（试题 试卷 真题）2011年全国中考数学模拟汇编二34矩形 菱形 正方形

34.矩形、菱形、正方形A组一 选择题ADCBEF(第17题图)1(2011上海市杨浦区中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将ADC绕点A按逆时针方向旋转到AEF（点A、B、E在同一直线上），则C点运动的路线的长度为 .【答案】；2. （2011杭州市余杭中考模拟）如图，矩形ABCG（）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上， 的顶点P在线段BD上移动，使为直角的点P的个数是 ABCPG（第8题）EDA0 B1 C2 D3【答案】Ca3. (2011杭州市金山学校中考模拟)（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为（ ）A15或30 B30或45 C45或60 D30或60【答案】D4. (2011杭州市金山学校中考模拟) （引黄冈市 2010年秋期末考试九年级数学模拟试题）正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（ ）、10 、12 、14 、16【答案】D5、 （南京市浦口区2011年中考一模）如图，从边长为（a3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（ ）A（2 a3）cm B（2 a6）cm C（2a3）cm D（a6）cma+3a（第1题）答案：D6（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB6，则BC的长为( ) A1 B2 C2 D12答案：C7. （2011浙江新昌县模拟）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，第4题图那么需要添加的条件是A. B. C.D.【答案】D二、填空题1. (2011杭州市金山学校中考模拟)（原创）ADEPBC如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 .【答案】 2（2011浙江金衢十一校联考）如图正方形ABCD，其边长为4P是射线AB上的点，且AP=x将APD沿过点D的折痕PD折叠，点A的落点记为A/，若A/DP与正方形ABCD的重叠面积记为S，（1）若x=6, 则S= （2）S1时，则x的取值范围为（用含x的不等式表示）_ _【答案】 或 32 x64 3(2011浙江舟山市模拟)如图，RtABC中，C= Rt，AC=10，BC=20， 正方形DEFG顶点G、F分别在AC、BC边上，D、E在边AB上，且JE/GH/BC，IF/DK/AC，则四边形HIJK 的面积= 。【答案】 4（南京市建邺区2011年中考一模）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 （第3题图）答案：2（或或）5（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且ECG45，点F在边AD的延长线上，且DF= BE则下列结论：ECB是锐角，；AEAG；CGECGF；EG= BEGD中一定成立的结论有 (写出全部正确结论)答案： 三 解答题OABCMNDxy1（2011浙江金衢十一校联考）（12分）已知，边长为5的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为x轴上一动点，过A作直线MC的垂线交y轴于点N（1） 当t=2时，求直线MC的解析式；（2） 设AMN的面积为S，当S3时，求t的值；（3） 取点P（1，y），如果存在以M、N、C、P为顶点的四边形是等腰梯形，当t0时，甲同学说：y与t应同时满足方程t2yt50和y22t210y260；乙同学说：y与t应同时满足方程t2yt50和y28t240，你认为谁的说法正确，并说明理由再直接写出t0时满足题意的一个点P的坐标【答案】 （1） （2分）（2）St2t（t0）（1分） t1（1分） St2t（5t0）（1分） t2，t3 （1分）St2t（t5）（1分） t6（1分）（3） 都正确，作PHy轴 ，则PHNMOC， 得 ，所以 t2yt50， 满足PNCM （1分）由RtPCH得 1（y5）22t2， 所以 y22t210y260 ，满足PCMN， 故甲正确（1分） 直线x1与x轴交于E，由 RtPE得 ， （5）2y2（1t）2 所以 y28t240 ，满足PMCN， 故乙正确 （1分） （每个方程1分）P（1，6）（1分） 2. （2011浙江新昌县模拟） 将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角得到正方形，如图1所示. （1）当=45时(如图2)，若线段与边的交点为，线段与的交点为，可得下列结论成立 ；，试选择一个证明.（2）当时,第（1）小题中的结论还成立吗?如果成立，请证明;如果不成立，请说明理由.图2（3）在旋转过程中，记正方形与AB边相交于P,Q两点，探究的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与之间的关系;如果不变，请直接写出的度数.图1【答案】（1）若证明当=45时,即,又 ,同理 2分在Rt和Rt中，有 2分 若证明法一证明:连结,则 是两个正方形的中心， 2分即 2分法二：证明，同先证明 得即 2分在和中有 2分（2）成立 1分证明如下：法一证明:连结,则 是两个正方形的中心， 2分即 2分法二如图，作,垂足分别为E,F则 ,在Rt和Rt中，有 2分即 在和中有 2分（3）在旋转过程中,的度数不发生变化， 1分 2分 （第21题图）3(2011浙江舟山市模拟)（本题10分）如图，已知Rt，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形那么，构成菱形的四个顶点是 或 ；构成等腰梯形的四个顶点是 或 ； （第22题图）（2）请你各选择其中一个图形加以证明。 