高考数学专题(二)解析几何综合题解题思路

高考数学专题(二)解析几何综合题解题思路 高考数学专题（二）解析几何综合题解题思路案例分析解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。 据此笔者认为解决这一类问题的关键在于通观全局，局部入手，整体思维.即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.1判别式-解题时时显神功案例1y2x2已知双曲线C:?1，直线l过点A2,022?，斜率为k，当0?k?1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为简解设点M(x,2，试求k的值及此时点B的坐标。 2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为?2?0?k?1?kx?2?x2?2k k?1由于02于是，问题即可转化为如上关于x的方程.?k?1，所以2?x2?x?kx，从而有kx?2?x2?2k?kx?2?x2?2k.于是关于x的方程?kx?2?x2?2k?2(k2?1)?2?x22?(2(k2?1)?2k?kx)2,?2?2(k?1)?2k?kx?0?k2?1x2?2k2(k2?1)?2k x?2?2(k?1)?2k?kx?0.?由0方程?2(k2?1)?2k?2?0,?2?k?1可知?k2?1x?2k2(k?1)?2k x?2?2?2(k2?1)?2k?2?0的二根同正，故?22(k2?1)?2k?kx?0恒成立，于是?等价于当前第1页共9页?k2?1x?2k2(k?1)?2k x?2?2?2(k2?1)?2k?2?0.?2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式?0，就可解得k?255.点评上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2判别式与韦达定理-二者联用显奇效已知椭圆C:x2案例2，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB?2y2?8和点P（4，1）上取点Q，使AP AQ?，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PB QB分析这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。 其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件AP AQ?来转化.PB QB由A、B、P、Q四点共线，不难得到x?4(x A?x B)?2x Ax B8?(x A?x B)，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.在得到x将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理APPB?AQQB x?4(x A?x B)?2x Ax B8?(x A?x B)x?f?k?利用点Q满足直线AB的方程y=k(x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程?f?k?之后，如果能够从整体上把握，认识到所谓消参，目的不过是得到关于x,y的当前第2页共9页方程（不含k），则可由而简化消去参的过程。 简解设Ay?k(x?4)?1解得k?y?1，直接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。 从x?4?x1,y1?,B(x2，y2),Q(x,y)，则由AP?AQ可得PB QB4?x1x?x1，?x2?4x2?x解之得x?4(x1?x2)?2x1x28?(x1?x2) （1）设直线AB的方程为y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程?2k2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 （2）?4k(4k?1)?x?x?,122?2k?1?2?x x?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代入 （1），化简得x与?4k?3. (3)k?2y?k(x?4)?1联立，消去k得?2x?y?4?(x?4)?0.?64k2?64k?24?0，解得在 （2）中，由?2?102?10，结合 （3）可求?k?44得16?21016?210?x?.99故知点Q的轨迹方程为2x?y?4?0（16?21016?210?x?）.99点评由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.3求根公式-呼之欲出亦显灵案例3围.x2y2AP?1顺次交于A、B两点，试求设直线l过点P（0，3），和椭圆PB94的取值范AP x A?分析本题中，绝大多数同学不难得到=PBx B，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路其一是构造所求变量关于某个（或某几个）当前第3页共9页参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，AP x A=?PBx B已经是一个关系式，但由于有两个变量x A,x B，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将x A,x B转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.简解1当直线l垂直于x轴时，可求得当l与x轴不垂直时，设消去x A=f（k），x B=g（k）把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程求根公式AP/PB=（x A/x B）得到所求量关于k的函数关系式由判别式得出k的取值范围所求量的取值范围AP1?;PB5A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为y?kx?3，代入椭圆方程，y得?9k解之得x1,22?4x2?54kx?45?0?27k?69k2?5?.9k2?4?0的情形.因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?27k?69k2?5?27k?69k2?5当k?0时，x1?，x2?，229k?49k?4x1?9k?29k2?518k18AP?=所以=1?=1?PB x29k?29k2?59k?29k2?59?29?5.k2当前第4页共9页由?