轴对称图形讲义不错

1 1 2 3 4 图 1 轴对称图形讲义轴对称图形讲义 定义 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么称这两个图形关于这条直线这条直线对称 也称这两个图形成轴对称轴对称 这条直线叫做对称轴对称轴 两个图形中的对应点叫做对称点对称点 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果直线两旁的部分能够互相重合 那么称这个图形是轴对称图形 轴对称图形 这条 直线就是对称轴 对称轴 练一练 1 下面是我们熟悉的四个交通标志图形 请从几何图形的性质考虑 哪一个与其他三个不同 这个图形是 写出序号即可 2 下列轴对称图形中 只有两条对称轴的图形是 图 2 A B C D 3 观察如图所示的 26 个英文字母 其中是轴对称的有 个 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 4 将一正方形纸片按图 1 中 1 2 的方式依次对折后 再沿 3 中的虚线裁剪 最后将 4 中的纸片打开 铺平 所得图案应该是下面图案中的 课堂练习 1 下列图形中一定是轴对称图形的是 A 梯形 B 直角三角形 C 角 D 平行四边形 2 下列图形中 是轴对称图形的为 D 3 下列各数中 成轴对称图形的有 个 BACD 2 4 如图 由 个全等的正方形组成 L 形图案 请你在图案中改变 1 个正方形的位置 使它变成轴对称图案 请你在图中再添加一个小正方形 使它变成轴对称图案 5 如图是由三个小正方形组成的图形 请你在图中补画一个一个小正方形 使补画后的图形为轴对称图形 轴对称图形的性质 轴对称图形的性质 1 对应点连线被对称轴垂直平分 2 对应角相等 对应线段相等 做轴对称图形 做轴对称图形 例题讲解 1 作 ABC 关于直线 l 的对称 A B C 2 下图是从镜中看到的一串数字 这串数字应为 3 在镜子中看到时钟显示的时间是 则实际时间是 A B C D H E F G 第 8 题 l 3 4 线段轴是对称图形 它有 条对称轴 正三角形的对称轴有 条 5 如图 已知 ABC 中 BC AC AB 边上的垂直平分线 DE 交 AB 于 D 交 AC 于 E AC 9 cm BCE 的周长为 15 cm 求 BC 的长 6 如图 在 ABC 中 BC 10 边 BC 的垂直平分线分别交 AB BC 于点 E 和 D BE 6 求 BCE 的周长 7 如图 已知在 AB AC DB DC 则 AD BC 为什么 8 如图 已知 ABD 与 AEC 都是等边三角形 求证 BE DC 4 9 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 120 D F 分别为 AB AC 的中点 DE AB GF AC E G 在 BC 上 BC 15cm 求 EG 的长度 10 如图 已知 AOB 和 AOB 内一点 P 你能在 OA 和 OB 边上各找一点 Q 和 R 使得由 P Q R 三点组成的三角 形周长最小吗 11 已知 如图 在 AOB 外有一点 P 试作点 P 关于直线 OA 的对称点 P1 再作点 P1关于直线 OB 的对称点 P2 试探索 POP2与 AOB 的大小关系 若点 P 在 AOB 的内部 或在 AOB 的一边上 上述结论还成立吗 课后练习 1 如图 矩形 ABCD 沿 AE 折叠 使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 如果 BAF 60 那么 DAE 2 已知 Rt ABC 中 斜边 AB 2BC 以直线 AC 为对称轴 点 B 的对称点是 B 如图所示 则与线段 BC 相等的 线段是 与线段 AB 相等的线段是 和 与 B 相等的角是 和 因此 B 3 等腰 ABC 中 AB 的中垂线与 AC 所在直线相交成的锐角为 50 则底角 B 的大小为 O A B P O A B P 5 4 如图 P Q 是 ABC 的边 BC 上的两点 且 BP PQ QC AP AQ 则 BAC 5 如图 ABC 与 ACB 的平分线相交于 F 过 F 作 DE BC 交 AB 于 D 交 AC 于 E 求证 BD EC DE 6 如图 点 D 在 AC 上 点 E 在 AB 上 且 AB AC BC BD AD DE BE 求 A 的度数 7 如图 BC AB BD 平分 ABC 且 AD DC 求证 A C 180 8 如图 AOB 内一点 P 分别画出 P 关于 OA OB 的对称点 P1 P2 连接 P1P2交 OA 于 M 交 OB 于 N 若 P1P2 5cm 则 PMN 的周长为多少 6 简单的轴对称图形之等腰三角形简单的轴对称图形之等腰三角形 概念 概念 等腰三角形相等的两边叫做腰 另一边叫底 两腰的夹角叫顶角 腰和底边的夹角叫底角 性质 等腰三角形是轴对称图形 顶角平分线所在直线直线是它的对称轴 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三线合一 