第四章 第二节

第二节平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0) D(1,2)解析：选D因为a(1,1)，b(1，1)，所以ab(1,1)(1，1)(1,2)3设向量a(x,1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2 B2 C2 D0解析：选B因为a与b方向相反，所以bma，m0，则有(4，x)m(x,1)，所以解得x2.又m0，所以xm2.4已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.解析：选D(2,3)(3,7)(1,10)，.5已知向量a(1,3)，b(2，k)，且(a2b)(3ab)，则实数k_.解析：a2b(3,32k)，3ab(5,9k)，由题意可得3(9k)5(32k)，解得k6.答案：66在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：因为3，所以(ab)，又因为ab，所以(ab)ab.答案：ab考什么怎么考高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.1.如图，在ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若a，b，则()A.abB.abC.ab D.ab解析：选D在ABC中，BE是边AC上的中线，.O是边BE的中点，()ab.2已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则2xy_.解析：由平面向量基本定理可知解得故2xy9.答案：93.如图，已知ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解：设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.4如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解：ab，ab，ab.ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.怎样快解准解1用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理2应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算考什么怎么考高考对平面向量坐标运算的考查主要是用坐标进行线性运算、用坐标运算进行向量的分解.高考中该类问题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，为中低档题.1若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为()A.abBabC.ab D.ab解析：选A设cxayb，则(2xy，x2y)，所以解得则cab.2(2018江西九校联考)已知O为坐标原点，向量(2,3)，(4，1)，且3，则|_.解析：设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2,3)，(4，1)，由3，可得解得故|.答案：3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)怎样快解准解平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解高考中对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的.考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等.典题领悟已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.解题师说1平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10.(2)若ab(b0)，则ab.2共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解冲关演练1已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.B.C1 D2解析：选B因为ab(1，2)，(ab)c，所以，所以.2已知A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线证明：由题意得(1,3)(1，1)(11,31)(2,4)，(2,5)(1，1)(21,51)(3,6)因为26430，所以，又直线AB和直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A级基础小题练熟练快1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b()A(3,4)B(3,4)C(3，4) D(3，4)解析：选A由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，所以b(6,8)(3,4)2若向量(2,4)，(1,3)，则()A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3，7)解析：选B由向量的三角形法则，(1,3)(2,4)(1，1)3已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12) B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析：选A由题意可得3a2bc3(5,2)2(4，3)(x，y)(23x,12y)(0,0)，所以解得所以c(23，12)4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析：选B由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)5已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行，则A()A. B.C. D.解析：选B因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.6在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC，若a，b，则 ()A.ab BabC.ab Dab解析：选A由题意知()ab.7已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：38设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：9已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案：10已知梯形ABCD，其中ABDC，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABDC，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)B级中档题目练通抓牢1已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件2已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则EM()A. B.C. D.解析：选C如图，因为2，所以，所以EM().3在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且AOC，|OC|2，若，则()A2 B.C2 D4解析：选A因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又因为，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.4在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则 _.解析：(3,2)，因为Q是AC的中点，所以2(6,4)，(2,7)，因为2，所以3(6,21)答案：(6,21)5已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_解析：由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，所以tan 150，即，所以1.答案：16平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n的值；(2)若(akc)(2ba)，求实数k的值解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2