【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G2分构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F；2分 （2）证出一个得3分（）垂直平分 （）菱形 ， 1分 平分 1分 四边形是等腰梯形1分 2分 1分 四边形是菱形或（）等腰梯形 （）菱形， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 四边形是等腰梯形4. (2011珠海市香洲区模拟)设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE作第二个正方形AEGH，如此下去(1)记正方形ABCD的边长为=1，按上述方法所作的正方形边长依次为，请求出的值；(2)根据以上规律写出的值.【答案】解： 2分 3分 4分5. (2011珠海市香洲区模拟)已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC.(1)求证：BE=DG；(2)若B=60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.ADGCBFE【答案】证明：（1）四边形是平行四边形， 1分是边上的高，且是由沿方向平移而成 2分， 3分 4分(2）当时，四边形是菱形 5分，四边形是平行四边形 6ADGCBFE分中， 7分， 8分四边形是菱形 9分6（南京市高淳县2011年中考一模）(第5题) (9分)如图(1)，正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止连结DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G（1）求证： DHFG；ABCDEFGH图（1）（2）在图(1)中延长FG与BC交于点P，连结DF、DP（如图（2），试探究DF与DP的关系，并说明理由ABCDFEGPH（第28题）图（2）ABCDEFGH图（1）P解 ：（1）证明：过点F作FPDC于点P在正方形ABCD中易证FPDC1分又因为FPDC，易证PFGHDC2分FPDC，PFGHDC，FPGDCH90FPGDCH 3分 DHFG 4分（2）过点E分别作AD、BC的垂线，交AD、BC于点M、N，交AB、CD于点R、T因为点E在AC上，可得四边形AREM、ENCT是正方形6分易证FREDMEENP FEDEEP 8分ABCDFEGPH图（2）MNRT又DEFP，DF与DP的关系为相等且垂直9分 7（南京市鼓楼区2011年中考一模）（7分）如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E、F为AB上两点，且DAFCBE求证：（1）A90；ABCDOEF（2）四边形ABCD是矩形答案：（本题7分）证明：（1）DAFCBE，AB 1分AD/BC，AB1802分2A 180即A 903分（2）DAFCBE，ADBC4分 又AD/BC， 四边形ABCD是平行四边形6分 A 90， 四边形ABCD是矩形7分7（南京市鼓楼区2011年中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC4点M是AC上动点（与点A不重合），设AMx，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N（1）当AND的面积为时，求x的值；（2）以D、M、N三点为顶点的DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的？若能，请求出此时x的值，若不能，请说明理由ABCDMDN答案：（本题10分）解：（1）在RtABC中，AB4，BC4，B90，tanBACtanBACBAC是锐角，BAC30在RtAMN中，AMx，AMN90，MNAMtanBACx，AN2分SADNADAN4x2 3分（2）设DN交AC于点E当点E、M重合时，xAM=4=2 4分当0x2时，点M在ADN的内部过D作DFAC，垂足为FDFADsin6042SAMNxxx2，SADN4xx，SADM x2x，SDMNSADNSAMNSADMxx2xxx2设SDMNS矩形ABCD，xx2442，2xx212x22x120 (2)241120，该方程无实数根 6分当2x8时，点M在ADN的外部SDMNSAMNSADM SADNx2xxx2x设SDMNS矩形ABCD，x2x2， x22x12x22x120x110，舍去，x2134，415x1满足条件当SDMNS矩形ABCD时，x110分8（南京市建邺区2011年中考一模）（6分）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为D，AEBC, DEAB.ABCDE（第8题图）证明：（1）AE=DC；（2）四边形ADCE为矩形答案：（本题6分）证明：（1）在ABC中，AB=AC，ADBC，BD=DC1分AEBC, DEAB，四边形ABDE为平行四边形2分BD=AE，3分BD=DCAE = DC4分（2）解法一：AEBC，AE = DC，四边形ADCE为平行四边形5分又ADBC，ADC=90，四边形ADCE为矩形6分解法二：AEBC，AE = DC，四边形ADCE为平行四边形5分又四边形ABDE为平行四边形AB=DEAB=AC，DE=AC四边形ADCE为矩形6分9（南京市江宁区2011年中考一模）（本题6分）如图，四边形是正方形，点在上，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明方案一： ；方案二：（1）作法：(2) 证明：答案：解：方案：（一）过点B作BGAE,垂足为G； （二）在AE上截取AG=DF； （三）作交AE于点G；2分（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）（作法正确）3分（2）如果是过点B作BGAE,垂足为G，证明如下：，BGAE，.4分由题意知，.5分四边形是正方形，AD=AB, 在与中，AD=AB,（AAS）. 