直角三角形中 30 所对直角边等于斜边的一半 例题讲解 题型一 边长与角度问题 题型一 边长与角度问题 例例 1 1 等腰三角形的周长为 10 一边长为 4 那么另外两边长为 等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 6cm 则它的周长为 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 12cm 和 21cm 两部分 则其底边长为 cm 等腰三角形底边上的高是底边的一半 则它的顶角为 5 等腰三角形一个角是 30 求其他两个角 6 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 30 求顶角 例 2 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D 在 BC 上 且 AD BD 1 ADC 70 求 BAC 的度数 2 找出图中相等的角并说明理由 例 3 如图 ABC 中 ABAC BD 是 ABC 的平分线 且 BDC 75o 求 BAC 的度数 题型二 周长问题题型二 周长问题 例 4 一个等腰三角形的周长为 15cm 一腰上的中线把周长分为两部分 这两 部分的差为 6cm 求腰长 D C B A D A B C A BC D 7 例 5 如图 ABC 中 ABC ACB 的平分线交于点 F 过点 F 作 DE BC 分别交 AB AC 于 D E 已知 ADE 的周长为 20cm 且 BC 12cm 求ABC 的周长 题型三 等腰三角形个数题型三 等腰三角形个数 例 6 如图 ABC 中 AB AC A 36 BD CE 分别为 ABC 与 ACB 的 角平分线 且相交于点 F 则图中的等腰三角形有 A 6 个 B 7 个 C 8 个 D 9 个 例 7 P 为等边 ABC 所在平面上一点 且 PAB PBC PCA 都是等腰三角形 这样的点 P 有 个 练习 小明将两个全等且有一个角为60 的直角三角形拼成如图所示的图形 其中两条较长直角边在同一直线上 则图中等腰三角形的个数是 4 3 2 1 题型四 等腰三角形证明题型四 等腰三角形证明 例8 如图 在 ABC中 AB AC E为CA延长线上一点 ED BC于D交AB于F 求证 AEF为等腰三角形 基础练习 1 若OD平分 AOB DE OB交OA于E 求证 EO ED 2 如图 4 AD BC BD平分 ABC 求证 AB AD A B C DE F f A 36 E D F B C A FC D H B M E G 8 E D B A C 3 如图 在 ABC中 AB AC ABD ACD 求证 DBC是等腰三角形 4 已知 ABC 中 BAC 90 AB AD AC CAD 30 求 BCD 和 DBC 的度数 5 如图 点D 在的边上 求证 EABC BCABAC ADAE BDCE 6 已知 如图 AB AC BD AC 垂足为点 D 求证 DBC 2 1 A D CB A A C 9 F E C B A DC B A 7 如图 ABC中 ACB 90 AC AE BC BF 求 ECF 的度数 8 已知 如图 在中 AD是的平分线 ABC 90B ABBC A 求证 ABBDAC 提高练习 9 已知 如图 BDE 是等边三角形 A 在 BE 延长线上 C 在 BD 的延长线上 且 AD AC 求证 DE DC AE 10 如图所示是一个正三角形 分别连结各边的中点得到图 2 再分别连结图 2 中间小三角形三边的中点得到图 3 其中 s 表示图中等边三角形的个数 问 1 当 n 4 时 s 为多少 2 请你按此规律写出用 n 表示 s 的公式 11 如图 已知 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 的延长线上 BD CE DE 交 BC 于点 F 求证 DF EF A B C D E F n 3 s 9 n 2 s 5n 1 s 1 10 12 如图 已知 ABC 中 AH BC 于 H C 35 且 AB BH HC 求 B 度数 13 已知 如图 ABC 中 C 90 CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D 交 BC 于 T 过 D 作 DE AB 交 BC 于 E 求证 CT BE 14 在 ABC 中 B 2 C AD 是 BAC 的平分线 求证 AC AB BD 15 如图 已知 AD 平分 BAC EF 垂直平分 AD 交 BC 的延长线于 F 连结 AF 求证 CAF B 12 题图 C A B H A C TE B M D A C D B BDC A E F 11 16 如图 1 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 D 过 D 作 EF BC 交 AB 于 E 交 AC 于 F 易证 EF BE CF 当 D 为 ABC 的平分线和 ACB 的外角平分线的交点 如图 2 时 或当 D 为 ABC 