角 叫做旋转角 叫做叫做的象 的象 叫做叫做的原象 无论是什么图形 在旋转的原象 无论是什么图形 在旋转O G GG G 变换下 象与原象是全等形 变换下 象与原象是全等形 很明显 旋转变换具有以下基本性质 很明显 旋转变换具有以下基本性质 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等 对应直线的交角等于旋转角 对应直线的交角等于旋转角 旋转变换多用在等腰三角形 正三角形 正方形等较规则的图形上 其功能还是把分散的条件盯对集中 旋转变换多用在等腰三角形 正三角形 正方形等较规则的图形上 其功能还是把分散的条件盯对集中 以便于诸条件的综合与推演 以便于诸条件的综合与推演 重 难点 重点 重点 本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定 全等三角形的性质是以本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定 全等三角形的性质是以 后证明三角形问题的基础 也是学好全章的关键 同时全等三角形的判定后证明三角形问题的基础 也是学好全章的关键 同时全等三角形的判定 也是本章的重点 特别是几种判定方法 尤其是当在直角三角形中时 也是本章的重点 特别是几种判定方法 尤其是当在直角三角形中时 HLHL 的判定是整个直角三角形的重点的判定是整个直角三角形的重点 难点 本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用 为了能熟练的应用难点 本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用 为了能熟练的应用 性质定理及其推论 要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚 哪几个是性质定理及其推论 要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚 哪几个是 条件 决定哪个结论 如何用数学符号表示 即书写格式 都要在讲练中条件 决定哪个结论 如何用数学符号表示 即书写格式 都要在讲练中 反复强化反复强化 2 例题精讲 例例 1 如图 有四个图案 它们绕中心旋转一定的角度后 都能和原来的图案相互重合 其中有一个如图 有四个图案 它们绕中心旋转一定的角度后 都能和原来的图案相互重合 其中有一个 图案与其余三个图案旋转的角度不同 它是图案与其余三个图案旋转的角度不同 它是 解析解析 A 例例 2 如图 同学们曾玩过万花筒 它是由三块等宽等长的玻璃片围成的 其中菱形如图 同学们曾玩过万花筒 它是由三块等宽等长的玻璃片围成的 其中菱形 AEFG 可以看成可以看成 是把菱形是把菱形 ABCD 以以 A 为中心为中心 A 顺时针旋转 顺时针旋转 60 得到得到 B 顺时针旋转 顺时针旋转 120 得到得到 C 逆时针旋转 逆时针旋转 60 得到得到 D 逆时针旋转 逆时针旋转 120 得到得到 GF E D C B A 解析解析 D 例例 3 如图 如图 C 是线段是线段 BD 上一点 分别以上一点 分别以 BC CD 为边在为边在 BD 同侧作等边同侧作等边 ABC 和等边和等边 CDE AD 交交 CE 于于 F BE 交交 AC 于于 G 则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有 则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有 A 1 对对 B 2 对对 C 3 对对 D 4 对对 K G F E D C B A 解析解析 C 例例 4 已知 如图 点已知 如图 点为线段为线段上一点 上一点 是等边三角形 求证 是等边三角形 求证 CABACM CBN ANBM M D N E CB F A 解析解析 是等边三角形 ACM CBN MCAC CNCB ACNMCB ACNMCB ANBM 点评 此题放在例题之前回忆 此题是旋转中的基本图形 3 例例 5 如图 如图 三点共线 且三点共线 且与与是等边三角形 连结是等边三角形 连结 分别交分别交 BCEABC DCE BDAEAC 于于 点 求证 点 求证 DCMNCMCN NM E D C B A 解析解析 与都是等边三角形ABC DCE 及BCAC CDCE 60ACBDCE 三点共线BCE 180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在与中BCD ACE BCAC BCDACE DCEC BCDACE CANCBM 120BCDACE 60BCMNCE 60ACD 在与中BCM ACN 60 BCAC BCMACN CBMCAN BCMACN CMCN 补充补充 已知 如图 点已知 如图 点为线段为线段上一点 