6分如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：，ADAE，.4分四边形是正方形，AD=AB, 5分在与中，AG=DF，AD=AB,（SAS）. 6分如果作交AE于点G，证明如下：，ADAE，.4分四边形是正方形，AD=AB, 5分在与中， AD=AB， （ASA）. 6分ADBCAOCBAOCB（图1）（图2）（图3） 10（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度我们把这四个点称作准等距点例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=ACBCAD（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且ADBC写出相等的线段（不再添加字母）；求BCD的度数（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段解：（1）AB=DC=AD， AC=BD=BC2分AC=BD，AB=DC，BC=BC，ABCDCB，DBC=ACB，3分 ADBC，DAC=ACB，DC=AD，DAC=ACD，ACD=ACB，4分BC=BD，BDC=BCD=2ACB，5分设ACB=x，则BDC=BCD=2 x，DBC= x，2 x+2 x+ x=180，解得x=36，BCD=726分（2） AB=BD=AD =AC，BC = CD 或 AB= BC= CD=BD=AD，AC，8分11（南京市溧水县2011年中考一模）（9分）已知，（如图）是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长BADMEC第11题图BADC备用图解：解：（1）取中点，连结，为的中点，1分又，2分，得；3分（2）过D作DPBC，垂足为P，DAB=ABC=BPD=90，四边形ABPD是矩形以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， 又，DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+24分PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2，5分（x+2）2=22+（x-4）2，解得：线段的长为6分（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得 7分由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得； 8分当时，又，即=，得x2=22+（x-4）2解得，（舍去）即线段的长为29分综上所述，所求线段的长为8或212（南京市六合区2011年中考一模）（8分）我们通常可以对一些图形进行剪切,并利用图形的轴对称、平移、旋转等进行图案设计,如图1中,可以沿线段AE剪切矩形ABCD,再将ABE通过变换与梯形AECD拼接成等腰梯形.请按下列要求进行图案设计:（1） 把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图2中画出剪切线，再画出拼接示意图；（2） 把矩形剪切次拼接成一个菱形，请在图中画出剪切线，再画出拼接示意图.答案：（1）4分 （2）8分13（南京市六合区2011年中考一模）（9分）如图1，ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两边DG、DE分别在AC、AB上若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移（1）经过 秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；（2）求菱形DEFG的面积；（3）设菱形DEFG与ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒求S与t的函数关系式答案：解：（1）12分（2）方法一：如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF 交BC于点H由AG=AE得AGE=AEG，由AB=AC得B=C，AEG=C= GEBC， =，得GE= 3分菱形AEFG中，GEAF，可得AHBC，故CH=BC=3RtACH中，AH=4=，得AO=，于是AF=4分S菱形AEFG=GEAF= 5分方法二：易求SABC=123分由AGEABC得=()2，即=()24分所以，SAGE=得S菱形AEFG= 5分（3）当0t1时，S= 6分当1t3时，AD=t，则CE=5t2=3t，EN=EC=3t，故FN=2（3t）=t1 由FMNABC可得=()2 即=()2，所以SFMN=(t1)2 所以S= S菱形AEFGSFMN= (t1)27分当35时，S=09分14、（南京市浦口区2011年中考一模（6分）如图，在和中，、交于点M.（1）求证：；（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.解：（本题6分）（1）在ABC和DCB中，AB=DC,AC=DB,BC为公共边.ABCDCB（SSS） 2分（2）四边形BNCM为菱形3分ABCDCBDBC=ACB即 MB=MC 4分BNAC ,CNBD四边形BNCM为平行四边形. 5分又MB=MC平行四边形BNCM为菱形. 6分15（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）(6分)如图，已知，四边形ABCD为梯形，分别过点A、D作底边BC的垂线，垂足分别为点E、F四边形ADFE是何种特殊的四边形？