2020版高考数学大二轮复习4.1等差数列与等比数列学案理.docx

第1讲等差数列与等比数列 考点1等差数列、等比数列的基本运算1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)例1(1)2019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n(2)2019全国卷记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.【解析】(1)本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算方法一设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.方法二设等差数列an的公差为d，解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.(2)设等差数列an的公差为d，则由题意，得解得所以S101012100.【答案】(1)A(2)100等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.对接训练12019河北衡水中学摸底已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10100，则a7的值为()A11 B12C13 D14解析：an的公差为2，S10100，10a190100，a11，a713，故选C.答案：C22019湖南重点高中联考已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，公差d0，a1，a2，a5成等比数列，则S5()A15 B20C21 D25解析：由已知得aa1a5，即(1d)21(14d)，又d0得d2，S55225，故选D.答案：D 考点2等差、等比数列的判定与证明1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明aan1an1(n2) 例22019广东广州调研测试设Sn是数列an的前n项和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？【解析】(1)证明：因为a37，a33a22，所以a23，则an2an11，取n2，得a22a11，解得a11.由an2an11(n2)，得an12(an11)，即2，所以数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an122n12n，即an2n1，所以Snn2n1n2.于是nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，所以nSn2an，即n，an，Sn成等差数列.(1)判断一个数列是等差(等比)数列，有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可(3)aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.对接训练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值(2)设bnan3，证明数列bn为等比数列，并求通项公式an.解析：(1)因为数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1时，由a1S12a131，解得a13，n2时，由S22a232，得a29，n3时，由S32a333，得a321.(2)证明：因为Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，两式相减，得an12an3，把bnan3及bn1an13，代入式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn62n1，所以anbn362n133(2n1) 考点3等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(q1)例3(1)2019长春市质量监测(一)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，已知S630，S970，则S3_；(2)2019福建泉州第十六中学月考设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S170，S180且q1)，由题意可得，得，又由q0，得q32，再由，得S3S610.优解由题意可得(S6S3)2S3(S9S6)，即(30S3)240S3，即S100S39000，解得S310或S390，又数列an的各项均为正数，所以S30，S180,9(a9a10)0，a100且公差d0,10n15时，0，又1n8时，0an1Sn0，最大【答案】(1)10(2)等差、等比数列性质问题的求解策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若mnpq，则amanapaq”这一性质与求和公式Sn的综合应用.对接训练4一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1()A11 B12C13 D14解析：设数列an的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以q.又a1(a1q)(a1q2)64.所以aq364，故a112.答案：B52019内蒙古呼和浩特一中摸底已知数列an是递减的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和Sn()A8 B16C2n38 D162n3解析：设等比数列an的公比为q，a2a38，a1a48，又a1a49且数列an是递减数列，a18，a41，q3，q，Sn16，故选B.答案：B62019江苏常州月考已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2a3a108，则S9_.解析：设等差数列an的公差为d，a2a3a108，3a112d8，a14da5，S99a524.答案：24 考点4数列与新定义相交汇问题例42019山西太原期末对于数列an，定义Hn为an的“优值”，已知数列an的“优值”Hn2n1，记数列an20的前n项和为Sn，则Sn最小值为()A70 B72C64 D68【解析】数列an的“优值”Hn2n1，Hn2n1，a12a22n1ann2n1，2n1ann2n1(n1)2n(n2)，an4n2(n1)2n2(n2)，又a14，满足上式，an2n2(nN*)，an202n18，由得8n9，Sn的最小值为S8S972，故选B.