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柯西收敛原理与数项级数的概念1. 柯西收敛原理（判断序列是否收敛）：定理1设是一个序列，则有极限的充要条件是：对于任意给定的,都存在N，使得0，使得 则级数收敛。定理6（阿贝尔判别法）：若无穷数列单调且有界而级数收敛，则级数收敛。例题：设无穷序列单调下降且，讨论级数的敛散性。（一个重要推论：k=1nbk=cosk=1sin2(cossin2+cos2sin2+cosnsin2,k=1nbk=sink=12sin2(2sinsin2+2sin2sin2+2sinnsin2,最后k=1nbk2)例题：级数n=1sinnn是否绝对收敛？（sinnnsinn2n=1-cos2n2n=12n-cos2n2n）*狄氏判别法或阿贝尔判别法可以判断条件收敛的级数，他们的作用不可能用正项级数的比较判别法所替代第四节 函数项级数我们把能够找到一个只依赖于而不依赖于x的N的收敛序列，称作一致收敛序列。定义 设函数序列fn(x)在集合X上收敛于极限函数f(x).若对任意给定的正数，都存在一个只依赖于而不依赖于x的自然数N，使得当nN时，不等式fnx-f(x)对于X中的一切x都成立，则称函数序列fn(x)在X上一直收敛于f(x).(关键找出极限且极限一定无穷趋向于零即一定有n，若大于等于或趋向于常数就一定不一致收敛)定理2：柯西收敛准则（一般不便于直接应用）定理3：（强级数判别法）若函数项级数的一般项满足：且正项级数收敛。则该函数项级数在X上一致收敛。*称为的强级数，强级数判别法实质上只能判别那些通项加了绝对值之后依然一致收敛的级数。因此一定要可以用绝对收敛才可以。定理4：（狄利克雷判别法）设函数项级数在集合X上有定义，且通项可以写成=*若满足以下条件：（1） 在X中任意取定一个x，数列对n单调，且函数序列在X上一致收敛与0.（2） 函数项级数的部分和序列在X上一致有界，则在X上一致收敛。定理5：（阿贝尔判别法）设函数项级数满足：（1） 在X中任意取定一个x，数列单调，又函数序列在X上一致有界。（2） 级数在X上一致收敛。则级数在X上一致收敛。一致收敛的性质定理6：（和函数的连续性）设函数项级数在上一致收敛，且每一项在上都连续，则其和函数在上也连续。推论：设X是一区间，若在X上连续，但和函数在X上不连续，则级数在X上不一致收敛。定理7：（逐项求和）若级数在上一致收敛，且其每一项在上都连续，则其和函数在上可积，且可以逐项积分，即 定理8：（逐项求导数）设函数项级数在
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