高中数学 第三讲 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45.ppt

二一般形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 a3b3 2 ai kbi i 1 2 3 ai kbi i 1 2 n a1b1 a2b2 anbn 2 1 三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗 提示 不可以 因为若出现bi 0 i 1 2 3 的情况 则分式不成立了 但是 可以利用分式的形式来形象地记忆 2 已知a b c大于0 且a b c 1 则a2 b2 c2的最小值为 解析 根据柯西不等式 有 a2 b2 c2 12 12 12 a b c 2 1 所以答案 3 设x y z r 且满足x2 y2 z2 5 则x 2y 3z的最大值是 解析 x 2y 3z 2 x2 y2 z2 12 22 32 5 14 70 所以答案 1 对柯西不等式一般形式的理解一般形式的柯西不等式是二维形式 三维形式 四维形式的柯西不等式的归纳与推广 其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结 左边是平方和的积 右边是积的和的平方 在使用时 关键是构造出符合柯西不等式的结构形式 2 柯西不等式的两个变式 1 设ai r bi 0 i 1 2 n 当且仅当bi ai时 1 i n 等号成立 2 设ai bi同号且不为0 i 1 2 n 则当且仅当bi ai时 等号成立 类型一三维柯西不等式的应用 典型例题 1 2013 湖南高考 已知a b c r a 2b 3c 6 则a2 4b2 9c2的最小值为 2 abc的三边长为a b c 其外接圆半径为r 求证 解题探究 1 题1中的条件a 2b 3c与待求a2 4b2 9c2有何关系 2 题2中 待证的式子的左边应该如何转化才能利用柯西不等式证明 探究提示 1 题1中条件a 2b 3c与a2 4b2 9c2的关系是前者各项平方和为后者 根据三维形式的柯西不等式的特点可以构造三维形式的柯西不等式进行求解 2 分析待证式子的左右两端可以发现右端不含有正弦 而含有外接圆的半径 所以需要借助正弦定理进行转化 然后利用柯西不等式证明 解析 1 因为 12 12 12 a2 4b2 9c2 a 2b 3c 2 36 当且仅当a 1 2b 1 3c 1即时取 所以a2 4b2 9c2 12 答案 12 2 由三角形中的正弦定理得 所以同理于是左边 互动探究 题1中 把题目改为 a b c r a2 4b2 9c2 27 求a 2b 3c的最大值 解析 a 2b 3c 2 12 12 12 a2 4b2 9c2 3 27 81 当且仅当a 2b 3c 即 负值舍去 时取等号 所以a 2b 3c 9 拓展提升 应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧 1 构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数 2 构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序 3 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以改变式子的结构 从而达到使用柯西不等式的目的 4 构造符合柯西不等式的形式及条件 可以添项 变式训练 设p是 abc内的一点 x y z是p到三边的距离 r是 abc外接圆的半径 证明 证明 由柯西不等式得 记s为 abc的面积 则故不等式成立 类型二柯西不等式的一般形式的应用 典型例题 1 2013 重庆高二检测 已知则a1x1 a2x2 anxn的最大值为 2 已知a1 a2 an都是正实数 且a1 a2 an 1 求证 解题探究 1 题1中已知的两个条件与a1x1 a2x2 anxn有什么关系 2 题2中应该如何入手证明不等式成立 探究提示 1 题1中已知的两个条件和a1x1 a2x2 anxn恰好是柯西不等式的一般形式中不等号的两端 2 分析待证的不等式两端 可见左端的形式是一个无限的形式 而右端是常数 所以需要从左端的结构特点进行入手 分析其形式对比柯西不等式的一般形式 进行合理变形 结合已知条件中a1 a2 an 1利用柯西不等式转化证明 解析 1 根据柯西不等式的一般形式可知 所以 a1x1 a2x2 anxn 2 1 当且仅当ai kbi时取 即a1x1 a2x2 anxn 1 答案 1 2 左边 右边 所以原不等式成立 拓展提升 应用柯西不等式的注意事项 1 对于利用柯西不等式证明不等式或求值等问题时 一般不能直接应用柯西不等式 需要对数学式子的形式进行变化 拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构 才能应用 2 熟练掌握柯西不等式的一般形式 并能敏感地发现待求或待证式子与柯西不等式的关系 把数或字母的顺序对比柯西不等式中的数或字母的顺序 以便能使其形式一致起来 然后应用解题 变式训练 设a1 a2 an an 1 求证 解题指南 这道题初看似乎无法使用柯西不等式 但改变其结构 我们不妨改为证 证明 为了运用柯西不等式 我们将a1 an 1写成a1 an 1 a1 a2 a2 a3 an an 1 于是 a1 a2 a2 a3 an an 1 即所以故 规范解答 利用柯西不等式解方程 典例 条件分析 规范解答 由柯西不等式 得 2分因为 x2 y2 z2 8 2 62 24 2 392 6分 又因为 8x 6y 24z 2 392 所以 x2 y2 z2 8 2 62 24 2 8x 6y 24z 2 8分即不等式 中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件 得 10分它与 8x 6y 24z 39联立 可得 12分 失分警示 防范措施 1 对于结构的把握柯西不等式应用的前提是对其灵活地把握 特别是其形式需要熟记 并且要善于同已知条件相结合 构造使用柯西不等式 如本例需要将方程组中的数据与柯西不等式建立关系求解 2 对于等号成立的条件对于等号成立的条件主要会出现两个方面的问题 1 容易忽略等号成立的条件的思考 导致求解不够全面而失分 2 不能正确地得到等号成立的条件 如本例中的等号成立的条件就比较抽象 借助向量反而好理解 即向量共线时等号成立 类题试解 解方程组 解析 原方程组可化为运用柯西不等式得两式相乘 得当且仅当x y z w 3时取等号 故原方程组的解为x y z w 3 1 已知a2 b2 c2 1 x2 y2 z2 1 t ax by cz 则t的取值范围为 a 0 1 b 1 1 c 1 0 d 1 1 解析 选d 设因为由得 t 1 所以t的取值范围是 1 1 2 已知x2 3y2 4z2 2 则 x 3y 4z 的最大值为 a 2b 4c 6d 8 解析 选b 由柯西不等式知 x2 3y2 4z2 1 3 4 x 3y 4z 2 又因为x2 3y2 4z2 2 所以2 8 x 3y 4z 2 所以 x 3y 4z 4 当且仅当即时取等号 3 若a b c r 且a b c 1 则的最大值为 a 3b c 18d 9 解析 选b 由柯西不等式得 3 3 a b c 3 3 6 18 当且仅当即时取等号 4 设x y z r 2x 2y z 8 0 则 x 1 2 y 2 2 z 3 2的最小值为 解析 2x 2y z 8 0 2 x 1 2 y 2 z 3 9 考虑以下两组向量