【答案】B数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论.对接训练7在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：k0时，分子an2an10，数列an可为常数数列，则an1an0，但分母不可为0，推出矛盾，k不可能为0，正确；同理中d0，中q1时分母都为0，不成立，错误；例如数列0,1,0,1，为等差比数列，正确答案：课时作业 9等差数列与等比数列12019河南龙泉中学模拟已知数列an满足an1an3(nN*)，若1，则a4的值为()A2 B4C12 D16解析：因为an1an3(nN*)，所以数列an是公差为3的等差数列，1，所以a13，所以a433312，故选C.答案：C22019山东淄博一中月考在等差数列an中，a3a7a101，a11a421，则数列an的前8项和为()A50 B70C120 D100解析：设等差数列an的公差为d，a11a421，7d21，d3，又a3a7a101，a1d1，a12，数列an的前8项和为100，故选D.答案：D32019陕西西安远东中学期中已知等比数列an的前n项和为Sn，S3a210a1，a59，则a1()A. BC. D解析：设数列an的公比为q，S3a210a1，a39a1，q29，又a59，a1q49，a1，故选C.答案：C42019安徽合肥联考已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a33，a4a5a66，则S12等于()A45 B60C35 D50解析：通解a1a2a33，a4a5a66，S33，S6S36，易知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，S9S612，S12S924，又S69，S921，S1245，故选A.优解a1a2a33，a4a5a66，S33，S6S36，易知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等比数列，S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)S12，S1245，故选A.答案：A52019天津南开中学月考设Sn是等差数列an的前n项和，S53(a2a8)，则的值为()A. B.C. D.解析：S53(a2a8)，5a1d3(a1da17d)，a114d，故选D.答案：D62019广西柳州二中月考已知等差数列an的前n项和为Sn，若a13，S315，则a7()A11 B12C9 D15解析：通解an为等差数列， S315，3a215，a25，又a13，公差为2，a736215，故选D.优解a13，S315，a2a312，a1a412，a49，a1a72a418，a715，故选D.答案：D72019河北保定模拟已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9()A4 B5C8 D15解析：a3a114a7，a4a7，a70，a74，b74，b5b92b78，故选C.答案：C82019贵州贵阳期中设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B5C11 D8解析：设等比数列an的公比为q，8a2a50，q38，q2，11，故选C.答案：C92019辽宁沈阳联合体月考已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若S4S62S5，则a6a5，即da6a50；若d0，则a6a5，则S4S62S4a5a62S42a52S5.所以“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件，故选C.答案：C102019甘肃兰州六中期中已知Sn为等差数列an的前n项和，且S918，Sn240，an430(n9)，则n()A10 B14C15 D17解析：an为等差数列，S918，9a518，a52，又an430(n9)，a1ana5an432，Sn16n240，n15，故选C.答案：C112019甘肃天水二中月考已知数列an的首项a12，数列bn为等比数列，且bn，若b10b112，则a21()A29 B210C211 D212解析：b10b112，b1b2b10b11b19b20210，又bn，210，210，又a12，a21211，故选C.答案：C122019河北唐山四校联考已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q的值为()A. B.C. D.解析：因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.若删去a2，则由2a3a1a4，得2a1q2a1a1q3，因为a10，所以2q21q3，整理得q2(q1)(q1)(q1)，又q1，所以q2q1，又q0，所以q；若删去a3，则由2a2a1a4，得2a1qa1a1q3，因为a10，所以2q1q3，整理得q(q1)(q1)q1，又q1，所以q(q1)1，又q0，所以q.综上，q，故选B.答案：B132019全国卷记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算通解设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.优解设等比数列an的公比为q，因此aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：142019山西太原月考已知等差数列an的公差为d，且d0，若a3，a4，a7成等比数列，则_.解析：a3，a4，a7成等比数列，aa3a7，(a13d)2(a12d)(a16d)，化简得3d22a1d，d0，da1，.答案：152019贵州同仁一模记Sn为数列an的前n项和，若Sn2an1，则S6_.解析：通解由题意得，当n1时，a12a11，解得a11.当n2时，anSnSn1(2an1)(2an11)2an2an1，整理得，an2an1(n2)，故an是以1为首项，2为公比的等比数列，因此S663.优解Sn2an1，Sn2Sn2Sn11(n2且nN*)，即Sn2Sn11(n2且nN*)，Sn