5求下列二元函数的极限.doc

3设，求f (x, y).解: 令，则，因此 即 。4设，求f (x, y).解: 令，则，因此 即 。5.求下列二元函数的极限:(1) (2) (3) (4) 解: (1) 当时，因此 。 (2) 当时，因此，。(3) 当时，因此，。(4) 当时，因此，。6证明：当时，的极限不存在。证明: 取，则 显然此极限值与k的取值相关，因此当时，的极限不存在。7证明下列函数为齐次函数，并说明相应的次数： (1) ； (2) ；(3) ； (4) 。解：(1) ，因此函数为二次齐次函数。 (2) ，因此函数为零次齐次函数。 (3) ，因此函数为五次齐次函数。 (4) ，因此函数为零次齐次函数。8计算下列函数在给定点处的偏导数:(1) , 求； (2) , 求；(3) , 求；(4) , 求。解: (1) ,，因此， 。(2) ,，因此， 。(3) ,，因此， 。(4) ,，因此， 。9计算下列函数的偏导数:(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 。解: (1) ,;(2) ,;(3) , ;(4) , ;(5) , ;(6) ,;10. 已知函数，当方向向量v=?时，取得最大、最小值及零值，并求出解: 设方向向量v=(v1,v2), 且由于 ， 从而 令 v1=cos t, v2=sin t , 则，当 ，即时，有最小值；当 ，即时，有最大值；当 ，即时，有零值。11证明下列各题：(1) 若，则；(2) 若，且n 2, 则；(3) 若，则；(4) 若，则.证明: (1) 令，则 ， 因此 。(2) 令，则 ， 因此 (3) 令，则 ， 因此 (4) 因此 。12计算下列函数的二阶偏导数:(1) ； (2) ；(3) ； (4) 。解: (1) , ， 。 (2) ,; 。(3) , ，;(4) ,，。13求下列函数的全微分:(1) ; (2) ; (3); (4) ; (5); (6)； (7)； (8)解: (1) ,， 因此 ；(2) ,，因此 ；(3) ,， 因此 ；(4) 令 ，则,，因此 ；(5) ,， 因此 ；(6) , 因此 ；(7) , 因此 ；(8) ,，, 因此 。16求复合函数的偏导数或导数:(1) ，求；(2) ，求；(3) ，求；(4) ，求； 解: (1) ,;(2) ,;(3) ;(4) 。17设f (x,y)为n 次齐次函数且可微，证明欧拉公式: 证明：设f (x,y)为n 次齐次函数且可微，即， 令u = tx, v = ty, 其中x,y相对于t是常数, 则，又 ，因此，对任意实数t, 有，取 t=1, 有 。18求下列方程所确定的隐函数的导数:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解：(1) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(2) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(3) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。(4) 方程两边关于x求导，得 因此，所求隐函数的导数为。20求下列函数的极值，并确定其性质：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ；(7) ； (8) 。解: (1)由 可得驻点(0，0)和(1,1)，又，因此在驻点(0，0)处，且满足 因此在驻点(0，0)处函数无极值。在驻点(1,1)处，又，且满足，因此在驻点(1,1)处函数取得极小值-1。(2) 对于任意的实数x,y, 均有x40,y40, 因此 x4+y40, 即函数在原点取得极小值0。(3) 由 可得惟一驻点(1，1)，又，因此在驻点(1，1)处，且满足 ， 因此在驻点(1，1)处函数极小值3。(4) 由 可得驻点(0，0)和(1/9，1/18)，又，因此在驻点(0，0)处，且满足 ， 因此在驻点(0，0)处函数无极值。在驻点(1/9，1/18)处，且满足，, 因此在驻点(1，1)处函数极大值487/486。(5) 由 可得惟一驻点(1，1)，又，因此在驻点(1，1)处，且满足，, 因此在驻点(1，1)处函数极小值2。(6) 由 可得惟一驻点(p/3, p/3)。又 ，因此在驻点(1，1)处， ，且满足，, 因此在驻点(p/3,p/3)处函数极大值。 (7) 由 可得惟一驻点(-2, 0)。又 ，因此在驻点(1，1)处， ，且满足，, 因此在驻点(-2, 0)处函数极小值。(8) 由 可得驻点(0，0)，(a/3, a/30)。又 ，在驻点(0,0)处， ，且满足，函数无极值；在驻点(a/3, a/3)处， ，且满足， 当 a0时，, 因此函数在驻点(a/3,a/3)处有极大值;当 a0;(2) , D为;(3) , D为。解: (1) 令 ，则；(2) 令 ，则(3) 令 ，则。35利用二重积分计算下列曲线所围成区域的面积:(1) (2)(3) (4)解: (1)曲线交点为(0,0)和(1,1)，因此所求面积为 (2)曲线交点为和，因此所求面积为 (3)曲线交点为(3,0)和(0,3)，因此所求面积为 (4)曲线交点为 和，因此所求面积为 。35利用二重积分计算下列曲面所围成的立体的体积:(1) (2)(3) (4)(5)解: (1)