椭圆与双曲线常见题型归纳

椭圆与双曲线常见题型归纳 椭圆与双曲线常见题型归纳一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,3),(0,3)?的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线1y kx?与C交于,A B两点。 （）写出C的方程;（）若OA OB?，求k的值。 例1.解:（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 (03) (03)?，为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴222 (3)1b?，故曲线C的方程为2214yx?（）设1122(,),(,)A x y B x y，其坐标满足22141.yxy kx?，消去y并得22 (4)230k x kx?，故1212222344kx x x xk k?，若OA OB?，即12120x x y y?而2121212()1y yk x x k x x?，于是22121222233210444k kx x y yk k k?，化简得2410k?，所以12k?例2设1F、2F分别是椭圆1422?yx的左、右焦点.（）若P是该椭圆上的一个动点，求12PF PF?的最大值和最小值;（）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围例2解（）解法一易知2,1,3a b c?所以?123,0,3,0F F?，设?,P x y，则?22123,3,3PF PFx y x y x y?2221133844xx x?因为?2,2x?，故当0x?，即点P为椭圆短轴端点时，12PF PF?有最小值2?当2x?，即点P为椭圆长轴端点时，12PF PF?有最大值1解法二易知2,1,3a bc?，所以?123,0,3,0F F?，设?,P x y，则22212121212121212cos2PF PF FFPF PF PF PFFPF PF PFPF PF?2222221331232x y x y x y?（以下同解法一）（）显然直线0x?不满足题设条件，可设直线?1222:2,l y kx A x y Bx y?，联立22214y kxxy?，消去y，得2214304k x kx?12122243,1144kx x x xk k?由?2214434304k k k?得32k?或32k?又000090cos000A BA BOA OB?12120OA OB x x y y?又?2121212122224y y kx kx k x x k x x?22223841144k kk k?22114kk?2223101144kk k?，即24k?22k?故由、得322k?或322k?例例3设设1F、2F分别是椭圆1422?yx的左、右焦点，)1,0(?B（）若P是该椭圆上的一个动点，求12PF PF?的最大值和最小值;若（）若C为椭圆上异于B一点，且11CF BF?，求?的值；（）设设P是是该椭圆上的一个动点，求1PBF?的周长的最大值.例3解（）易知2,1,3a bc?，所以?123,0,3,0FF?,设?,P x y,则?22123,3,3PF PFx y x y x y?2221133844xx x?因为?2,2x?，故当0x?，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF?有最小值2?当2x?，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF?有最大值1（）设C（0x0，y），)1,0(?B?13,0F?由11CF BF?得?1,)1(300?y x，又142020?yx所以有0762?解得)01(7舍去?（）因为|P1F|PB|4|PF2|PB|4|BF2|1PBF?周长4|BF2|B1F|8所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，1PBF?周长最大，最大值为8例例4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l2?kx y线与双曲线C恒有两个不同的交点A和和B，且2?OB OA(其中O为原点)，求k的取值范围。 例4解（）设双曲线方程为22221x ya b?).0,0(?b a由已知得.1,2,2,32222?b ba ca得再由故双曲线C的方程为.1322?yx（）将得代入13222?yxkx y.0926)31(22?kx x k由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130, (62)36 (13)36 (1)0.kk k k?即.13122?kk且设),(),(B BA Ay x B y x A，则22629,22,1313A BA BA BA Bkx x x x OAOBx x y yk k?由得而2 (2) (2) (1)2()2A BA BA BA BA BA Bx x y y x x kx kx k x xk x x?2222296237 (1)22.131331k kk kk kk?于是222237392,0,3131kkkk?即解此不等式得.3312?k由、得.1312?k故k的取值范围为33(1,)(,1).33?例5已知椭圆2222byax?（ab0）的离心率36?e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23 （1）求椭圆的方程 （2）已知定点E（-1，0），若直线ykx2（k0）与椭圆交于C、D两点问是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由例5解析 （1）直线AB方程为bx-ay-ab0依题意?233622b aabac，解得?13ba，椭圆方程为1322?yx4分 （2）假若存在这样的k值，由?033222y xkx y，得)31(2k?09122?kx x0)31 (36)12(22?kk设1(x C，)1y、2(x D，)2y，则?2212213193112kx xkkx x，8分而4) (2)2)(2(212122121?xxk xxk kxkx y y要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CEDE时，则1112211?xyxy，即0)1)(1(2121?xx y y10分05)(1 (2)1(21212?xxk xxk将式代入解得67?k经验证，67?k，使成立综上可知，存在67?k，使得以CD为直径的圆过点E13分2“中点弦型”例6.