(?54k)2?1809k2?4?0,解得k2?5，9所以?1?1?189?29?5k2?1，5综上?1?AP1?.PB5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于x AP?1PB x2不是关于x1,x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.简解2设直线l的方程为AP/PB=（x A/x B）构造所求量与k的关系式由判别式得出k的取值范围关于所求量的不等式xA+x B=f（k），xAx B=g（k）把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程韦达定理y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得?9k则2?4x2?54kx?45?0（*）?54k?x?x?,122?9k?4?x x?45.12?9k2?4?x11324k2.?，则，?2?令?x245k2?20在（*）中，由判别式?0,可得k2?5，9当前第5页共9页324k236从而有4?，?245k?205所以4解得?1?2?36，51?5.51结合0?1得?1.5AP1综上，?1?.PB5点评范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.圆锥曲线题型例1过抛物线角?分析一由弦长公式易解解答为抛物线方程为x2=-4y，焦点为(0，-1)设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1将此式代入x2=-4y中得x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k由|AB|=8得:8又有tan?y?12x的焦点作倾斜角为?的直线l与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜4?1?k2?4k?2?4?1?4?k?1或?1得:?4?3?4.分析二:利用焦半径关系.AF?y1?p p,BF?y2?22|AB|=-(y1+y2)+p=-(kx1-1)+(kx2-1)+p=-k(x1+x2)+2+p由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成2与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围例2已知x+4(y-1)2=4，求 (1)x+y2的最大值与最小值; (2)x+y的最大值与最小值22解一将x+4(y-1)2=4代入得x+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y22由点(x，y)满足x+4(y-1)2=4知4(y-1)24即|y-1|10y22当前第6页共9页当y=0时，(x+y2)min=02解二分析显然采用 (1)中方法行不通如果令u=x+y，则将此代入x+4(y-1)2=4中得关于y的2一元二次方程，借助于判别式可求得最值令x+y=u，则有x=u-y,代入x+4(y-1)2=4得52y2-(2u+8)y+u2=02又0y2，(由 (1)可知)-(2u+8)2-45u01?5?u?1?555?0,2?;当u?1?5时,y?1?0,2?55当u?1?5时,y?1?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?53与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法例3.在抛物线x24y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证 (1)A、B和这抛物线的焦点三点共线； (2)11?AF BF为定值.证明 (1)抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1A、B到准线的距离分别d1y1+1，d2=y2+1(如图246所示)由抛物线的定义|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|即A、B、F三点共线 (2)如图246，设AFK=|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin+2又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinAF?21?sin?BF?21?sin?小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.当前第7页共9页4圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理但用0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的解决这类问题方法1，由“0”与直观图形相结合；方法2，由“0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)22?y?a?例4已知曲线C1:x2?1及C2:y?x2?1有公共点,求实数a的取值范围可得y2=2(1-a)y+a2-4=0=4(1-a)2-4(a2-4)0，a如图247，可知?5.2椭圆中心时,a?0,a?,半轴长a?2,抛物线顶点为?0,1?,所以当圆锥曲线在下方相切或相交?1?2.2?a?5时,曲线C1与C2相交.2综上所述,当1?5利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题x2y2例5.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂a b线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量 （1）求椭圆的离心率e； （2）设Q是椭圆AB与OM是共线向量。 上任意一点，F 1、F2分别是左、右焦点，求F1QF2的取值范围；解 （1）F1(?c,0),则x M?c,y Mb2?a，k OMb2?。 ac，b=c,故ek ABbb2b?,OM与AB是共线向量，?a aca?22。 （2）设FQ?r1,F2Q?r2,?F1QF2?,?r1?r2?2a,FF112?2c,当前第8页共9页r12?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a2a2cos?1?1?0r?r2r1r22r1r2r1r2 (12)22当且仅当r1?r2时，cos=0，?0,。 2?由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。 求解此类问题的关键是正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.6.利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题例6.椭圆x2y2?1的焦点为F1,