上一点 是等边三角形 求证 是等边三角形 求证 平分平分 CABACM CBN CFAFB M D N E CB F A G M H D N E CB F A 解析解析 过点作于 于 由 CCGAN GCHBM HACNMCB 利用进而再证 可得到 故平分 AASBCHNCD CGCH CFAFB 补充补充 如图 点如图 点为线段为线段上一点 上一点 是等边三角形 是等边三角形 CABACM CBN 请你证明 请你证明 ANBM DEAB 平分平分 CFAFB M D N E CB F A 解析解析 此图是旋转中的基本图形 其中蕴含了许多等量关系 4 与三角形各内角相等 60MCN 及平行线所形成的内错角及同位角相等 全等三角形推导出来的对应角相等 推到而得的 AFCBFC ANBM CDCE ADME NDBE AMCN CMBN DEAB ACNMCB ADCMCE NDCBEC 为等边三角形 DEC 是等边三角形 ACM CBN MCAC CNCB ACNMCB ACNMCB ANBM 由易推得 所以 又 ACNMCB NDCBEC CDCE 60MCN 进而可得为等边三角形 易得 DEC DEAB 过点作于 于 由 CCGAN GCHBM HACNMCB 利用进而再证 可得 故平分 AASBCHNCD AFCBFC CFAFB 例例 6 2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷 如图 四边形如图 四边形 都是正方形 连接都是正方形 连接 ABCDDEFGAE 求证 求证 CGAECG G F E D C B A 解析解析 ADCEDG CDGADE 在和中CDG ADE CDAD CDGADE DGDE CDGADE AECG 例例 7 如图 点如图 点为线段为线段上一点 上一点 是等边三角形 是等边三角形 是是中点 中点 是是中点 中点 CABACM CBN DANEBM 求证 求证 是等边三角形 是等边三角形 CDE MD N E CBA 解析解析 ACNMCB ANBM ABMANC 又 分别是 的中点 DEANBM BCENCD CECD BCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等边三角形CDE 补充补充 年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛 如下图 在线段如下图 在线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008AEABC 点 点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点 则的中点 则是是CDE 120ACE PMBEADCPM 5 P M B C D E A A 钝角三角形 钝角三角形 B 直角三角形 直角三角形 C 等边三角形 等边三角形 D 非等腰三角形 非等腰三角形 解析解析 易得 所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的 又ACDBCE BCE ACD C60 为线段中点 为线段中点 故就是绕着点顺时针旋转而得 所以MADPBECPCMC60 且 故是等边三角形 选 C CPCM 60PCM CPM 例例 8 如图 等边三角形如图 等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点 求证 点 求证 ABC DEC CAEBD D E C B A 解析解析 是等边三角形 ABC 60ACB ACBC 同理 60BCDDCA 60ACEDCA DCEC BCDACE 在与中 BCD ACE BCAC BCDACE DCEC BCDACE BDAE 例例 9 如图 如图 是等边是等边内的一点 且内的一点 且 问 问的度数的度数DABC BDAD BPAB DBPDBC BPD 是否一定 若一定 求它的度数 若不一定 说明理由 是否一定 若一定 求它的度数 若不一定 说明理由 P D CB A A BC D P 解析 连接 将条件 这两个条件 易得 得CDBDAD BPAB ACDBCD SSS 由 公共边 知 1 30 2 BCDACDACB BPABBC DBPDBC BDBD 故的度数是定值 BDPBDC SAS30BPDBCD BPD 例例 10 2005 年四川省中考题年四川省中考题 如图 等腰直角三角形如图 等腰直角三角形中 中 为为中中ABC90B ABa OAC 点 点 求证 求证 为定值 为定值 EOOF BEBF 6 O B E CF A 4 3 2 1 O B E CF A 解析 连结由上可知 而 OB1290 2390 13 445C OBOC OBEOCF BEFC BEBFCFBFBCa 补充补充 如图 正方形如图 