2007年江苏、福建、吉林、湖北、浙江、天津、广西、江西、湖南省级竞赛试题详解.doc

2007年省级预赛试题解一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1已知函数，则（ B ）A有最小正周期为 B有最小正周期为 C有最小正周期为 D无最小正周期解: ,.2关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（ C ）A2 B1 C0 D1解:方程的两根是,.3已知向量、，设，则一定共线的三点为（ A ）AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D解:.4设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ D ）A (缺少条件)B (当时,)C (当两两垂直,时,)D 5若，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ）A60个 B70个 C90个 D120个解:由及题设知,个位数字的选择有5种.若十位有2种,则百位的选择有5种;若十位有2种,则百位的选择有4种;于是,符合题设的不同点的个数为种.6已知，且，则的值有（ D ）A2个 B3个 C4个 D无数个解:由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有,所以当,且时,恒有,由于的解集为,的解集为,因此当时,恒有.二、填空题（本大题共6个小题，每小题9分，满分54分）7设为等差数列的前项和，若，则公差为1.解:.8设的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于4.解:(舍去).故.9已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为.解:因为,由图象知,于是,解得.故的取值范围为.10圆锥曲线的离心率是.解: 原式变形为,所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为,故此动点轨迹为双曲线,离心率为.11在三角形中，已知，则三角形的面积为.解: 在三角形中，由，得. 由正弦定理得.因为,所以角可取锐角或钝角,从而.,故.12设命题，命题对任何，都有。命题与命题中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是.解:由得,由对任何，都有,得,即.因为命题与命题中有且仅有一个成立，故实数的取值范围是.一、选择题(共6小题，每小题6分，满分36分)1 一个直角三角形的两条直角边长为满足不等式，则这个直角三角形的斜边长为( B )A5 B C6 D解:,于是,斜边长为.2数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的这样的九位数共有( C )个A336 B360 C432 D504解:在1,2,3,4,5,6中插入7,有6种放法,然后插入8和9,分别有8种和9种,所以共有个满足性质的九位数.3一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为( B )A B C D2解:该三角形不是直角三角形.不妨设.则,又,所以.非直角三角形中,有恒等式, 即是方程的一组正整数解.所以. 易解得长边为(另外一条边长为).注：，故.4正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为( D )A18 B36 C72 D144解:设正三棱锥PABC的底面边长为,高为,为三角形ABC的中心,G为侧面PBC的重心,GH垂直底面ABC,垂足为H.则，由得，故。由平均不等式得，所以，于是，.当，时等号成立.故体积的最大值为144.或：，令，得.当时，当时，当时，因此，.5对每一个正整数，设，则等于( B )A1025B1225C1500D2525解： .6集合的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是( B )A80B84C100D168解：显然中间数只能是3，4，5。 以3为中间数的子集有个，以4为中间数的子集有 个，以5为中间数的子集有个.所以，这些中间数的和为.或：对某个子集A，用表示A中每个元素被8减所得的集合，这个这个集合也是一个满足条件的5元子集，这是一个一一对应，且这两个集合中中间数之和为8，平均数为4。故所有的中间数的和为.二填空题（共6小题，每小题6分，满分36分请直接将答案写在题中的横线上）7函数，若2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是解：依题意知，时，2恒成立.所以时，恒成立，即恒成立.由于时，的最大值为3，最小值为2.因此，即.8在直角坐标平面上，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B、D的坐标分别为（A、B、C、D依逆时针顺序排列）解：设线段AC的中点为M，则M点的坐标为，利用复数知识：设，则，得，即.设，则，得，即.解：设线段AC的中点为M，则M点的坐标为，故直线BD的方程为，即，设，则 联立解得、.利用向量知识也可，不过计算稍繁点.9已知、分别是椭圆（03）的左、右焦点若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段的垂直平分线过点，则的取值范围是解：线段的垂直平分线过点，等价于设椭圆的右准线交轴于点K，则在椭圆的右准线上存在一点P，使得，等价于所以因此，故的取值范围是.10方程的正整数解有4组解：由题设可知，两边模3，知，所以，对应的分别为301，201，101，1故满足方程的正整数解有4组11设，则不等式的解集为解：原不等式即为，因为的定义域为，且为减函数，所以，解得.12设函数，如果方程恰有两个不同的实数根，满足，则实数a的取值范围是解：当时，无解；当时，只有一个解；当时，有两个解；当时，有两个解当时，由，得，由，得，得，故；当时，由，得，由，得，得，故；综上可得，实数a的取值范围是一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1设集合，则满足的集合的个数是（D）A1B3C7D8解：，即求集合A的子集的个数，个.注：；个元素集合的子集个数.2若，则有（A）A B C D解：由图象可知.或：，两边取对数得，从而，.3在棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，则异面直线AB与MN的距离是（C）A B C D解：如图，分别取AB、CD的中点E、F，联结EN、NF、FM、ME、EF.MN、EF交于点O，显然四边形ENFM是平面四边形且是菱形，故MNEF，又EF是等腰三角形AFB的高，因此有EFAB，且.其实显然这个距离就是异面直线AB与CD的距离的一半.4等差数列中，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值为4，则抽取的是（D）.A B C D解：.5已知SABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若，那么的取值范围是（）A BC D解：过O分别作与SA、SB、SC垂直的平面，得到一个长方体，且OS为长方体的对角线，所以，则，同理，。故.6设集合，一一映射满足条件：对任意的有，则满足上述条件的映射的个数为（） A40 B41 C80 D81解：若有得，则有与已知矛盾。因此，对任意的，要么，要么，且，互不相同，故只有以下三种情形：对任意的，这样的只有1个；中存在一个循环，而其它的元素时，这样的有个；中存在两个循环和， 这样的有个；因此共有81个满足条件.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7已知ABC是正三角形，P是ABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，若，则二面角PABC的大小为.解：设P在平面ABC中射影为O，由PA=PB=PC知OA=OB=OC，即O为ABC的外心，又由面积射影定理知，所以二面角PABC的大小为.8所有棱长都等于1的三棱锥的内切球的体积等于.解：设内切球半径为，则，从而.9已知,过点作直线与轴、轴正半轴分别交于A、B两点，则使AOB（O为坐标原点）的周长最小的直线的方程是.解：设，则AOB的周长为，当且仅当，即时，上式等号成立.则的斜率，所以的方程为.注：这里用到了万能公式：，则， ，.一般结论 第一象限，设，当且仅当时，周长最小，直线的方程是.若是求面积最小时，则题目简单得多.解：设，则AOB的周长为.当且仅当，即时，上式等号成立.则的斜率，所以的方程为.也可以用初中平面几何知识证明，当P点为线段AB的中点时，AOB的周长最小。10已知函数，若有最大值或最小值，则的取值范围为.解：因有最大值或最小值，故满足或，解得或.11设向量、满足、，且、的夹角为.若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是. 解：由得，当与共线时有，而时，与反向，故.所以，实数的取值范围是.12已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于P、Q两点，则内切圆面积的最大值是 .解：（常规方法）当轴时，易得的面积是3；当与轴不垂直时，设直线的方程为，P、Q两点坐标分别为，由，得，故，而的面积，令，则，函数是增函数，故，的面积.因此当轴时， 的面