请写出你的理由答案：四边形ADFE是矩形1分证明：因为四边形ABCD为梯形，所以ADEF2分因为AE是底边BC的垂线，所以AEF90同理，DFE90所以，AEDF，4分所以，四边形ADFE为平行四边形又因为AEF90，6分所以四边形ADFE是矩形16. （南京市玄武区2011年中考一模）（9分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决(1) 请你求出FG的长度(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相等请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)答案：(1)在RtEGF中，EG=AB=5，EF=,FG=.2分(2)当0x4时，；.3分当4x10时，y=2x+24，.4分当y=10时，x=7或.6分(3)当0x4时，顶点为(10，25)，.7分当0x4时，0y16当4x10时，y=2x+24，4y16当4y2)，AB长为n（n2），的矩形”，其他条件不变，试判断的大小关系，并说明理由；图1ADCBE图2BCEDAFPF考查内容：答案：FADCBE132解：（1）四边形ABCD为正方形 1分2分=ABBE=5:2 3分（2）在上取一点，使，连接（4分），是外角平分线，（ASA）（6分） （7分）（3）在上取一点，使，连接，是外角平分线， （9分） （10分）23、(2011平顶山二模) （9分）如图，在平行四边形ABCD中，ABAC,AB=1,BC=,对角线AC、BD相交于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.（1）求证：当旋转角为90时，四边形ABEF为平形四边形；（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.考查内容: 答案：证明:(1)如图1,四边形ABCD是平行四边形, ADBC,即AFBE. 1分当旋转角为900时,ACEF,又ABAC, ABEF. 2分四边形ABEF是平行四边形. 3分(2)在旋转过程中, 当EFBD时,四边形BEDF可以是菱形.理由如下: 4分如图2, 四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的中心对称性可得:OF=OE,OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形.又EFBD, 四边形BEDF是菱形. 6分在RtABC中,由勾股定理可得:AC=,OA=.OA=AB=1,又BAC=900,即ABO为等腰直角三角形, AOB=450. 8分EFBD, BOF=AOB+AOF=900, AOF=450.即:当AC绕点O顺时针旋转450时,四边形BEDF是菱形. 9分ABCDOF图1EBACDOF图2E24、（2011年徐汇区诊断卷）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 如图，正方形ABCD中， M是边BC上一点，且BM=.（1） 若试 用 表 示 ；ABDCM（2） 若AB=4，求sinAMD的值.考查内容: 答案：（1） 正方形ABCD，AD/BC，AB/CD，且AB=CD=BC=AD， 1分BM=， 2分 1分（2）AB=4，且BM=，MC=3，BM=1，在RtDMC中，DM 1分在RtABM中，AM 1分过点A作AEDM于E， 1分SADM=,. 1分在RtAEM中，sinAMD 2分25、(2011年天河区) （本小题满分12分）如图，等腰OBD中，OD=BD，OBD绕点O逆时针旋转一定角度后得到OAC，此时正好B、D、C在同一直线上，且点D是BC的中点.（1）求OBD旋转的角度；（2）求证：四边形ODAC是菱形.考查内容：答案：（1）OD=BD，CD=BD，OD=CD=BD-1分又OBDOACOD=OC-2分ODC是等边三角形COD=60-4分即OBD旋转的角度为60-5分（2）OBDOAC，ODC是等边三角形OD=OC，BD=AC ，OB=OA OCA=ODB=18060=120-7分ACD=OCAOCD=12060=60ACD是等边三角形 -9分OD=OC=AC=AD -11分四边形ODAC是菱形. -12分另解：连结AB，由（1）得：AOB=60又OB=OAAOB是等边三角形OB=AB-7分OD=OC=BD=AC BC垂直平分OA OD= AD -9分OD=OC=AC=AD -11分 四边形ODAC是菱形. -12分26.（2011番禺区综合训练）如图9，在梯形中，图9是上一点，（1）求证：（2）若，求的长答案:(1)证明：ADBC, EAAD EABC 2分AEBCEM=90 在RtMEB中，MBE45 BMEMBE45 BEME (2)解: 在ABE和CME中, BAEMCEAEBCEM BEMEABECME MCAB 又AB7 MC7 27. 2011番禺区综合训练）图14如图14，将一个边长为1的正方形纸片折叠, 使点落在边上（不与、重合）, 为折痕，折叠后与交于.(1) P判断与是否相似？并说明理由;(2) 当落在什么位置上时, 折叠起来的梯形面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积.答案: 解：（1）与是否相似. 其理由如下:,又又由. （2）如图, 过作于,则, 连,交于. 则由折叠知, 与关于直线对称, 即,有,. 6分（公用）. 设则，代入上式得：.在和中,又,. 故. 由，得当时，即落在的中点处时,梯形面积最小，其最小值为. 12分此时, 由（1）得;故, 所以两纸片重叠部分的面积为:. 28. （2011萝岗区综合测试一)在如图所示的一张矩形纸片（）中，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和（1）求证：四边形是菱形；（2）过作交于，求证：AEDCFB第25题图（3）若，的面积为，求的周长； 答案：解：（1）连结交于，当顶点与重合时，折痕垂直平分，在矩形中，四边形是菱形（2）证明：过作交于，由作法，由（1）知：，又，则 四边形是菱形，（3）四边形是菱形，设， 又，则 由、得：，（不合题意舍去）的周长为AEDCFBPO29. （2011年天河区综合练习）如图，等