正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转 其交点为旋转 其交点为 求证 求证 OGHKABCDOEFAECFAB 5 4 3 2 1 O H B E D K G C F A 解析 正方形中 ABCD1245 OAOB 而 3490 4590 35 AOEBOF AEBF AEFCBFFCBCAB 例例 11 2004 河北河北 如图 已知点如图 已知点是正方形是正方形的边的边上一点 点上一点 点是是的延长线上一点 的延长线上一点 EABCDCDFCB 且且 求证 求证 EAAF DEBF F E D C B A 解析解析 证明 因为四边形是正方形 所以 ABCDABAD 因为 90BADADEABF EAAF 所以 所以 90BAFBAEBAEDAE 故 故 BAFDAE Rt ABF Rt ADE DEBF 补充补充 如图所示 在四边形如图所示 在四边形中 中 于于 若四边形 若四边形ABCD90ADCABC ADCD DPAB P 的面积是的面积是 16 求 求的长的长 ABCDDP P D C B AA B C D E P 解析解析 如图 过点作 延长交于点 容易证得 实际上就是把DDEDP BCDEEADPCDE 逆时针旋转 得到正方形 ADP 90 DPBE 正方形的面积等于四边形面积为 DPBEABCD164DP 7 例例 12 分别是正方形分别是正方形的边的边 上的点 且上的点 且 为垂足 为垂足 EFABCDBCCD45EAF AHEF H 求证 求证 AHAB C H F E D B A C H F EG D B A 解析 延长至 使 连结 易证 CBGBGDF AGABGADF BAGDAF AGAF 再证 全等三角形的对应高相等 利用三角形全等可证得 则有 AEGAEF AHAB 例例 13 1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题 在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点 使 使Rt ABC ABMN 记 记 则以 则以 为边长的三角形的形状是为边长的三角形的形状是45MCN AMm MNx BNn xmn A 锐角三角形 锐角三角形 B 直角三角形 直角三角形 C 钝角三角形 钝角三角形 D 随 随 的变化而变化的变化而变化xmn MN C BA M D N C BA 解析 如图 将绕点顺时针旋转 得 连结 CBN C90 CAD MD 则 ADBNn CDCN ACDBCN MCDACMACD ACMBCN 904545MCN MDCMNC MDMNx 又易得 在中 有 故应选 B 454590DAM Rt AMD 222 mnx 巩固巩固 如图 正方形如图 正方形的边长为的边长为 点 点在线段在线段上运动 上运动 平分平分交交边于点边于点 ABCD1FCDAEBAF BCE 求证 求证 AFDFBE 设设 与与的面积和的面积和是否存在最大值 若存在 求出此时是否存在最大值 若存在 求出此时的的DFx 01x ADF ABE Sx 值及值及 若不存在 请说明理由 若不存在 请说明理由 S F E D CB A G A BC D E F 解析解析 证明 如图 延长至点 使得 连结 CBGBGDF AG 因为是正方形 所以在和中 ABCDRt ADF Rt ABG ADAB 90ADFABG DFBG RtRt SAS ADFABG AFAG DAFBAG 又 是的平分线 AEBAF EAFBAE DAFEAFBAGBAE 即 EADGAE ADBC GEAEAD 8 GEAGAE AGGE 即 AGBGBE 得证 AFBGBE ADFABE SSS 11 22 DF ADBE AB 1ADAB 1 2 SDFBE 由 知 AFDFBE 所以 1 2 SAF 在中 Rt ADF 1AD DFx 2 1AFx 2 1 1 2 Sx 由上式可知 当达到最大值时 最大 而 2 xS01x 所以 当时 1x 最大值为 S 2 11 12 22 x 例例 14 通州区通州区 2009 一模第一模第 25 题题 请阅读下列材料 请阅读下列材料 已知 如图已知 如图 1 在在中 中 点 点 分别为线段分别为线段上两动点 若上两动点 若Rt ABC 90BAC ABAC DEBC 探究线段 探究线段 三条线段之间的数量关系 三条线段之间的数量关系 45DAE BDDEEC 小明的思路是 把小明的思路是 把绕点绕点顺时针旋转顺时针旋转 得到 得到 连结 连结 AEC A90 ABE E D 使问题得到解决 请你参考小明的思路探究并解决下列问题 使问题得到解决 请你参考小明的思路探究并解决下列问题 猜想猜想 三条线段之间存在的数量关系式 并对你的猜想给予证明 三条线段之间存在的数量关系式 并对你的猜想给予证明 BDDEEC 当动点当动点在线段在线段上 动点上 动点运动在线段运动在线段延长线上时 