的外角平分线和 ACB 的 外角平分线的交点 如图 3 时 其它条件都不变 EF BE CF 的关系又如何 请对图 2 进行证明 A BC D E F H A BC D E F G A B C D EF G 图 1 图 2 图 3 题型五 等腰三角形分割问题题型五 等腰三角形分割问题 例 8 在 ABC 中 AB AC 若过其中一个顶点的一条直线 将 ABC 分成两个等腰三角形 求 ABC 各内 角的度数 只要求出三个不同的解 例 9 1 如图 1 ABC 中 90C 请用直尺和圆规作一条直线 把ABC 分割成两个等 腰三角形 2 已知内角度数的两个三角形如图 2 图 3 所示 请你判断 能否分别画一条直线把它们分割成 两个等腰三角形 若能 请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数 练习 1 已知一个三角形的一个内角为 54 如果过该三角形一个顶点的直线可以将其分为两个等 腰三角形 那么这个三角形的最大角为 练习 2 数学课上 同学们探究下面命题的正确性 顶角为36 的等腰三角形具有一种特性 即经 过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形 为此 请你解答问题 1 1 1 已知 如图 在 ABC中 AB AC A 36 直线BD平分 ABC交AC于点D 求证 ABD与 DBC都是等腰三角形 AB C 图 1 AB C 图 2 24 24 84 AB C 图 3 104 52 12 F E D C B A 2 2 在证明了该命题后 小颖发现 下面两个等腰三角形如图 也具有这种特性 请你在图 图 中分别画出一条直线 把它们分成两个小等腰三角形 并在图中标出所画等腰三角 形两个底角的度数 3 3 接着 小颖又发现 直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性 如 直角三角形斜 边上的中线可把它分成两个小等腰三角形 请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图 并在图中标出三角形各内角的度数 说明 要求画出的两个三角形不相似 而且既不是等腰三角形也不是直角三角形 课后练习课后练习 1 等边三角形 ABC 中 D 为 AC 的中点 延长 BC 到 E 使 CE CD 若 AB 10 则 BE 2 如图 已知 OC 平分 AOB CD OB 若 OD 3 则 CD 3 等腰三角形的一个外角为 140 则这个三角形的顶角为 4 等腰三角形的两边长分别为 9 和 4 它的周长为 5 ABC 中 A B C 1 2 3 AB 10 则 BC 6 如图 ABC 中 AB AC B 30 EF 垂直平分 AB 如 CF 8 则 BF 7 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 腰长为 4 cm 则其腰上的高 为 cm 8 在等腰 ABC中 AB AC AD BC于D 且AB AC BC 50cm 而AB BD AD 40cm 则AD cm 9 如图 P 25 又PA AB BC CD 则 DCM 10 如图 在 ABC 中 BAC 90o AB AC ABC 的平分线交 AC 于 D 过 C 作 BD 垂线交 BD 的延长线于 E 交 BA 的延长线于 F 求证 BD 2CE 6 F E CB A 2 1 O D C B A E D C B A A BC h t t p w w w w e i f e n g w e b c o m D 图 图 图 36 1 2 3 13 B B D DC C A A 11 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上一点 AD BD AB AC CD 求 BAC 的度数 12 ABC 中 ABAC BD 是 ABC 的平分线 且 BDC 75o 求 BAC 的度数 13 如图 中 E在AC上 且 求证 ABC ACAB AEAD BCDF 14 如图 且 ABAC 30BAD ADAE 求的度数 EDC 15 如图 中 于 平分 ABC 90ACB CDBA DAEBAC 求证 是等腰三角形 CEF A BC D 14 16 已知在 ABC 中 AB AC BD AC 于 D CE AB 于 E BD 与 CE 相交于 M 点 求证 BMC 是等 腰三角形 17 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E 分别在 AC AB 上 且 BC BD DE EA 求 A 的度数 18 如图 CA CB DF DB AE AD 求 A 的度数 19 在 ABC 中 AB AC 1 1 如图 1 如果 BAD 30 AD 是 BC 上的高 AD AE 则 EDC 2 如图 2 如果 BAD 40 AD 是 BC 上的高 AD AE 则 EDC 3 思考 通过以上两题 你发现 BAD 与 EDC 之间有什么关系 请用式子表示 2 如图 3 如果 AD 不是 BC 上的高 