已知椭圆22143xy?，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y xm?对称。 例6.解设1122(,),(,)AxyBxy，AB的中点00(,)M xy，21211,4ABy ykxx?而22113412,xy?22223412,xy?相减得222221213()4()0,xxyy?即121xx(),3yy xxy x?，000034,3xxm xm ym?而00(,)M xy在椭圆内部，则2291,43m m?即23231313m?例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率3?e，焦距为32（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点P1(，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由.例7. （1）1222?yx （2）设),(),(2211y xBy xA，直线kkxy?1，代入方程1222?yx得02)1()1 (2)2(222?kxkkxk（022?k）则12)1(2221?kkkxx，解得2?k，此时方程为03422?xx，0?方程没有实数根。 所以直线l不存在。 例8已知椭圆的中心在原点，焦点为F1()022，?，F2（0，22），且离心率e?223。 （I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为?12，求直线l倾斜角的取值范围。 例8解（I）设椭圆方程为yaxba2222122223?，由已知，又解得a=3，所以b=1，故所求方程为yx2291?4分（II）设直线l的方程为ykx b k?()0代入椭圆方程得()kxkbx b2229290?5分由题意得?()()()24990291222122kb k bx xkbk7分解得kk?33或又直线l与坐标轴不平行故直线l倾斜角的取值范围是()()?32223，?12分3“弦长型”例9直线ykxb与椭圆2214xy?交于A、B两点，记AOB的面积为S(I)求在k0，0b1的条件下，S的最大值；（)当AB2，S1时，求直线AB的方程例9(I)解设点A的坐标为(1(,)x b，点B的坐标为2(,)x b，由2214xy?，解得21,221xb?所以222121|21112S bxxb b bb?当且仅当22b?时，S取到最大值1（）解由2214ykxbxy?得222 (41)8440kxkbx b?2216 (41)k b?AB222212216 (41)1|1241k bkxxkk?yxOAB又因为O到AB的距离2|21|1b SdABk?所以221b k?代入并，得424410kk?解得，2213,22kb?，代入式检验，0故直线AB的方程是2622y x?或2622y x?或2622y x?或2622yx?例例10已知向量1m=（0，x），1n=（1，1），2m=（x，0），2n=（y2，1中）（其中x，y是实数），又设向量m=1m+22n，n=2m21n，且m/n点，点P（x，y）的轨迹为线曲线C.（）线求曲线C的方程；（）设直线1:?kxyl线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=324线时，求直线l的方程.例10解（I）由已知，m22(0,)(2,2),(2,2),xyyx?n(,0)(2,2)(2,2).xx?4分/,m n22 (2) (2) (2)0yxx?5分即所求曲线的方程是.1222?yx7分（）由.04)21(:.1,122222?kxxk ykxyyx得消去解得x1=0,x2=212,(214x xkk?分别为M，N的横坐标）.9分由,234|214|1|1|22212?kkk xxkMN.1:?k解得11分所以直线l的方程xy+1=0或x+y1=0.12分二“基本性质型”例11设双曲线1C的方程为22221(0,0)x yaba b?，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线1C上的任一点，引,QB PBQA PA?，AQ与BQ相交于点Q。 （1）求Q点的轨迹方程； （2）设 （1）中所求轨迹为2C，1C、2C的离心率分别为1e、2e，当12e?时，求2e的取值范围。 例11.解 （1）设00(,),(,)P xy Qxy(,0),(,0),A aB aQB PBQA PA?02xx222000111y yx a xay yyyxa xax a xa?，2xx21x yab?，2202220y bxa a?，22222y axab?，化简得22224a xb ya?，经检验，点(,0),(,0)a a?不合题意，点Q的轨迹方程为22224, (0)axb ya y? （2）由 （1）得2C的方程为224221x yaab?，422222222222111111aaa abeabca e?，12e?，222112 (2)1e?，212e?。 例12P为椭圆192522?yx上一点，1F、2F为左右焦点，若?6021PFF （1）求21PFF的面积； （2）求P点的坐标例12解析a5，b3?c4 （1）设11|t PF?，22|t PF?，则1021?t t2212221860cos2?t t t t，由2得1221?t t3323122160sin212121?ttSPF F （2）设P),(yx，由|4|22121yyc SPFF?得433|?y433|?y433?y，将433?y代入椭圆方程解得4135?x，)433,4135(P?或)433,4135(?P或)433,4135(?P或)433,4135(?P例例13已知双曲线与椭圆1244922?yx共焦点，且以xy34?为渐近线，求双曲线方程(