如图延长线上时 如图 2 其它条件不变 其它条件不变 中探中探EBCDCB 究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明 究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明 图 1 A B C D E 图 2 A B C DE 解析 222 DEBDEC 证明 根据绕点顺时针旋转得到AEC A90 ABE AECABE BEEC AEAE CABE EACE AB 在中Rt ABC ABAC 45ABCACB 90ABCABE 即90E BD 222 E BBDE D 又 45DAE 45BADEAC 45E ABBAD 即45E AD AE DAED DE DE 222 DEBDEC 9 E E D C B A F ED C B A 关系式仍然成立 222 DEBDEC 证明 将沿直线对折 得 连ADB ADAFD FE AFDABD AFAB FDDB FADBAD AFDABD 又 ABAC AFAC 45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又 AEAE AFEACE FEEC 45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中Rt DFE 即 222 DFFEDE 222 DEBDEC 例例 15 北京市数学竞赛试题 天津市数学竞赛试题北京市数学竞赛试题 天津市数学竞赛试题 如图所示 如图所示 是边长为是边长为 的正三角形 的正三角形 ABC 1 是顶角为是顶角为的等腰三角形 以的等腰三角形 以为顶点作一个为顶点作一个的的 点 点 分别在分别在 BDC 120 D60 MDN MNAB 上 求上 求的周长的周长 ACAMN N M D CB A N M E D C B A 解析 如图所示 延长到使 ACECEBM 在与中 因为 BDM CDE BDCD 90MBDECD BMCE 所以 故 BDMCDE MDED 因为 所以 120BDC 60MDN 60BDMNDC 又因为 所以 BDMCDE 60MDNEDN 在与中 MND END DNDN 60MDNEDN DMDE 所以 则 所以的周长为 MNDEND NEMN AMN 2 例例 16 在等边在等边的两边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点所在直线上分别有两点 M N D 为为外一点 且外一点 且ABC ABC 探究 当点 探究 当点 M N 分别爱直线分别爱直线 AB AC 上移动时 上移动时 60MDN 120BDC BDCD BM NC MN 之间的数量关系及之间的数量关系及的周长与等边的周长与等边的周长的周长 L 的关系的关系 AMN ABC 10 如图如图 当点 当点 M N 在边在边 AB AC 上 且上 且 DM DN 时 时 BM NC MN 之间的数量关系式之间的数量关系式 此时 此时 Q L 如图如图 当点 当点 M N 在边在边 AB AC 上 且上 且时 猜想时 猜想 1 问的两个结论还成立吗 写问的两个结论还成立吗 写DNDM 出你的猜想并加以证明 出你的猜想并加以证明 如图如图 当点 当点 M N 分别在边分别在边 AB CA 的延长线上时 若的延长线上时 若 AN x 则 则 Q 用用 x L 表表 示示 解析 BM NC MN 2 3 Q L 2 猜想 仍然成立 证明 如图 延长 AC 至 E 使 CE BM 连接 DE 120BDCDBDC 且 30DBCDCB 由是等边三角形 ABC 90MBDNCD MBDECD SAS DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN 在与中MDN EDN DMDE MDNEDN DNDN MDNEDN SAS MNNENCBM 的周长 AMN QAMANMN AMBMANNC 2ABACAB 而等边的周长ABC 3LAB 2 3 Q L 3 2 2 3 xL 补充补充 1 如图 在四边形如图 在四边形 ABCD 中 中 AB AD B D E F 分别是边分别是边 BC CD 上的点 且上的点 且90 EAF BAD 求证 求证 EF BEFD 1 2 11 F E D CB A 2 如图如图 在四边形在四边形 ABCD 中 中 AB AD B D E F 分别是边分别是边 BC CD 上的点 且上的点 且180 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 不用证明 中的结论是否仍然成立 不用证明 1 2 F E D C B A 解析 证明 延长 EB 到 G 使 BG DF 联结 AG ABG ABC D AB AD 90 ABGADF AG AF 12 1 1323 2 