AD AE 是否仍有上述关系 如有 请你写出来 并说明理由 A B C D E A B C D E A B C D E A C D 12 M A 15 1 2 3 20 已知 如图 AF平分 BAC BC AF 垂足为E 点D与点A关于点E对称 PB分别与线段 CF AF相交于P M 1 求证 AB CD 2 若 BAC 2 MPC 请你判断 F与 MCD的数量关系 并说明理由 等边三角形等边三角形 定义 三条边相等的三角形是等边三角形 性质 等边三角形三条边相等 三个角相等都是 60 有三条对称轴 判定 三条边相等 三个角等都 60 有一个角是 60 的等腰三角形 知识点一知识点一 等边三角形性质及推论 等边三角形性质及推论 1 如图所示 已知等边三角形ABC的边长为 按图中所示的规律 用个这样的三角形镶嵌而12008 成的四边形的周长是 2008200920102011 2 如图 等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O DE BC 则这个图形中的等腰三角形共有 A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 3 如图 ABC 和 BDE 都是等边三角形 如果 ABE 40 那么 ABD FM P E D C B A C A B A CB DE O A B C D E D C B A 2 题图题图 3 题图题图 4 题图题图 16 DC A B A 80 B 90 C 100 D 105 4 Rt ABC 中 CD 是斜边AB 上的高 A 30 BD 2cm 则AB 的长度是 A 2cm B 4cm C 8cm D 16cm 5 在等边三角形 ABC 所在的平面内找一点 P 使 PAB PAC 和 PBC 都是等腰三角形 具有这样 性质的点 P 一共有 A 1 个 B 4 个 C 7 个 D 10 个 6 ABC 中 B C 15 AB 2cm CD AB 交 BA 的延长线于点 D 则 CD 长 7 如图等边三角形 ABC 的高 AH 10 D 是边 AB 的中点 P 是 AH 上一个动点 则 CP DP 的最小值是 8 如图 等边三角形 ABC 中 BD 是 AC 边上的中线 BD BE 则 EDA 度 9 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC BAC 20 分别以 AB AC 为边向外作正 ABD 正 ACE 连 接 BE CD 交于 F 则 BFC 度 10 如图 ABC 中 AB AC BAC 120 AD AC 交BC 于点D 求证 BC 3AD 11 如图 已知 ABC 和 BED 都是等边三角形 且 A E D 在一条直线上 求证 P H D C B A 7 题图题图 B B C CD DA A E E A BC D F E 8 题图题图 9 题图题图 17 12 如图 点 E 是等边 ABC 内一点 且 EA EB ABC 外一点 D 满足 BD AC 且 BE 平分 DBC 求 BDE 的度数 13 如图在等腰直角三角形 ABC 外以直角边 AC 为边作正 ACD AE CD 于 E BD AE 交于 F 连接 CF 求证 CDF 为等腰直角三角形 知识点二 等边三角形与全等知识点二 等边三角形与全等 1 如图 C 是线段 AB 上的任一点 分别以线段 AC BC 为边向同侧作等边三角形得 ACD 和 BCE 连 接 AE BD 分别交 DC EC 于点 M N 连 MN 则如下结论 AE BD CM CN MN AB CMN 是等边三角形 EHB 60 中一定正确的结论有 个 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 F E D C B A E D C A B 18 1 1 题图题图 2 2 题图题图 3 3 题图题图 2 如图所示 在等边 ABC 中 AD BE CF D E F 不是中点 连结 AE BF CD 构成一些全等三角形 如果将三个全等三角形组成一组 那么图中全等三角形的组数是 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 3 如图 等边 ABC 的边长为 3 P 为 BC 上一点 且 BP 1 D 为 AC 上一点 若 APD 60 则 CD 的长为 A B C D 3 2 2 3 1 2 3 4 4 如图所示 已知 D P 分别是等边三角形 ABC 内 外一点 且 DA DB AB BP DBP DBC 求 BPD 的度数 5 如图 等边 ABC 中 D 是 BC 中点 DE AC 于点 E 证明 CE AC 4 1 6 如图 2 中 ADBE 相交于 于 ABC ABBCCAAECD PBQAD Q 求证 2BPPQ 图 2 A CBD Q E P 19 7 已知等边 ABC BM CN 1 探索 BN AM 的关系 2 当点 M 运动到 BC 延长线上时 其余条件不变 则 1 的结论是否成立 K N C A BM K N C A BM 知识点三 