高考数学总复习 101分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 新人教B版.ppt

第十章计数原理与概率 随机变量及其分布 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一 分类加法计数原理做一件事 完成它有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 二 分步乘法计数原理做一件事 完成它需要分成n个步骤 做第一个步骤有m1种不同的方法 做第二个步骤有m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m1 m2 mn m1 m2 mn 疑难关注 1 两个原理的联系与区别两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的 区别在于 1 分类加法计数原理是 分类 分步乘法计数原理是 分步 2 分类加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事 分步乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步 不能独立完成这件事 2 对两个原理的进一步理解分类加法计数原理中 完成一件事 有n类办法 是说每种办法 互斥 即每种方法都可以独立地完成这件事 同时他们之间没有重复也没有遗漏 进行分类时 要求各类办法彼此之间是相互排斥的 不论哪一类办法中的哪一种方法 都能独立完成这件事 只有满足这个条件 才能直接用分类加法计数原理 否则不可以 分步乘法计数原理中 完成一件事 需要分成n个步骤 是说每个步骤都不足以完成这件事 这些步骤彼此间也不能有重复和遗漏 1 课本习题改编 从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会 则不同的选法种数为 a 6b 5c 3d 2解析 不同的选法有3 2 5种 答案 b 2 2013年滨州调研 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 a 6种b 12种c 24种d 30种解析 分步完成 首先甲 乙两人从4门课程中同选1门 有4种方法 其次甲从剩下的3门课程中任选1门 有3种方法 最后乙从剩下的2门课程中任选1门 有2种方法 于是 甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4 3 2 24 种 故选c 答案 c 3 2013年临沂模拟 如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成 我们称这样的图案为l型 每次旋转90 仍为l型图案 那么在由4 5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的l型图案的个数是 a 16b 32c 48d 64解析 每四个小方格 2 2型 中有 l 型图案4个 共有2 2型小方格12个 所以共有 l 型图案4 12 48 个 答案 c 4 课本习题改编 有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带 如果一条领带与一件衬衣配成一套 则不同的配法种数是 解析 解法一由分类加法原理可知共有3 3 3 3 12 种 配法 解法二由分类加法原理可知共有4 4 4 12 种 配法 答案 12 5 2013年郑州模拟 在2012年奥运选手选拔赛上 8名男运动员参加100米决赛 其中甲 乙 丙三人必须在1 2 3 4 5 6 7 8八条跑道的奇数号跑道上 则安排这8名运动员比赛的方式共有 种 解析 分两步安排这8名运动员 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四条跑道可安排 安排方式有4 3 2 24 种 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一条奇数号跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120 种 安排这8人的方式有24 120 2880 种 答案 2880 考向一分类加法计数原理 例1 2013年三门峡模拟 有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考 则监考的方法有 a 8种b 9种c 10种d 11种 解析 解法一设四位监考教师分别为a b c d 所教班分别为a b c d 假设a监考b 则余下三人监考剩下的三个班 共有3种不同方法 同理a监考c d时 也分别有3种不同方法 由分类加法计数原理共有3 3 3 9 种 解法二班级按a b c d的顺序依次排列 为避免重复或遗漏现象 教师的监考顺序可用 树形图 表示如下 共有9种不同的监考方法 答案 b 1 2013年佛山模拟 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1 a2且a3 a2 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275等 那么所有凸数个数为 a 240b 204c 729d 920解析 分8类 当中间数为2时 有1 2 2 种 当中间数为3时 有2 3 6 种 当中间数为4时 有3 4 12 种 当中间数为5时 有4 5 20 种 当中间数为6时 有5 6 30 种 当中间数为7时 有6 7 42 种 当中间数为8时 有7 8 56 种 当中间数为9时 有8 9 72 种 故共有2 6 12 20 30 42 56 72 240 种 答案 a 考向二分步乘法计数原理 例2 由数字1 2 3 4 1 可组成多少个3位数 2 可组成多少个没有重复数字的3位数 解析 1 百位数共有4种排法 十位数共有4种排法 个位数共有4种排法 根据分步计数原理共可组成43 64个3位数 2 百位上共有4种排法 十位上共有3种排法 个位上共有2种排法 由分步计数原理共可排成没有重复数字的3位数4 3 2 24 个 在本例2条件下 可组成多少个没有重复数字的三位数 且百位数字大于十位数字 十位数字大于个位数字 解析 排出的三位数分别是432 431 421 321 共4个 考向三两个原理的综合应用 例3 2013年太原模拟 已知集合a a1 a2 a3 a4 b 0 1 2 3 f是从a到b的映射 1 若b中每一元素都有原象 这样不同的f有多少个 2 若b中的元素0必无原象 这样的f有多少个 3 若f满足f a1 f a2 f a3 f a4 4 这样的f又有多少个 解析 1 显然对应是一一对应的 即为a1找象有4种方法 a2找象有3种方法 a3找象有2种方法 a4找象有1种方法 所以不同的f共有4 3 2 1 24 个 2 0必无原象 1 2 3有无原象不限 所以为a中每一元素找象时都有3种方法 所以不同的f共有34 81 个 3 分为如下四类 第一类 a中每一元素都与1对应 有1种方法 第二类 a中有两个元素对应1 一个元素对应2 另一个元素与0对应 有所以不同的f共有1 12 6 12 31 个 2 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 解析 解法一可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法计数原理即可得出结论 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 可见 当s a b已染好时 c d还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 解法二以s a b c d顺序分步染色 第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 易错警示 分类与分步不当致误 典例 2012年高考浙江卷 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法共有 a 60种b 63种c 65种d 66种 思路导析 根据和为偶数分类进行解决 答案 d 防范指南 解决计数问题时 还有以下几点容易导致错解 在备考时要高度关注 1 搞不清题目的条件 结论及完成的 事件 不能合理选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 分类时标准不明确 出现元素遗漏及重复的现象 3 分步时步骤不合理 各步互相干扰 1 2012年高考大纲全国卷 将字母a a b b