EAFBAD GAE EAF 又AE AE AEGAEF EG EF EG BE BG EF BE FD 2 1 中的结论仍然成立 EFBEFD 例例 17 平面上三个正三角形平面上三个正三角形 两两共只有一个顶点 求证 两两共只有一个顶点 求证 与与平分 平分 ACFABDBCEEFCD F E D B C A 12 解析解析 连接与DEDF DBAEBC BADCAF DBEABC BACDAF 在与中DBE ABC DBAB DBEABC BEBC SAS DBEABC DECAFC 在与中DFA BCA DABA DAFBAC AFAC SAS DFABCA DFBCEC 为平行四边形 DECF 互相平分 EFCD 例例 18 已知 如图 已知 如图 都是等边三角形 且都是等边三角形 且 共线 共线 ABC CDE EHK ADK 求证 求证 也是等边三角形 也是等边三角形 ADDK HBD E K H C D B A M A B D C H K E 解析 连结 EBCECD CEEA BEAD 所以 并且与的夹角为 BEAD BEAD60 延长交于 EBAKM 则360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMEDDMMDEMEDHDMHDK 又因为 HKADBE BHHD 所以 BEHDKH 所以 HKHE EHDEHDDHKBHE 例例 19 1997 年安徽省竞赛题年安徽省竞赛题 如图 在如图 在 外面作正方形外面作正方形与与 为为 ABCABEFACGHAD 的高 其反向延长线交的高 其反向延长线交于于 求证 求证 1 2 ABCFHMCFBH MHMF G H F M E D CB A 13 解析 证明 2 作 先证 ABHAFCFPMDP 于HQMDQ 于AFPBAD 再证 ACDHAQFPMHQM 补充补充 以以 ABC 的两边的两边 AB AC 为边向外作正方形为边向外作正方形 ABDE ACFG 求证 求证 CE BG 且 且 CE BG O G F E D CB A 解析 易证 故 又 故 AECABG ACEAGB ACAG AOGBOC CEBG 例例 20 北京市初二数学竞赛试题北京市初二数学竞赛试题 如图所示 在五边形如图所示 在五边形中 中 ABCDE90BE 求此五边形的面积 求此五边形的面积 ABCDAE 1BCDE E D C B A F E D C B A 解析 我们马上就会想到连接 因为其中有两个直角三角形 但又发现直接求各三角形的面ACAD 积并不容易 至此思路中断 我们回到已知条件中去 注意到 这一条件应当如何利用 联想到在证明线段相等1BCDE 时我们常用的 截长补短法 那么可否把拼接到的一端且使呢 如图所示 BCDEEFBC 据此 连接 则发现 且 是底 高各AFABC AEF 1FD AFAC AEAB ADF 为 的三角形 其面积为 而与全等 从而可知此五边形的面积为 1 1 2 ACD AFD 1 例例 21 希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题 在在五边形五边形中 已知中 已知 ABCDEABAE 连接 连接 求证 求证 平分平分 BCDECD 180ABCAED ADADCDE E DC B A F E DC B A 解析 连接 由于 ACABAE 180ABCAED 我们以为中心 将逆时针旋转到的位置 因 所以点与点重合 AABC AEF ABAE BE 而 180AEFAEDABCAED 所以 在一条直线上 点旋转后落在点的位置 且 DEFCFAFAC EFBC 所以 DFDEEFDEBCCD 在与中 ACD AFD 因为 ACAF CDFD ADAD 14 故 ACD AFD 因此 即平分 ADCADF ADCDE 家庭作业 1 1 如图 已知如图 已知和和都是等边三角形 都是等边三角形 在一条直线上 试说明在一条直线上 试说明与与相相ABC ADE BCDCEACCD 等的理由 等的理由 E D C B A 答案 答案 ACAB CAEBAD AEAD AECADB CEBD 又又 BDBCCDACCD CEACCD 2 湖北省黄冈市湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试年初中毕业生升学考试 已知 如图 点已知 如图 点是正方形是正方形的边的边上任意一点 上任意一点 EABCDAB 过点过点作作交交的延长线于点的延长线于点 求证 求证 DDFDE BCFDEDF F E D C B A 答案 答案 ADCEDF ADECDF 在和中ADE CDF DAEDCF ADCD ADECDF ADECDF DEDF 3 2008 山东山东 在梯形在梯形中 中 是是中点 试中点 试ABCDABCD 90A 2AB 3BC 1CD EAD 判断判断与与的位置关系 并写出推理过程 的位置关系 并