等边三角形的综合应用知识点三 等边三角形的综合应用 1 如图 在等边 ABC 中 D 是 AC 的中点 E 是 BC 延长线上一点 且 CE CD 请说明 DB DE 的理由 2 已知 如图 ABC 和 BDE 都是等边三角形 且 A E D 三点在一直线上 请你说明 DA DB DC A BC D E A B C D E 20 3 如图 ABC 中 AB AC BAC 120 AD AC 交 BC 于点 D 求证 BC 3AD 4 如图 已知点 B C D 在同一条直线上 ABC 和 CDE 都是 等边三角形 BE 交 AC 于 F AD 交 CE 于 H 求证 BCE ACD 求证 CF CH 判断 CFH 的形状并说明理由 18 分 E D C A B H F 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 知识要点总结知识要点总结 1 定义 垂直平分 一条线段的 直线 叫线段的垂直平分线 2 性质 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离 相等 三角形三边的垂直平分线 相交于一点 且到 三个顶点的距离 相等 3 判定 到一条线段两个端点 距离相等 的点 在这条线段的垂直平分线上 题型一 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 题型一 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例例 1 1 在 ABC 中 AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F 垂足为 D 若 AC 6 BC 4 求 BCF 的周长 E C F A D B 例例 2 2 如图 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F 连接 AF 求证 B CAF E DFCB A DC A B 21 A D F B E G C 练习 练习 1 1 已知 如图 BAC 1200 AB AC AC 的垂直平分线交 BC 于 D 则 ADC 2 2 ABC 中 A 500 AB AC AB 的垂直平分线交 AC 于 D 则 DBC 的度数 3 3 如图 ABC 中 DE FG 分别是边 AB AC 垂直平分线 则 B BAE C GAF 若 BAC 1260 则 EAG 4 4 如图 1 26 在 ABC中 B 115 AC的垂直平分线与AB交于点D 且 ACD BCD 5 3 则 BDC 5 5 已知 如图 DE 是 ABC 的 AB 边的垂直平分线 分别交 AB BC 于 D E AE 平分 BAC 若 B 300 求 C 的度数 6 6 如图 1 23 在 ABC中 AB AC A 120 AB的垂直平分线交BC于D 求证 CD 2BD 7 7 如图所示 在 ABC 中 AB AC BAC 1200 D F 分别为 AB AC 的中点 DE ABFG AC E G 在 BC 上 BC 15cm 求 EG 的长度 8 8 图 在 ABC 中 AB AC BC AE CD AD BE 相交于点 P BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ 1 23 D C BA 1 26 D C B A P Q E D CB A 22 C E A D B F 9 如图 在中 AB AC 的平分线 BD 交 AC 于 D CE BD 的延长线于点 E 求ABC 0 90A ABC 证 1 2 CEBD 题型二 定理题型二 定理 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 例例 3 3 如图所示 AC AD BC BD AB 与 CD 相交于点 E 求证 直线 AB 是线段 CD 的垂 直平分线 例例 4 4 如图所示 Rt ABC 中 D 是 AB 上一点 BD BC 过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E CD 交 BE 于 点 F 求证 BE 垂直平分 CD 例例5 5 如图 ABC 中 AB AC P Q R 分别在 AB BC AC 上 且 BP CQ BQ CR 求证 点 Q 在 PR 的垂直平分线上 随堂练习随堂练习 如图 1 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D 求证 CD AB BD 一变 ABC 中 ABC 2 C AD BC 于 D 延长 CB 到 N 使 BN AB 连接 AN 如图 2 求证 CD AB BD Q R P BC A 213 A C D E B 23 二变 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D 作 AC 的中垂线分别交 AC 于 G 交 CD 于 H 连接 AH 如 图 3 求证 CD AB BD 用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线 已知 线段 AB 求作 线段 AB 的垂直平分线 作法 1 分别以点 A 和 B 为圆心 以大于 AB 的长为半径作弧 两弧相交于点 C 和 D 1 2 2 作直线 CD 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 因为直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点 所以我们也用这种方法作线段的中点 定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距离相等 证明 在 ABC 中 设 AB BC 的垂直平分线相交于点 P 连接 AP BP CP 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 PA PB 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 相等 同理 PB PC PA PC 点 P 在 AC 的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直 平分线上 AB BC AC 的垂直平分线相交于点 P 题型三 轴对称性质的应用题型三 轴对称性质的应用 最短路线问题最短路线问题 例 1 如图 在直线 CD 上有一动点 P P 在 CD 上从右往左运动的过程中 找出 1 点 P 到 A B 距离之和最小时的位置 2 点 P 到 A B 距离相等时的位置 3 点 P 到 A B 的距离之差最大时 P 的位置 24 例 2 在锐角 AOB 内有一定点 P 试在 OA OB 上确定两点 C D 使 PCD 的周长最短 例 3 如图 EFGH是一个长方形的弹子球台面 有黑白两球 分别位于A B两点的位置 1 试问 怎样撞击黑球A 使黑球A先碰撞台边EF 反弹后再撞击白球B 2 怎样撞击黑球A 使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF 最后击白球B 如图 EFGH是一个长方形的弹子球台面 有黑白两球分别位于A B两点的位置 1 试问 怎样撞击黑球A 使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B 2 怎样撞击黑球A 使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF 最后击白球B 练习 练习 1 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛 如图 3 岸与小岛有一桥相连 现准备在小岛的三 边上各设立一个水质取样点 水利部门在岸边设立了一个观测站 每天有专人从观测站步行去三 个取样点取样 然后带回去化验 请问 三个取样点应分别设在什么位置 才能使得每天取样所 用时间最短 假设速度一定 25 O 1 21 CB A 课外练习 一 填空题 1 如图 1 21 ABC中 A 52 点O是AC AB的垂直平分线的交 点 则 OCB 2 在 ABC中 AB AC 20cm AB的垂直平分线交AC于点D 若 BCD的周长为 32cm 则BC 二 选择题 1 若某三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上 则该三角形是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 不能确定 2 如图 1 22 ABC中 AB AC C 72 AB的垂直平分线交AC于 D 则下列结论 A 36 BD平分 ABC AD DB BC DB2 AB DC 其中正确的结论共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 三 解答题 如图 1 24 已知 在 ABC中 ACB 90 延长BC到D BD的垂直平分线交AB于 E DE交AC于F 求证 点E在AF的垂直平分线上 如图 ABC 中 BAC 110 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D AC 的垂直平分线交 BC 于点 E BC 10cm 1 22 D CB A F 1 24 E D C B A 小 岛 小 岛 观测点 26 1 求 ADE 的周长 2 求 DAE 的度数 14 如图 求作一点P 使 并且使点P到 的两边的距离相等 并说明你的理由 垂直平分线强化训练垂直平分线强化训练 1 AD BC BD DC 点 C 在 AE 的垂直平分线上 求证 AB AC CE DE AB BD 2 如图 已知 线段CD垂直平分AB AB平分 求证 DAC BCAD F G EDCB A 27 3 如图 已知 DE是AB的垂直平分线 D为垂足 交BC于E 求证 90CACAB2 DECE 4 如图所示 ABC 中 DE 是 AC 的垂直平分线 AE 3cm ABD 的周长为 13cm 求 ABC 的周长 5 如图 在 ABC 中 AB AC A 120 AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC AB 于点 M N 求证 CM 2BM 6 如图在 ABC 中 AB AC BC 12 BAC 120 AB 的垂直平分线交 BC 边于 点 E AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N 1 求 AEN 的周长 2 求 EAN 的度数 3 求证 AEN 是等腰三角形 A BC D E M N 28 7 如图 在中 DE是AB的垂直平分线 ABC ACAB 65ABC 求 CBE 的度数 8 如图 在 ABC 中 AC 的垂直平分线交 AC 于 E 交 BC 于 D ABD 的周长为 cm12 cmAC5 则 ABC 的周长 9 在 ABC 中 AD 是 BAC 平分线 AD 的垂直平分线分别交 AB BC 延长线 于 F E 求证 1 EAD EDA 2 DF AC 3 EAC B 10 如图 AB AC MB MC 求证 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线 29 11 如图 已知 E 是的平分线上的一点 垂AOB OAEC OBED 足分别是 C D 求证 OE 垂直平分 CD 12 如图 已知 在中 的平分线交BC于D 且 垂足分别是ABC BAC ABDE ACDF E F 求证 AD是EF的垂直平分线 轴对称之角平分线轴对称之角平分线 一一 知识要点 知识要点 1 角平分线的作法 尺规作图 思考 这一画法的根据是什么 2 角平分线的性质及判定 1 角平分线的性质 文字表达文字表达 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何表达几何表达 OP OP 平分平分 MON MON 1 1 2 2 PA OMPA OM PB ONPB ON 已知 已知 PA PA PBPB 角平分线的性质 角平分线的性质 思考 这一性质定理的根据是什么 2 角平分线的判定 30 文字表达文字表达 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 几何表达几何表达 PA OM PA OM PB ONPB ON PAPA PBPB 已知 已知 1 1 2 2 OPOP 平分平分 MON MON 角平分线的判定 角平分线的判定 思考 这一判定定理的根据是什么 二 典型例题典型例题 题型一 角平分线的性质题型一 角平分线的性质 例 1 1 三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点 2 三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形 的交点 例 2 ABC中 C 90 AD平分 BAC交BC于D 且BD CD 3 2 BC 15cm 则点D到AB的距 离是 例 3 已知 如图 在 ABC中 A 90 AB AC BD平分 ABC 求证 BC AB AD 练习 练习 如图所示 在 ABC 中 C 90 AC BC DA 平分 CAB 交 BC 于 D DE AB 于 E AB 10 求 BDE 的周长 已知 如图 3 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 AB 10cm BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm A 2 2 2 B 3 3 3 C 4 4 4 D 2 3 5 题型二 角平分线的判定及应用题型二 角平分线的判定及应用 例 1 如图所示 已知 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 那么 AP 能否平分 BAC 请说明理 由 由此题你能得到一个什么结论 例 2 如图 BP是 ABC的外角平分线 点P在 BAC的角平分线上 求证 CP是 ABC的外角平分 线 D B A C 31 例 3 如图 AD DC BC DC E 是 DC 上一点 AE 平分 DAB E 是 DC 的中点 求证 BE 平分 ABC 例 4 如图 ABC 中 ABC 1000 ACB 的平分线交 AB 于 E 在 AC 上取一点 D 使 CBD 200 连结 DE 求 CED 的度数 例 5 在四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD 且 BC CD 求证 B D 180 变式 如图 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 E F 分别为 AB AC 上的点 且 EDF BAF 180 求证 DE DF 32 角平分线课后作业 1 在 Rt ABC 中 C 90 AD 是角平分线 若 BC 10 BD CD 3 2 则点 D 到 AB 的 距离是 A 4 B 6 C